1、空间向量与立体几何（角度问题）教学设计一、学习目标：1能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角；2能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。3、探究题型，掌握解法。二、重难点：向量法在立体几何中求空间的夹角应用。探究题型，掌握解法。三、学情分析：本节内容是高考热点问题，需要学生做到非常熟练。在平时的学习中，学生已经对该几类问题有所认识，本堂课重点在于让学生体会空间角度与向量角度之间的差异，培养学生养成良好的答题习惯。四、教学过程本节课为高三复习课，所以从开始直奔主题，从回顾旧知开始直接进入例题讲解、课堂练习、方法提炼、课堂小结，重点在于提炼解决类型题
2、的方法并配合相应例题进行巩固，提高课堂效率。教学环节 教 学 过 程 设 计 意 图提问 我们都已经学过空间向量，在空间中如何将点线面的位置量化？ 回顾旧知，让学生理解空间坐标系的作用在于量化点线面位置明确点、线、面如何用空间直角坐标系里的坐标进行标示一：回顾旧知共同总结进一步理解法向量点 空间直角坐标系下点的坐标线 直线的方向向量面平面上一的一点、平面的法向量直线的方向向量直线上任意两点坐标之差平面的法向量设；找；列；求。所谓平面的法向量，就是指所在的直线与 的向量，显然一个平面的法向量有 多个，它们是 向量在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平
3、面是 明确方向向量与平面法向量的求法，回顾旧知识。因为在后续问题中，求已知平面的法向量会多次出现，在此再次回顾法向量为何能确定一个平面，让学生加深对平面法向量的认识。二：几个空间角的范围(1)异面直线所成的角 ：0 ；2(2)直线与平面所成的角 ：0 ；2(3)二面角 ：0.回顾空间角的范围，先从范围的角度与向量与向量的夹角范围进行比较，强调两者的不同与学生互动三、利用向量求空间角1两条异面直线所成角的求法设两条异面直线 a， b 的方向向量为a， b，其夹角为 ，则 cos |cos | (其中 为异面直线 a， b 所成的角)2直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线 l 的方向向量为 e
4、，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有sin |cos | .3求二面角的大小结合图像，让学生更直观地了解到线面所成的角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整教师总结规律(1)如图， AB、 CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂 直的直线，则二面角的大小 (2)如图， n1， n2 分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的小大 求空间角：设直线 l1，l 2 的方向向量分别为 a，b，平面 、 的法向量分别为 n，m.异面直线 l1 与 l2 所成的角为 ，则cos .|ab
5、|a|b|直线 l1 与平面 所成的角为 ，则sin .|an|a|n|平面 与平面 所成的二面角为 ，则|cos| .、|nm|n|m|结合图像，让学生更直观地了解到二面角与直线方向向量同平面法向量之间所成的角存在的区别与联系，从而找到适当的方法进行调整通过之前的对比，分析清楚空间角与向量角之间存在的差异后，找寻适当的方法去解决差异，从而统一解题方法。例 1 分析 与讲解。例一：直棱柱 ABC-ABC中，AC=3， BC=4，AB=5，AC=CC（1）求异面直线 AC与 BC 所成角的余弦值；（2）求 AC与面 AABB 所成角的余弦值；通过该例题，梳理清晰的分析步骤与良好的答题习惯，培养学
6、生良好的解题思路，做到该拿的分拿到手。同时利用空间向量的方法解决异面直线所成的角以及线面角的问题典例剖析例二：如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，DAB=60，AB=2AD， PD面 ABCD。（1）证明：PABD ；（2）若 PD=AD 求二面角 A-PB-C 的余弦值。通过该例题，强化对异面直线所成角的认识，并复习二面角余弦值的求法。该题在建系求坐标的时候设置了一定难度，以培养学生准确建系，正确求坐标的习惯。随堂练习练习一：如图，已知 P 在正方体 ABCD-ABCD的面对角线DB 上，且PDA=60求 DP 与 CC所成角的大小；求 DP 与平面 AADD 所成角的大小。本题是高考题的改编，消减了难度，但是让学生初步体会通过已知条件利用方程思想去求坐标。通过简单的课堂练习，巩固今天的复习内容，培养学生正确的答题习惯。BACPD CA BDBCAA1 B1C1DE方法提炼用空间向量解决空间角问题的一般步骤 一：合理建系、准确求点； 二：清楚对象、量化向量； 方向向量、坐标相减；面法向量、设找列求 三：向量运算、求解夹角； 四：因地制宜、适当调整。提炼方法，达到高三复习课该达到的效果课后巩固 完成试卷中的配套练习
