1、中国计量学院本科毕业设计（论文）Hardy 型不等式的研究Research of Hardy inequality学生姓名 xxx 学号 0600502127 学生专业 数学与应用数学 班级 06 数学(1)班 二级学院 理学院 指导教师 赵长健 中国计量学院2010 年 05 月郑 重 声 明本人呈交的毕业设计论文,是在导师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,所有数据、图片资料真实可靠.尽我所知,除文中已经注明引用的内容外,本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容.对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体,均已在文中以明确的方式标明.本学位论文的知识产权归属于培养单位.学生
2、签名: 日期: 分类号: O178 密 级: 公开 UDC: 51 学校代码: 10356 中国计量学院本科毕业设计（论文）Hardy 型不等式的研究Research of Hardy inequality作 者 xxx 学号 0600502127 申请学位 理学学士 指导教师 赵长健 学科专业 数学与应用数学 培养单位 中国计量学院 答辩委员会主席 评 阅 人 2010 年 05 月致 谢在论文的撰写过程中,我学到了许多知识.整个研究编写过程始终离不开导师赵长健教授的悉心指导.赵老师渊博的专业知识,严谨的治学态度,精益求精的工作作风,诲人不倦的高尚师德,严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华
3、、平易近人的人格魅力对我影响深远.同时赵老师严谨细致、一丝不苟的作风一直是我撰写论文中的榜样;他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我很多启发.从一开始的选题,到数据的搜集、处理,接下来论文的编写,及文章的审稿,每一个过程都在赵老师的启发、教育、支持、帮助下才得以顺利完成.在此,衷心的感谢赵老师.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,回想起从开始进入课题到论文的顺利完成,众多可敬的师长、同学、朋友给了我巨大的帮助,令我十分感动,在这里请接受我诚挚的谢意.IHardy 型不等式的研究摘要: 本文首先利用下列权函数:,7/81/87w()()nkj得到新的加权Hardy不等式:.8 8711()76
4、nk nnaa下列是经典 Hardy 不等式的特殊形式:,88117nknaa我们所得的结果正是对上述经典 Hardy 不等式特殊形式的加强,其中, 是 p=8 的 Hardy 不等式的最佳常数.87我们第二个工作是对下述经典积分型 Hardy 不等式进行推广:0 0()()1pp pFxdfxd其中,.0()()xft获得了:,20 0, ,1pp pFxydfxyd其中,.0,xyfstd关键词: Hardy不等式(离散型); Hardy积分不等式 ; Holder不等式; Bernolli不等式; 权函数; 权系数中图分类号: O178IIResearch of Hardy Inequa
5、lityAbstract: In this paper , by using the following weight function:.7/81/87w()()nkjWe get the new Hardy inequality of weight coefficient: .8 8711()76nk nnaaThe following formula is the special form of classic Hardy inequality: .88117nknaaAnd is the Hardy inequalitys optimal constant of p=8.The res
6、ult we get is just a 87reinforcement of this special form of classic Hardy inequality.The second job we do is a promotion to the classic integral type of Hardy inequality:.0 0()()1pp pFxdfxdAssuming.0()()xFftdThen we obtain .20 0, ,1pp pFxydfxydIIIAnd we define .01,xyFfstdKey words : Hardy inequalit
7、y ; Hardy integral inequality ; Holder inequality ; Bernolli inequality; weight function ; weight coefficientClassification : O178IV目 次摘要I目次IV1 Hardy 离散型不等式 11.1 Hardy 离散型不等式简介 11.2 加权 Hardy 离散型不等式研究动态 22 Hardy 积分型不等式 32.1 Hardy 积分型不等式简介 42.2 加权 Hardy 积分型不等式研究动态 53 Hardy 不等式的一个加强改进 93.1 主要定理及其推论的称述9
8、3.2 主要引理93.3 主要定理及其推论的证明114 Hardy 积分型不等式的推广 13参考文献16附录18学位论文数据集19中国计量学院毕业设计（论文）11 Hardy 离散型不等式1.1 Hardy 离散型不等式简介著名的 Hardy 不等式表述为 1:（1.1）1 1ppnknaa其中, ,（ ）, , 是最佳常数.0na,N为 正 整 数 集 10pn(/1)p自从 1920 年 Hardy 首先证明这个不等式以来,已有大量的改进和推广工作 2-7.1988 年,杨必成、朱匀华 8对 P=2 建立了（1.1）的加强的不等式 22114()35nk nnaa2000 年,黄启亮 9对
9、 P=3/2 建立了（1.1）的加强不等式 3/2/ 3/21/31()5nk nnaa2000 年,罗健英 10对 P=3 建立了（1.1）的加强不等式 3 32/3117()80.75nk nnaa2005 年,隆建军 11对 P=5 建立了（1.1）的加强不等式. 5 54/54/534/5211 1( )4)20.6()(nk nna an2009 年,赵利彬 12关于 P =7 的 Hardy 不等式的一个加强不等式7 76264611777315160.50.930.28k nnna ann 中国计量学院毕业设计（论文）21.2 加权 Hardy 离散型不等式研究动态设 , , ,
10、 , , ,则0kakq1nkQqkn1nkSqap.（1.2）11()pppnnS仅当 时等号成立.0na.（1.3）11()knqQnnaea仅当 时等号成立,特别 时,得到 Carleman 不等式 13.0nan1998 年,杨必成 14在附加条件 下,将（1.3）式改进为:10nq.（1.4）11()2knQqn nnaea令 然后将原其中 k 换成 n,得到 15:n.（1.5）11 1()n kQqnnk nkqbaea.（1.6）121 11()()k kn nQqqnn nae特别地, 时 ,得到 16:kqn（1.7）112nknnae2000 年,Rakotondrats
11、imba,Y. 17考虑了二维离散 Hardy 不等式:,12 121 1122122(),(,)(,)(,)q pq pn nTfgnCfgn 其中 .pq2005 年,马雪雅 18对离散形式的经典 Hardy 不等式11pnpkncCc中国计量学院毕业设计（论文）3进行推广,其中 ,得出以下结论:0nc设 ,且 ,则下列两个命题等价:w1p第一,存在常数 ,使得对任何非负单调递减的数列 有下列不等式:Cnc11pnpknncwC第二,存在常数 ,使得对任意 ,有0m1mnnp2006年,高明哲等 19通过引入可变单位向量的概念并利用Gram矩阵建立了Holder不等式的一个改进 ,由此给出
12、离散Hardy 不等式的一个很强的结果:设 , , ,且 .如果 ,10a(23.)n1nkappa那么,1ppmca其中 , , 是可变单位向量.1min,p222,ppcattt中国计量学院毕业设计（论文）42 Hardy 积分型不等式2.1 Hardy 积分型不等式简介设 , 在 上非负可积, ,则1pf(0)0()()xFftd,0 0(1pp pxdfx等号成立当且仅当 时,其中 是最佳常数.()fp自从 1920 年 Hardy 首先证明这个不等式以来,已有大量的改进和推广工作,以下对目前已经得出的部分结论进行阐述.1971 年 Boyd20利用 Hardy 不等式证明了下述结果:
13、设 在 上非负可测, ,使得 ,则f(0)0,0apq1,pq.()2 ()() (p pqpqax axfftdxxfdx 其中 是最佳常数.11979 年, Kokilasvili,V.M. 21证明了 1 10 0() ()qx puftdCvxfd成立的充要条件是, 1100sp()()xqpxBtv其中 , .1pq11984 年, Kufner,A. 22证明了如下结论:设 在 上非负可测函数, , ,则f(0)1p,10 0ppxFdxxfdxp 其中,中国计量学院毕业设计（论文）5,若 .0xxftdF1p1992 年, 匡昌继证明了,()lnpbbpaaddxCf其中 , .
14、1()xItFtf1当 时, ,当 时, .,abxb0a,xI1999 年, Pachpatte,B,G 还利用 Fubini 定理其多元形式 .2.2 加权 Hardy 积分型不等式研究动态令 . ,则()()xaFftd1,()upbpuaff,ppuFcfOguntuase 等 23-24就 , , , , ,()rxx0ab1r, 分别为 的共轭指数,求出11pqrpqpq. 11()()rqrrcb设 在 上非负递增, , 为非负权函数,f(0)pqu.0()()xFftd则 成立的充要条件是 ,qpuFcf1ma,B其中,110supqpqx xBttdutd. 11 00 pp
15、xpqx ttt t1972 年, Muckenhoupt B 25得出定理:设 是 上的非负局部可积函数,则对所有可测函数 ,不等式()wx0f中国计量学院毕业设计（论文）6,0 01()()ppxftdwxCftwxd(1)p成立的充分必要条件是:存在常数 ,使得对任意 有0r,10()()prprxdxd()或者,0,()1sup()rprwxdeCwx(1)p1990 年, ArinoMuckenhoup26在研究 Hardy-Littlewood 极大算子在 Lorentz 空间中的加权有界性时,将问题转化为加权 Hardy 不等式对所有非增函数成立时权函数的特征刻划,得出定理:()
16、wx设 是 上的非局部可积权函数, ,则对所有非负非增可测函数 不等0)1pf式成立,当且仅当存在常数 ,使得对 ,有0C0r.0()()rpprwxCdxd1989 年, 丁勇证明了加权弱型 Hardy 不等式:设 , , . 在 上非负可测,1pq21(,)(0,),xR(),()fxu2R记, .121 120()(,)xTfftdt1212()(,)xTfftdt1997 年, Burenkov,V.I.等 27证明了差分型加权 Hardy 不等式:设 ,是 上非负权函数,使得0,pabu()a, , .()axutd0()xtcux0,)a若存在 ,使得1, ,()()1x,min1
17、在 上可测, ,则 常数 ,使得f0x0a1c中国计量学院毕业设计（论文）710ppxftudt1 1100pxx ppcuftdftytdty 1999 年, Peter,W. 等 28证明了三维加权混合范数 Hardy 不等式:, , , ,则12p123,ab12qp2123123 100,pbaxppxyfytzdxdt .212 1103,ppqpbafzz2004 年, 杨必成 29应用权函数的方法,建立一个 Hardy 型积分不等的若干推广:设 , , .若 ,则有0pft,tabbpraxfdx,111rrpp ppbx b pr ra aftdx fdxr 1r, 11prr
18、pp pbx b pr ra axftx xfrxb r进一步还有, 111prrpp pbx b pr ra aftdx xfdxr 1r, 11prrpp pb b pr rax aftx xfxr r2006年, 高明哲等 30通过引入可变单位向量的概念并利用Gram矩阵建立了Holder不等式的一个改进 ,由此给出积分型Hardy 不等式的一个很强的结果:设 , ,且 ,0fx01xgftd1p如果,pf中国计量学院毕业设计（论文）8那么,1ppgmcf其中 , , 是可变单位向量.1min,p222,ppcfhfgh2009 年, 王文杰,何乐平 31通过引入参数并利用 Holder
19、 不等式进行加强,从而建立了一些新的不等式:设 , , , , , , , ,1pqp0qpqf0g使, ,10ppxfdx10qxdx则有 11(1) (1)0 00max, kpqppqpqfgydfdgR 其中, ,而 .2,pqRSFhSGh11422,xexyy中国计量学院毕业设计（论文）93 Hardy 不等式的一个加强改3.1 主要定理及其推论的称述对于 p=8 的情形 ,目前还没有（1.1）式加强结果,本文对 P=8 建立（1.1）式的加强不等式,获得了:定理 3.1.1 如果 且 ,那么0()naN810na8711()76nk nna推论 3.1.1 如果 且 ,那么0()
20、naN810na,88117nkn其中, 是 p=8 的 Hardy 不等式的最佳常数.873.2 主要引理引理 3.2.1 （Bernoulli 不等式）设 :1,0x（1）如果 ； . （3.1）10,或 那 么 (+)（2）如果 . . （3.2）x那 么引理 3.2.2.（3.3）8811()nkkawa其中, .7/8/871w()()nkj证明: 令 r=8/7,s=8,则 ,再令 ,则由 Holder 不等式得/rs7/64中国计量学院毕业设计（论文）10888/ 8/1111()()()()nnnnrskk kkkkaaa（3.4）/87/888111()nnnkkjk其中,
21、= , ,又由于n1/878()nj7/8k88888121211 ().(.).nk nnaaa81()nkk1/87/881()kknj a .（3.5） 81()kkwa引理 3.2.3,（3.6）1/87/8()nj当且仅当 n=1 等号成立.证明:由 及 Bernoulli 不等式知,当 时有07/811j（3.7）7/8/87/87/8(),(1)j j于是,当 时2n（3.8）1/87/87/87/87/82(1)()()njjjn当 时（3.8）中的 .n“变Bernolli 不等式及 得10p中国计量学院毕业设计（论文）1177491/8881()nj n7497881n74
22、97881n（3.9）引理 3.2.4 设,（3.10）1517/87/484()6gxxk(,)xk则当 时有1nk.（3.11）15/81/4()1)ngn证明: 先证 ()gx在 ， +） 严 减,15/81/4x, 23/15/415/47/81() ()8xx,154()08x所以 在 ,其次,由 Lagrange 微分中值定理,()gx1+), 使 n15/81/4(1)()gngnn3.3 主要定理及其推论的证明定理 3.1.1 的证明 由引理 3.2.2、引理 3.2.3、引理 3.2.4 得7/81/87w()()nkj7/815/87/8()nk7/815/81/4nk7/
23、815/1/415/81/4nkn 7/815/1/41nkkg中国计量学院毕业设计（论文）127/815/1/4()kkg7/87/7/46.（3.12）8781k故有（3.12）及引理 3.2.1 得8 888 878 7111 1()66nkk k nnawaaak 定理获证. 推论 3.1.1 的证明 易知 87816fkk为单调递增函数,且有上确界 ,即87,8sup():17fk故,8()sup():17limnfxfx从而.88117nknaa中国计量学院毕业设计（论文）134 Hardy 积分型不等式的推广Hardy 积分型不等式 32的表述:设 , 在 上非负可积, ,则1p
24、f(0)0()()xFftd（4.1）0 01pp pxdfx仅当 时等号成立,其中 是最佳常数.()fxp下面的目的是将不等式(4.1),推广到两个变量的情况,即:定理4.1 设 是 上的非负可积函数, 为常数,令,fxyD1p（4.2）01,xyFfstd则.（4.3）20 0, ,1pp pFxydfxyd证明: 设 , ,定义abc.（4.4）,xyacRfstd则当 , 时, .0ac,xyF分部积分产生:.（4.5）10 0,d dpppyRyRxd其中 ,故由（4.4）和（4.5）,得到,yxxy.（4.6）11, ,dxdp pc acpRfsyRxdys对指数 和 利用Hol
25、der 不等式,于是有1中国计量学院毕业设计（论文）14.（4.7）11111, , ,pd ddpp pc c cxfsyRxyxfsyRxy将（4.7）带入（4.6）的右端,得到.（4.8）11, ,ppd xdppc acxyfsyds利用不等式 33.（4.9）1nnfxdfxd有（4.10）111 1, ,pd dpc cxfsydxfsy 从（4.4）,（4.8）和（4.10）,得到（4.11）1, ,1pd ppcRxydcRxd对（4.11）积分产生（4.12）1, ,1pbd bpp pac axydcxd 对（4.12）左端分部积分,利用（4.4）,得到（4.13）1,b
26、dbp pa caRxdfstRxtsp利用Holder不等式,有.（4.14）111,pb bbpppa aafxtdxftdxdx利用（4.13）和（4.14）,得到.（4.15）1, ,1ppb dbp pa caRxdfxtdt从（4.4）,（4.9）和（4.15）,有（4.16）1, ,pb ppaxdbaRbd中国计量学院毕业设计（论文）15从（4.4）,（4.12）和（4.16）,得到（4.17）2, ,1pbd bdp pac acRxyfxy令 , ,因 和 是任意的,故由（4.17）产生0bd,即定理得证.20 0, ,1pp pFxyfxyd中国计量学院毕业设计（论文）1
27、6参考文献1 Hardy G H, Little wood J E ,Polya G P, Inequalities , Cambridge UniversitPress ,1952. 239-242.2 Hardy G H , A note on two inequalities, London Math, Soc, 1936, 11:167-171.3 Mitrinovic D S, Pecaric J E and Fink A M, Classcal and New Inequalities in Analy-sis, Kluwer Academic Publishers,1993.4
28、Hardy G H, Littlewood J E and Polye G, Inequalities, Cambridge UniversityPress,1952. 5 Christopher Olutunde Imoru, On some integral inequalities related to Hardys,Canad Math Bull, 1977,20: 307-312. 6 Chan L Y, Some extensions of Hardys inequalities, Canad Math Bull, 1979.7 Pachpatte B G, On a new cl
29、ass of Hardy type inequalities, Proc. Royal. Soc. Edinb, 1987,105(A), 265-274.8 杨必成, 朱匀华,关于Hardy不等式的一个改进, 中山大学学报(自然科学版),1998,37(1),41-44.9 黄启亮, 关于 P=3/2 的 Hardy 不等式的一个加强改进, 广西师范大学学(自然科学报),2000,18(1):21-23.10 罗健英, 关于 p=3 的 Hardy 不等式的一个加强改进 , 西南民族学院学报(自然科学版),2000,(04) :25-28.11 隆建军,关于 p=5 的 Hardy 不等式的
30、一个加强改进 , 沙洋师范高等专科学校学报(自然科学版),2005,(05):46-48.12 赵利彬, 关于 P =7 的 Hardy 不等式的一个加强改进, 佳木斯大学学报 (自然科学版) 2009 ,09,.27(5).13 陈计,叶中豪, 初等数学前沿, 南京: 江苏出版社 ,1996.14 Yang Bicheng and L.Debnath, On a New Generalization of Hardy-Hilberts Inequa-lity and Its Applications, Math Anal Appl ,1999, 233,484-497. 15 匡继昌, 常用
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33、rum of a quasilinear Sturm- Liou ville -type problem on an infinite interval , Pokroky Mat.Fyz. Astronom,1984, 29(1): 29-40.23 James Adedayo Oguntuase and Christopher Olutunde Imoru, New Generalizations of Hardys Integral Inequality, Math.Anal. Appl, 2000, 241(1):73-82 .24 Heining.H.P, Fourier Inequ
34、alities Wish Nonradial WeightsCanad, Journal Of Math,1993, 45(1):104-116.25 Muckenhoupt B, HardyS inequality with weights, Studia Math 1972, 44(1).26 Arino M and Muckenhoupt B, Maximal function on classical Lorentz spaces and HardyS inequality with weights for nonincreasing functions,Trans Amer Math
35、 Soc, 1990,320(2):72773527 Burenkov,V.I, Journal of Inequalities and Applications, Journal Of Math ,1997,1. 28 Peter,W, Three-dimensional mixed-norm weighted Hardy inequality, J.Math.Anal. Appl,1999,234(1):287-292.29 杨必成,关于一个 Hardy 型积分不等式的推广,南昌大学学报(理科版), 2004, 28(3).30 杨必成,高明哲, 关于Hardy - Hilbert不等其中
36、的一个最佳常数, 数学进展,1997,26(2):159-164.31 王文杰,何乐平, 含参数的 Hardy- Hilbert 型积分不等式的加强, 湖南科技大学学报（自然科学版）,2009, 24(4).32 Hardy G H, A note on two inequalities, J . London Math. Soc. 1936 ,11 .33 Mitrinovic D S , Pecaric J E and Fink A M, Classical and New Inequalities in Analy-sis,Dordrecht : Kluwer AcademicPublishers , 1993.中国计量学院毕业设计（论文）18附录:Bernoulli不等式,Holder不等式简单说明Bernoulli不等式:设 ,则 (1).如果
