1、1函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于 0。 （4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 （5）y=tanx 中 xk+/2；y=cotx 中 xk 等等。( 6 ) 中 x0二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高
2、中数学的始终。定义域的求法1、直接定义域问题例 1 求下列函数的定义域： ； ； 21)(xf 23)(xf xxf21)(解：x-2=0，即 x=2时，分式 无意义，1而 时，分式 有意义，这个函数的定义域是 .2x2x 2|x3x+2 定义域为：37|2 定义域的逆向问题例 3 若函数 的定义域是 R，求实数 a 的取值范围 奎 屯王 新 敞新 疆 (定义域的逆向问题)axy12解：定义域是 R,恒02 21402aa等 价 于练习： 定义域是一切实数，则 m 的取值范围；32logmxy3 复合函数定义域的求法例 4 若函数 的定义域为 1，1，求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)
3、(xfy )41(xfy)(f解：要使函数有意义，必须： 345431xxx函数 的定义域为：)(fy)1(f 4|x例 5 已知 f(x)的定义域为 1，1，求 f(2x1)的定义域。分析：法则 f要求自变量在1，1内取值，则法则作用在 2x1 上必也要求 2x1 在 1，1内取值，即12x11,解出 x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x1)中 2x1 与 f(x)中的 x位置相同，范围也应一样，12x11,解出 x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的 x与 f(2x1)中的 x不是同一个 x，即它们意义不同。 ）解：f(x)的定义域为1，1，12x11
4、，解之 0x1，f(2x1)的定义域为0，1。例 6 已知已知 f(x)的定义域为 1，1，求 f(x2)的定义域。4答案：1x21 x21 1x1练习：设 的定义域是3， ，求函数 的定义域 奎 屯王 新 敞新 疆)(xf 2)2(xf解：要使函数有意义，必须： 得： 321x 0 x0x460x 函数 的定域义为：)2(f 2|例 7 已知 f(2x1)的定义域为0 ，1，求 f(x)的定义域因为 2x1 是 R上的单调递增函数，因此由 2x1， x0,1求得的值域1，1是 f(x)的定义域。练习：1 已知 f(3x 1)的定义域为 1，2） ，求 f(2x+1)的定义域。 ）2,5（提示
5、：定义域是自变量 x的取值范围）2 已知 f(x2)的定义域为 1，1，求 f(x)的定义域3 若 的定义域是 ，则函数 的定义域是 （ ）yfx0,212fxfx 1,1, 10,24 已知函数 的定义域为，函数 的定义域为，则（ ）xfyfx B AABAB求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy二次函数 的定义域为 R，)2acbf5当 a0时，值域为 ；当 a0， = ，xy12)(当 x0时，则当 时，其最小值 ；ax2abcy4)(2min当 a0）时或最大
6、值（a0）时，0)(0f再比较 的大小决定函数的最大（小）值.),(bfa若 a,b,则a,b是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最0x)(xf )(,bfa大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+ 的值域x32解：由算术平方根的性质，知 0，故 3+ 3。函数的值域为 .xx32,32、求函数 的值域5,0,2xy解： 对称轴 ,120,4,1maxin值 域 为时时yx1 单调性法例 3 求函数 y=4x (x1/3)的值域。x31设 f(x)=4x,
7、g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)=4x-7x31在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数 y=3+ 的值域。(答案：y|y3)x42 换元法例 4 求函数 的值域 xy12解：设 ，则tx1)0(12tt2, 20max值 域 为 ，时当且 开 口 向 下，对 称 轴 yt点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次
8、函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数 y= 的值域。 （答案：y|y3/4x1求 的值域；xcosin1例 5 （三角换元法）求函数 的值域2xy解： 设1,0cos2, 2,1)4in(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结：（1）若题目中含有 ，则可设 1a )0,cos(,i aa或 设（2）若题目中含有 则可设 ，其中2bsincob2（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中1xsx0（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中2ta2（5）若题目中含有 ，则可设 其中)0,(ryx2sin,co
9、ryrx2,03 平方法8例 5 （选）求函数 的值域xxy53解：函数定义域为： ,2,4,2 1,058,5318)5(32原 函 数 值 域 为 得由y xxxx4 分离常数法 例 6 求函数 的值域21xy由 ，可得值域31y小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）)0(cdxbay内，值域为 ；如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来求值域。)(bcadcxbay练习求函数 的值域6412xy求函数 的值域3x求函数 y= 的值域；（y(-1，1) ）12x例 7 求 的值域13xy解法一：（图象法）可化为 如图
10、， 3,412,xy观察得值域 -1 0 1 34-4xy 0 1t2t9解法二：（不等式法） 同样可得值域4114)(13xxx练习： 的值域 1yx,例 8 求函数 的值域)1,0(239xx解：（换元法）设 ，则 原函数可化为t3t8,2 8,3;2,1,21 maxmin值 域 为 时时对 称 轴 ytyttty例 9 求函数 的值域x31解：（换元法）令 ，则1)(22xxt )1(3ty由指数函数的单调性知，原函数的值域为 ,例 10 求函数 的值域)0(2xy解：（图象法）如图，值域为 1,（换元法）设 ，tx3则 1133tyxx001ytt1,原 函 数 的 值 域 为例 1
11、3 函数 的值域12xy解法一：（逆求法） 1012 yyx,原 函 数 的 值 域 为解法二：（换元法）设 ，则 tx2210 xy10原 函 数 值 域 即 得1201ytt解法三：（判别式法）原函数可化为 010)(2yx1） 时 不成立y2） 时，)1(40yy1y综合 1） 、2）值域 |解法四：（三角换元法） 设 ，则Rx2,tanx1,2cos,2costa12 y原函数的值域为1|y例 14 求函数 的值域3425xy解法一：（判别式法）化为 0)53(2yxy1） 时，不成立0y2） 时， 得50)53(8)4( yy0综合 1） 、2）值域 |y解法二：（复合函数法）令 ，
12、则tx342ty51)(t所以，值域50y 50|y例 15 函数 的值域1xy解法一：（判别式法）原式可化为 01)(2xy51 tt011,31, 104)(02原 函 数 值 域 为 或 yy解法二：（不等式法）1）当 时，x32x2） 时，12)(11yx0x综合 1）2）知，原函数值域为 ,3,例 16 (选) 求函数 的值域)1(22xxy解法一：（判别式法）原式可化为 02(2yx ,210)4)(02原 函 数 值 域 为 舍 去 或yxy解法二：（不等式法）原函数可化为 )1(211)(2 xxx当且仅当 时取等号，故值域为0x,例 17 （选） 求函数 的值域)2(12xy
13、解：（换元法）令 ，则原函数可化为 。 。 。tx)31(tty小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法)0(22dafexdcbay求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选） 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的)(二 次 式一 次 式或一 次 式二 次 式 yy最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数 的单调)0(xay性去解。练习：1 、 ；)0(912xxy解：x 0， ，y 11.1)(22x12另外，此题利用基本不等式解更简捷： (或利用对勾函数图像法)19212xy2 、 3452xy0y 5.3
14、、求函数的值域 ； xy224xy解：令 0,则 ,u2u原式可化为 ,49)1(2yu 0，y ，函数的值域是（- ， .49解：令 t=4x 0 得 0 x 4 2x在此区间内 (4x ) =4 ，(4x ) =0ma2min函数 的值域是 y| 0 y 224xy4、求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法 1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图） ，由图象可)2(13xy知，函数的值域是y|y 3.解法 2：函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点 -1，2 的距离之和，易见 y 的最小值是 3，函数的值域是3，+ . 如图O 1 2-1x O
15、 1 2-1 x O 1 2-1 x5、求函数 的值域y4解：设 则 t 0 x=1xt12t代入得 f y4)(2) 4)1(2ttt 0 y 4136、 （选）求函数 的值域652xy方法一：去分母得 (y1) +(y+5)x6y6=0 当 y1 时 xR =(y+5) +4(y1)6(y+1) 02由此得 (5y+1) 0 奎 屯王 新 敞新 疆2检验 （有一个根时需验证）时 （代入求根）5y 2)56(1x2 定义域 x| x2 且 x3 1y再检验 y=1 代入求得 x=2 y1综上所述，函数 的值域为 y| y1 且 y 652xy 5方法二：把已知函数化为函数 (x2)36)3(2xxy由此可得 y1， x=2 时 即 函数 的值域为 y| y1 且 y512y 奎 屯王 新 敞新 疆51
