1、导数与函数的零点专题研究方程根或函数的零点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最) 值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现例题精讲例 1、已知函数 f(x)x 33x 2ax 2，曲线 yf(x)在点(0，2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为2.(1)求 a；(2)证明：当 k0.当 x0 时，g(x)3x 26x 1k0，g( x)单调递增，g(1)k10 时，令 h(x)x 33x 24，则 g(x)h(x)(1k) xh(x)h(x)3x 26x 3x(x2)，h(
2、x) 在(0，2)单调递减，在(2 ，)单调递增，所以 g(x)h(x)h(2)0.所以 g(x)0 在(0，)没有实根综上，g(x) 0 在 R 有唯一实根，即曲线 yf (x)与直线 ykx2 只有一个交点例 2、已知函数 .(I)讨论 的单调性； (II)若 有两个零点，求 的取值范围.a【解析】（） ()12()1(2)x xfeae（ i ）当 时，则当 时， ；当 时，0a0f(0fx故函数 在 单调递减，在 单调递增()fx,)(,)（ ii ）当 时，由 ，解得： 或)fx1xln(2)a若 ，即 ，则 ，ln(2)1a2eR)0xfe故 在 单调递增()fx,)若 ，即 ，则
3、当 时， ；当 时，ln21a2e(,ln2)(1,)xa()0fx(ln2),1a()0fx故函数在 ， 单调递增；在 单调递减(,l)(,)(l),若 ，即 ，则当 时， ；当 时，ln2)1a2e,1n2xa()0fx(1,ln2)a；()0fx故函数在 ， 单调递增；在 单调递减(,)(ln),a(,l)（）（i）当 时，由（ ）知，函数 在 单调递减，在 单调递增0)fx1(1,)又 ，取实数 满足 且 ，则(1),2)fefb0ln2ab23(1()aba 有两个零点()fx（ii）若 ，则 ，故 只有一个零点0a()2xfxe()f（iii ）若 ，由（I）知，当 ，则 在 单调
4、递增，又当 时， ，故 不ax(1,)1x()0fx()fx存在两个零点；当 ，则函数在 单调递增；在 单调递减又当 时， ，故不存在2ea(ln2),(,ln2)a()f两个零点综上所述， 的取值范围是 0,例 3、设函数 .32()fxabxc（I）求曲线 在点 处的切线方程；y0,f（II）设 ，若函数 有三个不同零点，求 c 的取值范围；4b()x（III）求证： 是 有三个不同零点的必要而不充分条件.23af解：（I）由 ，得 fxbxc23fxaxb因为 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为 0cy0,fybxc（II）当 时， ，所以 4ab324fxxc284x令 ，得 ，解得
5、 或 0fx23840x2x3与 在区间 上的情况如下：,x,22,32,3f00xAcA27cA所以，当 且 时，存在 ， ，0c32714,2x2,3x，使得 32,x1230fxff由 的单调性知，当且仅当 时，函数 有三个不同零点f ,7c324fxxc（III）当 时， ， ，2410ab230fxab,此时函数 在区间 上单调递增，所以 不可能有三个不同零点fx,fx当 时， 只有一个零点，记作 22fx 0x当 时， ， 在区间 上单调递增；0,x00,x当 时， ， 在区间 上单调递增fxfx所以 不可能有三个不同零点fx综上所述，若函数 有三个不同零点，则必有 fx2410a
6、b故 是 有三个不同零点的必要条件230ab当 ， 时， ， 只有两个不同4c230ab232fxx点， 所以 不是 有三个不同零点的充分条件2f因此 是 有三个不同零点的必要而不充分条件30abfx基础专练1若函数 f(x)2x 39x 212 xa 恰好有两个不同的零点，则 a 可能的值为( )A4 B6 C7 D8答案 A解析 由题意得 f(x)6x 218 x126( x1)( x2) ，由 f(x)0 得 x2，由 f(x)0 时，f(x)2 aaln .2a(1)解 f(x) 的定义域为 (0，)，f(x )2e 2x (x0)ax当 a0 时，f(x )0，f(x )没有零点当
7、a0 时，因为 ye 2x单调递增，y 单调递增，所以 f(x)在(0 ，) 上单调递增又 f(a)0，当 b 满足ax00 时，f(x)存在唯一零点a4 14(2)证明 由(1)，可设 f(x)在(0 ，)的唯一零点为 x0，当 x(0 ，x 0)时，f(x)0.故 f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，)上单调递增，所以当 xx 0 时，f (x)取得最小值，最小值为 f(x0)由于 2e2x0 0，所以 f(x0) 2ax 0aln 2aaln .故当 a0 时，f( x)2aaln .ax0 a2x0 2a 2a 2a3已知函数 f(x) .x aex(1)若 f(x)在区间
8、 (，2)上为单调递增函数，求实数 a 的取值范围；(2)若 a0，x 00，当 xx0 时，(x)0，当 xx0 时，h(x)1，函数 f(x)(1x 2)exa.(1)求 f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在( ，)上仅有一个零点；(3)若曲线 yf(x )在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M(m，n)处的切线与直线 OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m 1.3a 2e解析：（1）f(x )2x ex(1x 2)ex( x22x1)e x(x1) 2exxR，f(x)0 恒成立.f(x )的单调增区间为(，).(2)证明 f(0)1a，f(a)(1 a 2)eaa，a1，f(0)2ae aa2aaa0，f(0) f(a)0，则 m0，g(m)在(0，) 上增.令 g(x)0，则 m0，g(m)在(，0) 上减.g(m) ming(0)0.e m(m 1)0，即 emm 1.e m(m1) 2(m1) 3，即 a (m1) 3.2em1 ，即 m 1.3a 2e 3a 2e
