1、题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco任意角的三角函数高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 掌握任意角的三角函数的定义、三角函数的符号、特殊角的三角函数值、三角函数的性质、同角三角函数的关系式与诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j会求 y Asin( x)的周期，或者经过简单的恒等变形可化为上述函数的三角函数的周期，能运用上述三角公式化简三角函数式，求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j知识点归纳 头
2、htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 三角函数的定义:以角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角 的终边上任取一个异于原点的点 ，点 P 到原点),(的距离记为 ，那么22(| 0)rxyxy； ； ； sinycostan（ ； ； ） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jtxerxcsr2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 三角函数的符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值 对于第一、二象限为正r（ ） ，对于第三、四象限
3、0,y为负（ ） ；余弦值r对于第一、四象限为正（xr） ，对于第二、三象限为负（ ） ；正切值 对于0,0,xryx第一、三象限为正（ 同号） ，对于第二、四象限为负（ 异号） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,xy,说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j特殊角的三角函数值： 0 643223 sin + + cos + +tan+ + cot + + sin0 21231 0 1cos 1 30 0tan0 31 3 0 cot 1 0 04 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j三角函数的定义域、值
4、域：函 数 定 义 域 值 域sinR1,coytan|,2kZR5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限” 。诱导公式一： ， ，其中 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jsi()sinco(2)coskZ诱导公式二： ； n180180诱导公式三： ； si()sics()s诱导公式四： ； 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jno诱导公式五： ； sin(360)sics(360)s 2Zk2sin sin sin sinsin sin coscos cos cos cos cos cos sin（1）
5、要化的角的形式为 （ 为常整数） ；180kk（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限” 。任意角的概念的意义，任意角的三角函数的定义，同角间的三角函数基本关系、诱导公式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由于本重点是任意角的三角函数角的基础，因而三学习本节内容时要注意如下几点：（1）熟练地掌握常用的方法与技巧，在使用三角代换求解有关问题时要注意有关范围的限制；（2）要注意差异分析，又要活用公式，要善于瞄准解题目标进行有效的变形，其解题一般思维模式为：发现差异，寻找联系，合理转化。只有这样才能在高考中夺得高分 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题型讲解 头htp:/
6、w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 已知角 的终边过点 ，求 的六个三角函数值。(,2)0a解：因为过点 ，所以 ， (,)5|ra,2xya当 ；0sin5|yara时 ，；cox；15tan2;t;sec;s2当 20si5|yar时 ，；coxa15tan2;t;sec5;sc2例 2 已知角 的终边上一点 ，且 ，求(3,)Pmin4的值。cos,in解：由题设知 ， ，所以 ，3xym222|(3)rOPm得 ，2r从而 ，sin423r解得 或 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j0m165当 时， ， ；,rxs,tan0yrx当 时
7、， ， ；52,315co,t43x当 时， ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jm,rx6s,tanr例 3 若 sin 0，试确定 所在的象限。cos分析一：首先确定 sin 与 cos 的符号，再判断 所在的象限。解析一：由 sin 0 知 。0cosin20cosin1， 或由（1）知 在第一象限，由（2）知 在第三象限，所以 在第一或第三象限。分析二：先化简关系式再确定 的范围。解析二：由 sin 0 有 0，即 sin2 0，cos2sin1所以 ,Zkk2Zk2当 k=2n（nZ）时， 为第一象限，当 k=2n+1（nZ）时， 为第三象限故， 为第一或第三象限。分
8、析三：因判断 所在的象限，故本题可以用特殊值（各个象限各取一个）来判断。解析三：若令 = 代入 sin 0，可以验证知，6175、 cos只有 = 满足条件，所以 为第一或第三象限。、 6例 4 化简：（1） ；sin(80)sin()ta(360)ta1cos18 （2） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ji3i(9)co()tan675 解：（1）原式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jsintanttacs（2）原式 i(1806)(03)i(09)s(0)tn752cot75si6co3sian(4)t1tan45122头htp:/w.xjkygcom126
9、t:/.j34例 5 化简 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j23s()in()ta解：原式23co()i()ts 23t(s)(in)anco23()intac22cosi1i例 6 化简 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jsin()si()oZ解：当 时，原式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2,kZin()sin()scskk当 时，原式1,ni(21)i(2)osc 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：关键抓住题中的整数 是表示 的整数倍与公式一中的整数 有区nk别，所以必须把 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。例 7
10、化简： 02020002 7cot48si5ta4tsin分析：如果用和差角的三角函数进行化简，显然很繁杂，若是观察到 420+480 =900,450+ +450 =900,则可以直接应用诱导公式求解。解：原式= 20022 tan5cttancossi =12 =1 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jtan2se点评：在解答化简问题时，要注意次数尽量可能低；项数尽可能少，函数种类尽量减少；尽量不含分式和根式，能求出值的尽量求出值。除之之外，善于发现差异，寻找联系，能进行合理的转化，也是非常重要的。如本题充分利用了角之间的联系，即互余关系，然后借助诱导公式和平方关系轻松求解
11、。例 8 若 ，求：310lgsin的值。 23sinco2sincos分析：由已知条件首先求出 的值，再将所求式化简，可由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简，或直接运用诱导公式“负化正，大化小”化简，最后代值即可。解法一：由 有 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j310lgsin 3sin310lgsin， 2sico2sicos1892sin2co1coscossco解法二：原式= 2sinco23sin1cos1832sinco1coscos2is1sisics2 小结：（1）三角函数在各个象限的符号如下（理论根据是任意角的三角函数的定义）：正弦、余弦、正切函数在第一象限
12、全正，在第二象限只有正弦为正，在第三象限只有正切为正，在第四象限只有余弦为正，而余割、正割、余切分别与正弦、余弦、正切的符号相同。（2）当判断 “形如 ”的三角函数符号问题时，首先应将函数值cosin看成一个角（此角是以弧度制表示的） ，再设法弄清表示角的三角函cos数值 的取值范围，即此角“ ”是第几象限角。（3）在判断角的象限时，要灵活地选取方法，如特殊值对解选择题、填空题来说更好，可以节省更多的时间，而且也提高了准确率。（4）由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简比直接采用诱导公式化简要简捷得多，但在使用“奇变偶不变，符号看象限”时要对其真正的含义有透彻的理解，即诱导公式的左边为 k90
13、0 （kZ）的正弦（切）或余弦（切）函数，当 k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当 k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将“看成”锐角（可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角） ，然后分析 k900 （kZ）为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号。学生练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知集合 ， ，2|,3A2|4,3BkZ，则这三个集合之间的关系为（ ）|,CZ()B()AC()A()DBC
14、A2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知角 的终边过点 ，则 ， 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,3a0sintan3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 是第四象限角，则 是第 象限角， 是第 象限角。24 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 ，且 为二、三象限角，则 的取值范围是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.js5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 ，则 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2in44sinco6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jctg10
15、 +ctg170+sin220+sin400+cos220+cos(40)= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知角的终边经过点 P(4k,3k) (k0),则 cos的值为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若 sin(/2)=4/5,且 sin0,则 所在的象限是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j当 0 时，化简 sin1cosin2110 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j函
16、数 y= 的定义域是 )sin(cox11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j函数 y=sinx/|sinx|+cosx/|cosx|+tgx/|tgx|+ctgx/|ctgx|的值域是 12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知点 ，在角 的终边上，求 、 、P(3,-4)r0sinco的值。an13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 ，求 的值。()sin()co()14 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j化简 ；sico(1)参考答案：1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jB 2 头htp:/w.xjkygco
17、m126t:/.j ， 3 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j三、二 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0)3,(876 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4/5 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j第三象限9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(0,/4,2cos; (/4,3/4, 2sin; (3/4,), 2cos10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 0,/2 头htp:/w
18、.xjkygcom126t:/.j 11 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4,2,0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 12 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j因为 ， ,所以 =5r3r42|yxOP|r(1) 当 时，则 ，05|， ， 5sincos34tan(2) 当 时，则 ，rrP|， ， 4si53csta13 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j因为 ，所以an()n故原式= = = = =cosicsi 22cosi2tan10314 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)当 ( 时，原式= =)Zki(2)当 ( 时，原式= =1ncs)(nsi课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
