1、模具CAD/CAM,第三章 图形处理技术,第三章 图形处理技术,一. 图形生成计算机图形处理的任务就是在计算机内部完成图形生成、存储、变换以及图形的组合、分解和运算，通过图形显示器、绘图机或外设接口显示、输出图形。 1. 计算机表达图形的方法 (1) 点阵法由构成图形的点阵来表示，点阵中的所有点都具有一定的灰度和色彩。通常叫做像素图形，简称图像。,第三章 图形处理技术,(2) 参数法通过在计算机内部记录图形的形状参数与属性参数来表达图形的一种方法。其中形状参数是指描述物体的形状和大小的参数。如线段的起点和终点等；属性参数是指颜色、线形等非几何属性。通常叫做参数图形，简称图形。,第三章 图形处理
2、技术,2. 坐标系 (1) 世界坐标系 (World Coordinate System, WCS)在实物物体所处的空间中，用来协助用户定义在二维或三维世界中的物体的坐标系，因此也称为用户坐标系。是一个符合右手定则的直角坐标系，可以是二维的，也可以是三维的。,第三章 图形处理技术,(2) 设备坐标系 (Device Coordinate System, DC)或物理坐标系与设备相关联的，用以定义图形几何尺寸及位置的坐标系。设备坐标系是一个二维平面坐标系，它的度量单位是步长(绘图机)或象素(显示器)。因此它的定义域是整数域且是有界的。 (3) 规范化设备坐标系(Normalized Device
3、 Coordinate System, NDC)是一种与设备无关的规范化的设备坐标系。其坐标轴方向及原点与设备坐标系相同，但其最大工作范围的坐标值为1。当开发准备应用于不同分辨率设备的图形软件时。首先将输出图形统一转换到规范化设备坐标系，以控制图形在设备显示范围内的相对位置。当图形转换到具体的不同输出设备时，只须将图形的规范化坐标值乘以相应的设备分辨率。,第三章 图形处理技术,用户的图形数据经转换后变成规范化设备坐标系中的值，使应用程序摆脱了对具体图形设备的依赖性，也使得在不同应用和不同系统之间交换图形信息成为可能.增强了应用程序的可移植性。,第三章 图形处理技术,二. 计算机辅助图形处理技术
4、的数学基础 图形几何变换的基本原理图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形，它提供了构造或修改图形的方法。除图形的位置变动外，还可以将图形放大或缩小，甚至对图形作不同方向的拉伸来使其扭曲变形。 图形是点的集合在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之间的连线构成的。对于一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换。,第三章 图形处理技术,二. 计算机辅助图形处理技术的数学基础 1. 点的向量表示法在二维空间中，一个点通常用它的两个坐标 表示。计算机图形学里，常将这个坐标值表示为一行两列的坐标矩阵 的元素(行矢量)，或表示为两行一列的坐标矩阵 的元素(列矢量)。在三维空间里
5、，点可以表示为 的元素(行矢量)，或表示 的元素(列矢量)。,第三章 图形处理技术,表示一个点的矩阵通常被称为点的位置向量。表示点的坐标位置的数字矩阵都是以数组的形式存储在计算机的内存中，便于取用或参与运算。 2. 变换矩阵组成矩阵的元素可以表示各种量，而且矩阵可以通过线性代数的方法来进行运算。设A和B均为矩阵，且B=AT，则可把该式视为矩阵方程式。这种用一个矩阵A对另一个矩阵T进行乘法运算而得出一个新矩阵的方法，可以被用来完成一个点或一组点的几何变换。T一般称为“变换矩阵”。,第三章 图形处理技术,点的变换将点的坐标x y与变换矩阵M相乘，变换后点的坐标记作x y。则,x y,即,可见，新点
6、的位置取决于变量A、B、C、D的值。,第三章 图形处理技术,在系统中，几何图形是最基本的元素。图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定。图形的几何变换，归根结底是点的坐标变换。 对于二维图形，T是3*3阶齐次矩阵；对于三维图形，T是4*4阶齐次矩阵。图形变换的主要工作就是求解变换矩阵T。,第三章 图形处理技术,3. 齐次坐标齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。n维空间中点的位置向量用非齐次坐标表示时，具有n个坐标分量 (p1, p2, ., pn )，且是唯一的。若用齐次坐标表示时，此向量有n+1个坐标分量 (hp1, hp2, ., hpn,
7、 h )，且不唯一。n+1维齐次空间中的一个矢量也可看作是n维空间的一个矢量，但具有一个只是标量因子的附加坐标。从n维空间到n+1维空间的变换是“一对多”的关系。从n+1维空间投影到n维空间，存在“多对一”的的变换关系。,第三章 图形处理技术,二维点 (x, y)的齐次坐标表示为 hx, hy, h。三维点 (x, y, z)的齐次坐标表示为 hx, hy, hz, h。与普通直角坐标的关系，用下列式子进行换算：,第三章 图形处理技术,用齐次坐标表示，主要优点是：(1) 提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。,第三章 图形处理技术,(2)
8、 可以表示无穷远点。例如n+1维中，h=0的齐次坐标实际上表示一个n维的无穷远点。(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线(3) 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成、便于硬件实现,第三章 图形处理技术,三. 窗口-视区变换 1. 窗口表示在用户坐标系中定义的确定显示内容的一个矩形区域，只有在这个区域内的图形才能在设备坐标系下输出。而窗口外的部分则被裁掉，相当于透过窗口观察这部分图形。 2. 视区设备坐标系中定义的矩形区域，用于输出窗口中的图形信息。视区决定了窗口中的图形要显示于屏幕上的位置和大小。视区是一个有限的整数域，它应小于等于屏幕区域，系统缺省值为全屏幕。,第三章 图形处理技
9、术,3. 窗口-视区变换(1) 变换公式,第三章 图形处理技术,第三章 图形处理技术,(2) 变换过程,第三章 图形处理技术,四. 二维图形变换 1. 变换原理 对于线框图的变换，通常以点变换作为基础，把图形的一系列顶点作几何变换后，连接新的顶点系列即可产生新的图形。 (1) 平移变换x-y平面上的点P(x, y)，分别在其坐标轴方向增加平移量Tx和Ty，可变换到新位置P(x, y)。,第三章 图形处理技术,(2) 比例变换若点的x, y坐标分别乘以Sx和Sy，则可得到新的点P(x, y)。,第三章 图形处理技术,(3) 旋转变换图形绕坐标原点旋转指定角度后生成变换后的图形，称此变换为旋转变换
10、。旋转的正方向分别规定从+x, +y, +z各轴端观察原点时为逆时针方向。,绕O点正向旋转,第三章 图形处理技术,2. 图形矩阵表示方法由于图形采用了齐次坐标表示，可以方便地用变换矩阵实现对图形的变换。 (1) 二维变换矩阵,第三章 图形处理技术,从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵：a. 是对图形进行比例、旋转、对称、错切等变换；b. 是对图形进行平移变换；c. 是对图形作投影变换；d. 是对整体图形作比例变换。,第三章 图形处理技术,(2) 平移变换,图形在x方向平移Tx，在y方向平移Ty。,第三章 图形处理技术,(3) 比例变换、反射变换,图形以原点为中心，在x方向放大(缩小)Sx倍，在
11、y方向放大(缩小)Sy倍。,第三章 图形处理技术,第三章 图形处理技术,(4) 错切变换错切变换是使图形产生一个扭变。分为x和y方向的错切变换。,x坐标随初值(x, y)及变换系数b而作线性变化； y坐标随初值(x, y)及变换系数d而作线性变化。,第三章 图形处理技术,以y轴为依赖轴的错切变换a. 以y=0为参考轴,第三章 图形处理技术,b. 以y=yref为参考轴,第三章 图形处理技术,(5) 旋转变换旋转变换是将图形绕已固定点顺时针或逆时针方向进行旋转。规定：逆时针方向为正，顺时针方向为负。下面讨论图形绕原点沿逆时针方向旋转角的旋转变换。如果点（x,y）沿逆时针旋转角，变换后的点（x*
12、, y*）的数学表达式为:,第三章 图形处理技术,(6) 组合变换实际上，图形变换中常常是相对于任意点或线变换。解决这个问题的思路是这样的：先将任意点移向坐标原点（任意线则移向与X或Y轴重合的位置），再用前述变换矩阵加以变换，最后反向移回任意点（任意线移回原位）。可见，这是经过平移、某种变换、再平移的多次变换构成，而不仅仅是一种独立的变换，故而称为组合变换。组合变换中，多个变换矩阵之积称为组合变换矩阵。,第三章 图形处理技术,组合的主要目的是将一个变换序列表示成一个变换。设一点P经过n次变换T1,T2,.，则总的变换结果为在对变换序列进行级联时。顺序问题十分重要。绕原点外任意一点C(x, y,
13、 1)作顺时针旋转变换:a. 将C点平移到坐标原点得C；b. 绕坐标原点旋转指定角度 ；c. 将C平移恢复到原来C点位置。,第三章 图形处理技术,第三章 图形处理技术,例：求三角形以点（4,6）为中心逆时针旋转30的组合变换矩阵,第三章 图形处理技术,图形相对于任意点作比例变换与旋转变换相似。相对于（e,f）点作比例变换，由以下三个矩阵相乘来实现：,第三章 图形处理技术,图形对于任一条线y=ax+b对称，由5种变换组合而成,第三章 图形处理技术,第三章 图形处理技术,第三章 图形处理技术,四. 三维图形变换(1) 变换矩阵,第三章 图形处理技术,从变换功能上可把T3D分为四个子矩阵：a. 是对
14、图形进行比例、旋转、对称、错切等变换；b. 是对图形进行平移变换；c. 是对图形作投影变换；d. 是对整体图形作比例变换。,第三章 图形处理技术,(2) 平移变换,第三章 图形处理技术,(3) 比例变换，反射变换,第三章 图形处理技术,第三章 图形处理技术,(4) 错切变换,主对角线四个元素均为1，第4行和第4列其它元素均为0。 错切变换是画斜轴测图的基础，按方向不同，可分为六种基本变换。,第三章 图形处理技术,沿X轴含Y向错切，变换矩阵为：,错切变换为： ,即 x=x+Dy, y=y, z=z，如下图所示:,第三章 图形处理技术,沿X轴含Z向错切，变换矩阵为：,错切变换为： ,第三章 图形处
15、理技术,沿Y轴含X向错切，变换矩阵为：,错切变换为： ,第三章 图形处理技术,沿Y轴含Z向错切，变换矩阵为：,错切变换为： ,第三章 图形处理技术,沿Z轴含X向错切，变换矩阵为：,错切变换为： ,第三章 图形处理技术,沿Z轴含y向错切，变换矩阵为：,错切变换为： ,第三章 图形处理技术,(5) 旋转变换旋转的正方向分别规定从+X,+Y,+Z的各轴端观察原点时为逆时针方向。,第三章 图形处理技术,a. 绕X轴正向旋转,b. 绕Y轴正向旋转,第三章 图形处理技术,c. 绕Z轴正向旋转,第三章 图形处理技术,(6) 组合变换组合的主要目的是将一个变换序列表示成一个变换。设一点P经过n次变换T1,T2
16、,.，则总的变换结果为,第三章 图形处理技术,(7) 绕任意轴的旋转变换设旋转轴AB由空间任意一点A(xa, ya, za)及其方向矢量(a, b, c)定义。空间一点P(xp, yp, zp)绕AB轴旋转角到P(xp, yp, zp) 。,第三章 图形处理技术,求RAB的基本思想是以(xa, ya, za)为新的坐标原点，并使AB分别绕X轴、Y轴旋转适当角度与Z轴重合，再绕Z轴转角，最后再做上述变换的逆变换，使之回到原来的位置。a. 使坐标原点平移到A点，原来的AB在新坐标系中为OA,第三章 图形处理技术,b. 让OA绕X轴正向旋转角，是OA在YOZ平面上的投影OA与Z轴的夹角,第三章 图形
17、处理技术,c. 让OA绕Y轴旋转角与Z轴重合,第三章 图形处理技术,d. 经以上三步变换后，P绕AB旋转变为在新的坐标系中P绕Z轴旋转角了,第三章 图形处理技术,e. 求Rx、Ry、TA的逆变换(进行恢复原坐标系的变换),第三章 图形处理技术,(8) 正平行投影（三视图） 投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，我们通常说的三视图（主视图、俯视图、左视图）均属正平行投影。 投影过程请观看下面动画：,第三章 图形处理技术,a. 正面投影变换矩阵,b. 水平投影变换矩阵,第三章 图形处理技术,c. 侧面投影变换矩阵,d. 俯视图变换矩阵,第三章 图形处理技术,e. 左视图变换矩阵,第三章 图形处理
18、技术,五. 参数化设计 1. 参数化设计的概念 参数化设计（Parametric）（也叫尺寸驱动Dimension-Driven）是CAD技术在实际应用中提出的课题，它不仅可使CAD系统具有交互式绘图功能，还具有自动绘图的功能。目前它是CAD技术应用领域内的一个重要的、且待进一步研究的课题。利用参数化设计手段开发的专用产品设计系统，可使设计人员从大量繁重而琐碎的绘图工作中解脱出来，可以大大提高设计速度，并减少信息的存储量。,第三章 图形处理技术,参数驱动是一种新的参数化方法，其基本特征是直接对数据库进行操作。通过参数驱动机制，可以对图形的几何数据进行参数化修改，但是在修改的同时，还要满足图形的
19、约束条件，约束联动是通过约束间的关系实现的驱动方法。因此它具有很好的交互性，用户可以利用绘图系统全部的交互功能修改图形及其属性，进而控制参数化的过程；与其他参数化方法相比较，参数驱动方法具有简单、方便、易开发和使用的特点，能够在现有的绘图系统基础上进行二次开发。而且适用面广，对三维问题也同样适用。,第三章 图形处理技术,2. 参数化设计技术的主要特点(1) 基于特征将某些具有代表性的平面几何形状定义为特征，并将其所有尺寸存为可调参数，进而形成实体，以此为基础来进行更为复杂的几何形体的设计。(2) 全尺寸约束约束包括尺寸约束和几何约束，图形形状的大小、位置坐标、角度等均属于尺寸约束。设计时必须施
20、加完整的尺寸参数（全约束），不能漏注尺寸（欠约束），也不能多注尺寸（过约束）。,第三章 图形处理技术,(3) 尺寸驱动对初始图形给予一定的约束，通过尺寸的修改，系统自动找出与该尺寸相关的方程组进行重新求解，驱动几何图形形状的改变，最终生成新的模型。(4) 全数据相关尺寸参数的修改导致其它相关模块中的相关尺寸得以全盘更新，它彻底克服了自由建模的无约束状态，几何形状均以尺寸的形式而被牢牢地控制住。,第三章 图形处理技术,3. 参数化模型(1) 几何模型几何模型描述的是具有几何特性的实体，包括几何关系和拓扑关系两个主要概念。几何关系：具有几何意义的点、线、面，具有确定的位置(坐标值)和度量值(长度、
21、面积)。拓扑关系：拓扑（Topology）是将各种物体的位置表示成抽象位置。拓扑不关心事物的细节也不在乎什么相互的比例关系，只将讨论范围内的事物之间的相互关系表示出来，将这些事物之间的关系通过图表示出来。拓扑反映了形体的特性和关系以及物体几何元素之间的邻接关系。,第三章 图形处理技术,(2) 几何模型的参数化所有的几何关系构成了几何信息。在参数化模型中建立几何信息和参数的对应机制，该机制是通过尺寸标注线来实现。尺寸标注线可以看成一个有向线段，上面标注的内容就是参数名，长短反映了参数现值，其方向反映了几何数据的变动趋势，这样就建立了几何实体和参数间的联系。由用户输入参数名找到对应的实体，进而根据
22、参数值对实体进行修改，实现参数化没计。,第三章 图形处理技术,拓扑关系通过尺寸参数变量关系和位置关系来实现。满足拓扑条件的关系称为约束。 约束可以解释为若干个对象之间所希望的关系，也就是限制一个或多个对象满足一定的关系，对约束的求解就是找出约束为真的对象的值。,第三章 图形处理技术,4. 参数驱动法参数驱动法又称为尺寸驱动法，是一种参数化图形的方法，它基于对图形数据的操作和对几何约束的处理，利用驱动树分析几何约束，实现对图形进行编程。(1) 参数驱动的定义实体的几何特征数据，如圆有圆心、半径等，圆弧有圆心、半径及起始角、终止角等以一定的数据结构存入图形数据库，可以通过修改图形数据库中的几何数据
23、来达到对图形进行参数化的目的。,第三章 图形处理技术,驱动点：尺寸线的终点坐标就是要修改的几何数据，其终点称为该尺寸线的驱动点。被驱动点：一个实体的驱动点可能存在于其他实体的几何数据中，这些对应的点称为被动点。,第三章 图形处理技术,(2) 约束联动仅靠尺寸线终点来标识要修改的数据是不够的，还需要约束之间关联性的驱动手段约束联动。如平行、重合、相切等，把这种通过约束的关系实现的驱动方法称为约束联动。由用户控制的参数一般只有几个，称之为主参数或主约束。其他约束可由图形结构特征确定或与主约束有确定关系，称它们为次约束。对主约束是不能简化的，对次约束的简化可以用图形特征联动和相关参数联动两种方式来实
24、现。,第三章 图形处理技术,a. 图形特征联动保证在图形拓扑关系(连续、相切、垂直、平行等) 不变的情况下对次约束的驱动。反映到参数驱动过程中，就是要根据各种几何相关性准则，去判别与被动点有上述拓扑关系的实体及其几何数据，在保证原始关系不变的前提下，求出新的几何数据。b. 相关参数联动相关参数联动就是建立次约束与主约束在数值上和逻辑上的关系。相关参数的联动方法使某些不能用拓扑关系判断的从动点与驱动点建立联系。,第三章 图形处理技术,5. 变量几何法变量几何法是一种基于约束的代数方法。它将几何模型定义成一系列特征点，并以特征点坐标为变量形成一个非线性约束方程组。当约束发生变化时，利用迭代方法求解方程组，就可以求出一系列新的特征点，从而输出新的几何模型。,
