1、让我们做得更好,从parity的解法 谈程序优化,福州第三中学高三（3） 孙林春,Parity题意描述,一个序列全部由0和1构成。你将知道其中某些连续的区间段中（例如，从第三位到第五位）含有的1的个数是奇数还是偶数，这些信息按照给出顺序编号。然而，这些信息有可能是自相矛盾的。你的任务是编程求出一个最大编号，使得存在一个序列，满足此编号及此编号之前的所有信息。,样例输入： 10序列的长度L，1=L=1 000 000 000 5 信息总数N,1=N=5000 1 2 even 表示从第一位到第二位中含有偶数个1 3 4 odd 表示从第三位到第四位中含有奇数个1 5 6 even 1 6 eve
2、n 7 10 odd,样例输出： 3 即可以找到一个序列，使之满足前三条信息，但找不到一个序列，使之满足前四条信息,算法框架,是,是,否,否,原始的考虑算法一,预备：两个区间之间的关系,具体做法是：将当前的区间与已知区间逐个进行比较：如果存在某个已知区间与之重合，则直接判断是否出现矛盾；否则，如果有左端点或右端点与其相同的区间，则对区间进行删截，同时修改区间信息，并将得到的新区间重新与已知区间比较，直至与所有已知区间的左右端点都不相同为止；最后将剩下的区间插入已知区间的队列中。,将当前区间的信息分别与每个已知的区间的信息进行比较，判断是否出现矛盾。,两个区间之间的关系,1 相离区间1 区间2,
3、2 重合 区间1 区间2,两个区间之间的关系,深入分析算法二,改进点：保留部分重复的区间及信息，而把注意力集中到其中一些能够直接导出矛盾信息的区间上来。做法：当读入一个新的区间并进行判断时：若已知区间队列中有与其具有共同的左端点的区间，我们只需留下它们之中右端点小的一个，较长区间长出的部分则可以看成是一个新的区间，并重新与其他已知区间进行比较；若没有一个已知区间与当前区间有相同的左端点，则将当前区间作为一个新的左端点的代表区间插入队列中。,局部优化算法三,改进：将原有的端点值离散化后对端点重新编号。我们将所有出现过的端点值放入另一个数组中，并对该数组进行快速排序，然后把用二分法在该数组中查找一
4、个端点值所得到下标作为该端点的新编号。,最简单的办法：开一个数组，将左端点的值作为数组的下标，数组中的值表示该左端点的代表区间的右端点的值，若这样的区间不存在，则值记为0。,离散化端点值，提高查找效率,挖掘本质算法四,区间奇偶性描述法：以某个区间段中所含的1的个数的奇偶性来描述01序列,Pi,j=,前缀奇偶性描述法：以前i位中所含1的个数的奇偶性来描述01序列,Parityi=,两种描述法的对应关系,若pi，j=true，则parityi-1 xor parityj=true； 若pi，j=false，则parityi-1 xor parityj=false；,parity数组的所有下标构成了
5、集合A1，2，L。这个集合根据元素i所对应的parityi的值是True还是False被划分成了两个等价类A1和A2，所有parityi=True的i归入A1中，所有parityiFalse的i则归入A2中。根据对应关系，pi，j的值是True还是False决定了parityi-1的值与parityj的值是否相同；实际上也就决定了i1和j是否属于同一个等价类。这样，原来对每个区间i，j进行约束的条件就转化成了元素i-1，j是否属于同一个等价类的判断条件。,定义集合samei表示已知与i在同一个等价类中的元素集合集合oppi表示已知与i不在同一个等价类中的元素集合 根据已知条件，若有：parit
6、yjparityi，则jsamei；parityjparityi，则joppi；初始时，samei=i，oppi=。,具体做法是,if 与已知条件不矛盾 thenif pi,j=true then begin合并(samei,samej)； 合并(oppi,oppj) ；end elsebegin合并(samei,oppj)； 合并(samej,oppi)；endelse 中止判断；,依次处理每条区间信息：,具体实现时，我们可以应用并查集来完成所需的操作。理论上已经证明，如果利用按秩合并与路径压缩等技巧对程序进行充分优化，并查集这种数据结构的时间复杂度是O（N*(N)的。其中，(N)是单变量阿
7、克曼函数的逆，它是一个增长速度比logN慢的多但又不是常数的函数。同时，我们已经将算法主体部分的时间复杂度降为O（N*(N)的，查找部分再用O（logN）的二分查找就显得不合适了，因此我们考虑用更加高效的哈希表来实现查找。哈希表的查找时间是O（1）的，因此，算法中的查找时间是O（N）的。,综合两部分，整个程序的时间复杂度为（N*(N)。,运行时间比较,总 结,通过解决这道题，我们看到了充分优化算法的重要作用，并从中总结出优化算法的一些一般规律：1 从问题出发，深入挖掘题目本质；2 针对当前算法的不足加以改进。但归根到底，这些优化都是建立在对问题本身及数据结构深刻理解的基础上的。只有充分认识问题，理解问题，并熟练掌握各种数据结构，才能针对问题设计出高效而实用的算法并加以实现。,让我们做得更好！谢谢!,
