1、- 1 -第 1 单元 矩阵的概念及二阶矩阵与平面列向量的乘法【教学目标】1 了解矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和表示；2 掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法规则；3 理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射【教学过程】1 矩阵的概念1.1 从表到矩阵向量 =(1,3)，将坐标写入 表 1 中，可简记为 OP 13表 2 表示甲、乙两名选手成绩，可表示成一张矩形数表，记为 8096表 113表 2初赛 复赛甲 80 90乙 86 88231,42xymz表 32 3 m3 2 4将方程组 中未知数 x，y，z 的系数按原来的次序排列可得到 表 3，可记为231,42xymz2341.2
2、 矩阵的概念我们把形如 ， ， ， 这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩1038096234m阵1.3 矩阵的表示一般地，用黑体大写字母 A，B，或者 来表示矩阵，其中 i，j 分别表示元素 所在的ija ija行与列 234m行 ：第 1 行列 ：第 2 列元素 ：a 12元素表示先行后列12 矩阵： （只有一行的矩阵叫做行矩阵，也叫做行向量） ；1021 矩阵： （只有一列的矩阵叫做列矩阵，也叫做列向量，并用希腊字母 ， ，来表3示通常用来表示向量、坐标系内的点） ；- 2 -22 矩阵： （叫做二阶矩阵， n 阶矩阵即 nn 矩阵） 809623 矩阵： （注意矩阵的表示：nm 矩阵表示有
3、 n 行，m 列） 2341.4 特殊的矩阵零矩阵所有元素都为 0 的矩阵叫做零矩阵，记为 0例如 ， 等0单位矩阵今后学习1.5 矩阵相等的充要条件两个矩阵 A，B，则 A=B 当且仅当它们的行数与列数分别相等，且对应位置的元素也分别相等1.6 数学运用例 1 用矩阵表示ABC，其中 ， ， 1,0(,2),0C变式：矩阵 M= 表示怎样的平面图形？01342例 2 将方程组 的系数表示为矩阵34xymz例 3 已知 ， ，若 ，求 x，y，z 的值2A12yzBAB1.7 行向量与列向量一般地，我们把像 这样只有一行的矩阵称为行矩阵，而把像 这样只有一列的12a 12a矩阵称为列矩阵，并用
4、希腊字母 ， ，来表示根据上述定义，平面上的向量 和平面上的点 都可以看做是行矩阵 ，也,xy,Pxyxy可以看做是列矩阵 因此我们常将 称为行向量，而将 称为列向量习惯上，我们xy把平面向量 坐标写成列向量 的形式，又因为, xy，,POP 一 一 对 应 平 面 向 量因此， 既可以表示点 ，也可以表示以 为起点、以 为终点的向xy,xy0,xy量 故在不引起混淆的情况下，对它们不加以区别- 3 -2 二阶矩阵与平面列向量的乘法2.1 行向量与列向量的乘法怎样的两个矩阵可以做乘法？一个 n1 行向量可以与一个 1n 列向量相乘，得到的结果是一个 11 矩阵（即一个数） 我们规定行矩阵 与列
5、矩阵 的乘法规则为12a12b；1112aab2.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法二阶矩阵 与平面列向量 的乘法规则为12a0xy121012002aaxy例 4 计算 201xy解： 2xy2.3 平面变换的定义一般地，对于平面上的任意一点(向量) ，按照对应法则 T，总能对应惟一的一个平面点,xy(向量) ，则称 T 为一个变换，简记为,xy或 ,xy： xTy：2.4 二阶矩阵与平面列向量的乘法的几何解释 平面变换一般地，对于平面向量的变换 T，如果变换规则为，也可记为矩阵形式 xaxbyTycd： xabxTycdy：由矩阵 M 确定的变换 T，通常记作 TM根据变换的定义，它是平面内点
6、集到其自身的映射当 表示某个平面图形 F 上的任意一点时，这些点就组成了图形 F；它在 TM的作用下，将得到一个新的图形 F 原象集 F 的象集 F 例 5 计算：（1） ；（2） （教材 P11 题 6）1053461034例 6 设点 在矩阵 对应的变换作用下得到点 P，求 P点的坐标 （教材 P11 题 7）,Pab0例 7 已知点 P 在矩阵 对应的变换作用下得到点 ，求点 P 的坐标 （教材 P11 题312 2,510）- 4 -例 8 （1）已知 ，试将它写成坐标变换的形式；102xxyy（2）已知 ，试将它写成矩阵乘法的形式 （教材 P11 题 11）3例 9 已知变换 T 把
7、平面上的点 ， 分别变换成点 ， ，试求变换 T 所对应2,01,31,3,的矩阵解：设变换 T 所对应矩阵为 M= ，则abcd， 12023ababcdcd113abccd所以： ， ， ，所以 ， ，13, 2d3,2c2b2d所以 M= （相当于绕原点逆时针方向旋转 60） 132例 10 直线 l：xy 10 在矩阵 M 对应的变换作用下得到直线 l，求直线 l的方程1203解：（法 1）直线 l 过点(1,0)， （0,1) ，因为 ，故点(1,0)，01201233(2,3)在直线 l上则直线 l的方程为 xy+1=0（法 2）设点(x 0,y0)为直线 l 上一点，它在矩阵 M
8、 对应的变换下得到点(x,y) ，则 ，0xy得 解得0,3.y02,31.xy因为(x 0,y0)为直线 l 上一点，故 x0y 0+1=0，故有 ，即 xy+1=02103xy所以，直线 l的方程为 xy+1=0【课后作业】姓名:_- 5 -1 设 M 是一个 22 的矩阵，规定其元素 ，求 M23,1,ijaji2 设矩阵 M ，N ，若 MN ，求 x，y，m，n 的值 （类教材 P10 题31xy52ymn5）3 （1）已知 ，试将它写成坐标变换的形式；320.54xxyy（2） 已知 ，试将它写成矩阵乘法的形式64 计算（1） ；（2） 5801535 （1）求点 在矩阵 对应变换的作用下所得点的坐标；(,3)14（2）已知点 P 在矩阵 对应的变换作用下变为点 ，求点 P 的坐标1021,6 已知变换 T 把平面上的点 分别变换为点 ，试求变换 T 所对应的矩阵2,10,0,12,M- 6 -7 直线 l：y 2x 在矩阵 M 对应的变换作用下得到直线 l，求直线 l的方程1028 求三角形 在矩阵 M 对应变换的作用下所得的象，并求该象的面积1203130
