1、 丰台区2019 年高三 年级第二 学期综 合 练习（一 ） 数 学 （理科） 2019. 03 （本试 卷满 分 共 150 分， 考试时 间 120 分 钟） 注意事 项： 1. 答 题前 ，考 生务 必先 将 答题 卡 上的 学校 、年级 、 班级 、 姓名 、准 考证号 用 黑色 字 迹签 字笔 填写清 楚， 并认 真核 对条 形码上 的准 考证 号、 姓名 ，在答 题卡 的“ 条形 码粘 贴区” 贴好 条形 码。 2. 本 次考 试所 有答 题 均在答 题卡 上完 成。 选择 题必须 使 用 2B 铅笔 以正 确 填涂方 式将 各小 题对 应选项 涂黑 ， 如 需改动 ， 用橡皮 擦
2、除 干净 后再 选涂 其它选 项。 非选 择题必 须 使用标 准黑 色字 迹签 字 笔书写 ，要 求字 体工 整、 字迹清 楚。 3. 请 严格 按照 答题 卡上 题 号在 相 应答 题区 内作答 ， 超出 答 题区 域书 写的答 案 无效 ， 在试 卷、 草稿纸 上答 题无 效。 4. 请 保持 答题 卡卡 面清 洁 ，不要 装订 、不 要折 叠、 不要破 损。 第一部分 （选 择题 共 40 分 ） 一、 选择题 共 8 小 题， 每 小题 5 分， 共 40 分。 在 每小题列 出的四 个选项 中 ， 选出符合 题目要 求 的一项。 1 复数 1 1i z 的共轭复 数是 （A ） 11
3、 i 22 （B ） 11 i 22 （C ）1i （D ）1i 2 已知集 合 2,3,1 A ，集合 2 3, Bm 若BA ，则实数 m 的取值 集合为 （A ） 1（B ） 3 （C ） 1, 1 （D ） 3, 3 3 设命题 p ： (0, ),ln 1 x x x ，则 p 为 （A ） (0, ) ,ln 1 x x x （B ） 0 0 0 (0, ), ln 1 x x x （C ） (0, ), ln 1 x x x （D ） 0 0 0 (0, ) ,ln 1 x x x 4 执行如 图所示 的程序 框图， 如 果输入 的 1 a ， 输出的 15 S ， 那么判 断框
4、内 的条件 可 以为 （A ） 6 k （B ） 6 k （C ） 6 k （D ） 7 k 5 下列函数 中， 同时 满足 ： 图象关 于 y 轴对称； 1 2 1 2 , (0, )( ) x x x x ， 21 21 ( ) ( ) 0 f x f x xx 的是 （A ） 1 () f x x （B ） 2 ( ) log | | f x x （C ） ( ) cos f x x （D ） 1 ( ) 2 x fx 6 已知 和 是两个 不同平 面 ， l ， 12 ll , 是与l 不同的两 条直线 ， 且 1 l ， 2 l ， 12 ll ， 那么下列 命题正 确的是 （A ）
5、l 与 12 , ll 都不相交 （B ）l 与 12 , ll 都相交 （C ）l 恰与 12 , ll 中的一条 相交 （D ）l 至少与 12 , ll 中的一 条相 交 7 已知 12 , FF 为椭圆 22 2 1 2 xy M m ： 和双曲线 2 2 2 1 x Ny n ： 的公共焦 点，P 为它们的一 个公共点， 且 1 1 2 PF FF ，那么 椭圆M 和双曲线N 的 离心率之 积为 （A ） 2（B ）1 （C ） 2 2（D ） 1 28 在平面直 角坐标 系中 ， 如果 一个 多边形 的顶点 全是 格点 （ 横纵坐 标 都是 整数） ， 那么 称该多 边形为格点多边
6、形 若 ABC 是 格点三角形，其中 (0,0) A , (4,0) B ，且面积为 8 ，则该三角 形边界上 的 格点 个 数不 可 能为 （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 a=-a 开始 输入a 结束 输出S 否 是 k=k+1 S=S+ak 2 k=1, S=0 第二部分 （ 非 选择 题 共 110 分） 二、填空 题共 6 小题， 每 小题 5 分 ，共 30 分 。 9已知平 面向量 (1 3) ， a ， ( 2, ) m b ，且 ab ，那么m _ 10 从 4 名 男生、2 名 女 生中选 派 3 人参加 社区服 务如果 要求恰 有 1 名女 生，那么 不
7、同的 选 派方案种 数为_ 11 直线 1 y kx 与圆 2cos , 3 2sin x y （ 为参数） 相 交于 , MN 两点 若| | 2 3 MN ，则 k _ 12 若 ABC 的面积为23 ，且 3 A ，则AB AC _ 13 已知 函数 ( ) cos(2 )( 0) 2 f x x 函数 () fx 的最小正 周期为_ ； 若函数 () fx 在区间 4 , 33 上有且 只 有三个零 点，则 的值是_ 14 已知 数列 n a 对任意的 * n N ， 都有 * n a N ，且 1 3 1, , 2 nn n n n aa a a a ， 为 奇 数 为 偶 数. 当
8、 1 8 a 时， 2019 a _ ； 若存在 * m N ，当 nm 且 n a 为奇数 时 ， n a 恒为常 数 p ，则 p _ 三、解答 题共 6 小题， 共 80 分。 解答应 写出文 字说明、 演算步 骤或证 明 过程。 15 （本小 题 13 分） 已知函数 2 ( ) cos(2 ) 2sin ( ) 3 f x x x a a R ， 且 ( ) 0 3 f . （ ）求 a 的值； （ ）若 () fx 在区间 0, m 上是单 调 函数 ，求m 的最大 值. 16 （本小 题 13 分） 随着经济全 球化、信 息化 的发展，企 业之间的 竞争 从资源的争 夺转向人 才
9、的 竞争吸引 、 留住培养 和用好 人才成 为 人力资源 管理的 战略目 标 和紧迫任 务 在 此背景 下 ， 某信 息网站 在 15 个城市中 对刚毕 业的大 学 生的月平 均收入 薪资和 月 平均期望 薪资做 了调查 ， 数据如下 图所示 （ ） 若某 大学毕 业生从这 15 座城 市中随 机选择 一座城市 就业， 求 该生选 中 月 平均 收入 薪 资高于 8500 元的 城市的 概率； （ ） 现 有 2 名大 学毕业 生在这 15 座城市 中各随 机选择一 座城市 就业， 且 2 人的选 择相 互 独立 记X 为选中月平 均收 入薪资高 于 8500 元的城 市的人数 ， 求X 的分
10、布 列和 数学期望 () EX ； （ ） 记 图 中 月 平 均 收 入 薪 资 对 应 数 据 的 方 差 为 2 1 s ， 月 平 均 期 望 薪 资 对 应 数 据 的 方 差 为 2 2 s ，判断 2 1 s 与 2 2 s 的大小 （ 只需 写出结论 ） 17 （本小 题 14 分） 如 图 ， 四 棱 柱 1 1 1 1 ABCD ABCD 中 ， 底 面ABCD 为 直 角梯形 ，AB CD ，AB BC ， 平面 ABCD 平面 11 ABBA ， 1 60 BAA ， 1 = 2 =2 2 AB AA BC CD （）求 证： 1 BC AA ； （）求 二面角 1 D
11、 AA B 的余弦 值 ； （） 在 线段 1 DB 上是否存 在 点M ， 使得CM 平面 1 DAA ？若存在， 求 1 DM DB 的值； 若不 存 在，请说 明理由 M C D B A 1 1 1 1 C D B A18 （本小 题 13 分） 已知函数 32 11 ( ) ( 2)e 32 x f x x ax ax . （ ）当 0 a 时，求 函数 () fx 的单 调区间； （ ）当 e a 时，求 证： 1 x 是函 数 () fx 的极小 值点. 19 （本小 题 14 分） 已知抛物 线 2 :2 C y px 过点 (2,2) M ， , AB 是抛物 线C 上不同 两
12、点， 且AB OM （其中O 是坐标原 点） ，直 线AO 与BM 交于点P ，线段AB 的中点为Q. （ ） 求 抛物线C 的准线 方 程； （ ）求 证：直线PQ 与x 轴平 行. 20 （本小 题 13 分） 设 * n N 且 2 n ，集合 1 2 1 1 ( , , , ) | | 1,| | 2| | ( 1,2, , 1) n n i i S x x x x x x i n . （ ）写 出集合 2 S 中的所 有 元素； （ ）设 12 ( , , , ) n a a a ， 12 ( , , , ) n b b b n S ，证明： “ 11 nn ii ii ab ”的充
13、要 条件 是“ ( 1,2,3, , ) ii a b i n ”； （ ）设 集合 12 1 | ( , , , ) n n i n n i T x x x x S ，求 n T 中所有 正数之和. 丰台区 高三 数学 （理 科） 一模 考试 参 考答案 1 / 6 丰台 区 2018 2019 学年度 第二学期 综合练习 （一） 高三数学 （理科 ）答案 2019 03 一、选择题（共 8 小题， 每小题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B A B C 二、填空题（共 6 小题， 每小题 5 分，共 30 分。有两空的小题，第一空 3 分
14、 ，第二空 2 分） 9 6 10 1211 3 12 4 13 ； 6 14 2 ；1 三、解答题（共 6 小题， 共 80 分） 15.（ 共 13 分） 解： （ ） 2 ( ) cos(2 ) 2sin 3 f x x x a 13 cos2 sin 2 cos2 1 22 x x x a 33 cos2 sin 2 1 22 x x a 31 3( cos2 sin2 ) 1 22 x x a 3sin(2 ) 1 3 xa . 因为 ( ) 0 3 f , 所以 1 a . （） 解法 1： 因为 函数 sin yx 的增区 间为 2 ,2 , 22 k k k Z . 由 2 2
15、2 2 3 2 k x k ，k Z ， 所以 5 12 12 k x k ，k Z . 所以 函数 () fx 的单 调递 增区 间 为 5 , 12 12 kk ，k Z . 因为 函数 () fx 在 0, m 上是单调 函数， 所以 m 的最 大值 为 12 . 解法 2 ：因 为 0, xm ， 所以 22 3 3 3 xm . 丰台区 高三 数学 （理 科） 一模 考试 参 考答案 2 / 6 因为 , 22 是函 数 sin yx 的增区 间 ， 所以 2 32 m . 所以 12 m . 所以 m 的最 大 值 为 12 . 16 （ 共 13 分） 解： （ ） 设该生 选
16、中月 平 均收入 薪资 高 于 8500 元 的 城市为 事 件A. 因为 15 座 城市 中月 平均 收入薪 资高 于 8500 元的 有 6 个， 所以 2 () 5 PA . （ ） 由（ ）知 选 中平 均薪资 高 于 8500 元 的城 市 的概率 为 2 5 ，低 于 8500 元 的 概率为 3 5 ， 所以X 2 (2, ) 5 B . 2 39 ( 0) ( ) 5 25 PX ； 1 2 2 3 12 ( 1) 5 5 25 P X C ； 22 2 24 ( 2) ( ) 5 25 P X C . 所以随 机变 量X 的分布 列为 ： P 0 1 2 X 9 25 12
17、25 4 25 所以X 的数学 期望 为 24 ( ) 2 55 EX . （ ） 22 12 ss . 17. （ 共 14 分） 解：（ ） 因为 平面ABCD 平面 11 ABBA ，平面ABCD 平面 11 ABBA AB ，AB BC ， BC 平面ABCD ， 所以 BC 平面 11 ABBA . 因为 1 AA 平面 11 ABBA ， 所以 1 BC AA . （）取 11 AB 的中点N ，连结BN . 平行四 边形 11 ABBA 中 1 AB AA ， 1 60 BAA . 易证BN 11 AB . 由 （ ）知BC 平面 11 ABBA . 故以为B 原点 ，BA BN
18、 BC ， ， 所在直 线为 坐标轴 ， 建立如 图所示 空 间直 角坐 标系 B xyz . 依题意 ， 1 (2,0,0), (1, 3,0), (1,0,1) A A D ， 设平面 1 DAA 的一 个法 向量 为 ( , , ) x y z n则 1 ( 1 3 ,0 AA ， ， ） ， ( 1,0,1) AD N z y x M C D B A 1 1 1 1 C D B A丰台区 高三 数学 （理 科） 一模 考试 参 考答案 3 / 6 则 1 0 0 AA AD n n ， 即 30 0 xy xz ， 令 =1 y ，得 = ( 3,1, 3) n 易知平面 11 ABB
19、A 的一个 法向 量为 = (0,0,1) m ， 设 二面 角 1 D AA B 的平面 角 为 ，可 知 为锐 角 ， 则 3 21 cos cos , 7 3 1 3 nm nm nm ， 即 二面 角 1 D AA B 的余弦 值为 21 7 （ ）解 ：设 1 DM DB ， 0,1 ， ( , ) M x y z , 因为 (1,0,1) D ， 1 ( 1, 3,0) B ， (0,0,1) C ， 所以 1 ( 2, 3, 1), ( 1, , 1) DB DM x y z 所以 1 2 , 3 , 1 x y z . (1 2 , 3 ,1 ) M (1 2 , 3 , )
20、CM 因为CM 平面 1 DAA 所以 0 CM = n 即 3(1 2 ) 3 3 0 ，所 以 1 = 2 所以存 在点M ，使 得CM 平面 1 DAA ，此时 1 1 2 DM DB 18.（共 13 分） 解 ： （ ） 因为 0 a ， R x 所以 ( ) ( 2)e x f x x ， 故 ( ) ( 1)e x f x x ， 令 ( ) 0 fx ，得 1 x ，所 以单 调递 增区 间为 (1, ) ； 令 ( ) 0 fx ，得 1 x ，所 以单 调递 区间 为 ( ,1) （） 由题 可得 ( ) ( 1)(e ) x f x x ax . 当 0 a 时， 对任
21、意 (0,+ ) x ，都有e0 x ax 恒成 立， 所以当01 x 时， ( ) 0 fx ；当 1 x 时， ( ) 0 fx . 所以函数 () fx 在 1 x 处取 得 极 小值， 符合 题意. 当0e a 时， 设 g( ) = e x x ax ，依然 取 (0,+ ) x . 则 g ( ) = e x xa ，令 g ( ) = 0 x ，得 = ln xa ， 所以 g( ) x 在 (0,ln ) a 上单 调递 减， 在区 间 (ln , ) a 上单 调递 增， 丰台区 高三 数学 （理 科） 一模 考试 参 考答案 4 / 6 所以 min g( ) (ln )
22、(1 ln ) x g a a a . 因为0e a ，所以 min ( ) (1 ln ) 0 g x a a （当 且仅 当 =e a 时，等号 成立 ，此时 1 x ）. 所以对 任意 (0,1) (1, ) x ，都 有e0 x ax 恒成立. 所以当01 x 时， ( ) 0 fx ；当 1 x 时， ( ) 0 fx . 所以函数 () fx 在 1 x 处取 得 极 小值， 符合 题意. 综上 可知 ： 当 e a 时 1 x 是函数 () fx 的极 小 值 点. 19（ 共 14 分） 解： （ ） 由题 意得 2 2 =4p ，解 得 1 p 所以抛 物 线C 的准 线方
23、程 为 1 22 p x （ ） 设 22 12 12 , , , 22 yy A y B y ， 由AB OM 得 1 AB OM kk ，则 21 22 2121 2 1 22 yy yyyy ，所以 21 2 yy 所以线 段AB 中 点Q 的 为纵 坐标 1 Q y 直线AO 方 程为 1 2 1 1 2 2 y y x x y y 直线BM 方 程为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y x x y y 联立 解得 1 2 1 y x y ，即 点P 的为 纵坐标 1 P y 如果直 线BM 斜 率不 存在 ，结论 也显 然成 立 所以直 线PQ 与x 轴平 行 2
24、0 （ 共 13 分） 解： （ ） 因为 1 | | 1 x ，所 以 2 | | 2 x ， 所以 2 S 中的元 素有 (1,2),(1, 2),( 1,2),( 1, 2) . （） 先证 充分 性丰台区 高三 数学 （理 科） 一模 考试 参 考答案 5 / 6 因为对 于任 意的 1,2,3, , in ，都 有 ii ab ，所以 11 nn ii ii ab 再证必 要性 因为 11 | | 1,| | 2| | ii x x x ， 所以 数列| | i x 是以 1 为 首项，2 为 公比 的等 比数 列 ， 所以 1 | | 2 i i x 假设存 在 2,3, , jn
25、 ，使得| | | | jj ab 所以 jj ab 或 jj ab 若 jj ab ，不 妨设 0 j a ，则 0 j b ， 因为 11 | | | | 1 ab ， 1 11 -1 1 11 12 | | 2 1 | | 2 12 j jj jj i i j ii x x x 所以 1 0 j i i a ， 1 0 j i i b ，这 与 11 jj ii ii ab 矛盾 所以 jj ab 当 2 j 时， 必有 11 ab 所以 对于 任意 1,2,3, , in ，都 有 ii ab 综上所 述， “ 11 nn ii ii ab ” 的充 要条件 是 “ ii ab ( 1
26、,2,3, , ) in ” （） 因为 1 11 -1 1 11 12 | | 2 1 | | 2 12 n nn nn i i n ii x x x ， 所 以 1 n i i x 为正 数， 当且 仅当 0 n x 因为 对于 任意 的正 整数kn ， 1 2 k k x 或 1 2 k ，所 以集 合 n T 中，元 素为 正数的 个数 为 1 1 1 1 2 2 2 1 2 n n C C C 个 ， 所以 所有 的正 数元 素的 和 为 1 1 1 1 2 2 2 4 n n n n n x . （ 若 用 其 他 方 法解 题 ， 请 酌 情 给分 ） 丰台区 高三 数学 （理 科） 一模 考试 参 考答案 6 / 6
