1、 量子力学期中考试试题物理常数：光速： ；普朗克常数： ；玻尔兹曼常数：812.90cms 346.210hJs；电子质量： ；碳原子质量：31.80/BkJK319.0ekg；电子电荷：262.71Cmukg9C一、填空题：1、 量子力学的基本特征是 。2、 波函数的性质是 。3、1924 年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量 的自由粒子，满足德布洛意关系： ； 假设电子由静止被 150 伏电压加p速，求加速后电子的的物质波波长： （保留 1 位有效数字） ；对宏观物体而言，其对应的德布洛意波波长极短，所以宏观物体的波动性很难被我们观察
2、到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算 1 时， 团簇（由 60 个 原子构成的足球状分子）K60CC热运动所对应的物质波波长：_（保留 2 位有效数字） 。 4.一粒子用波函数 描写,则在某个区域 内找到粒子的几率为 。()rtdV5、线性谐振子的零点能为 。6、厄密算符的本征值必为 。7、氢原子能级 的简并度为 。n58、完全确定三维空间的自由粒子状态需要三个力学量，它们是 。9、测不准关系反映了微观粒子的 。10. 等人的实验验证了德布罗意波的存在。11. 通常把 称为束缚态。12. 波函数满足的三个基本条件是： 。13.一维线性谐振子的本征能量与相应的
3、本征函数分别为： 14两力学量对易的说明： 。15. 坐标与动量的不确定关系是： 。16. 氢原子的本征函数一般可以写为： 。17. 何谓定态： 。1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。2. 简并、简并度。3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ,r ，写出粒子在立体角 d中被测到的几率。4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳 r,中被测到的几率。5. 一粒子的波函数为 zyxr,，写出粒子位于 x间的几率。6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。7. 写出三维无限深势阱其 余 区 域, 0,0),( czbyazV中粒子的能级和波函数。8. 一质量为 的粒子在一维无限深方
4、势阱 axxV2,0,)(中运动，写出其状态波函数和能级表达式。9. 何谓几率流密度？写出几率流密度 ）（ trj,的表达式。10. 写出在 z表象中的泡利矩阵。11. 电子自旋假设的两个要点。12. ）（ zL,2的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？13. 写出电子自旋 zs的二本征态和本征值。14. 给出如下对易关系：?,?,?,2 yzyxx yysLLpzp16. 完全描述电子运动的旋量波函数为 )2/,(),(rrz， 准确叙述 2)/,(r及 23/,d分别表示什么样的物理意义。18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？21. 使用定态微扰论时，对哈密
5、顿量 H有什么样的要求？22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。23. 量子力学中，体系的任意态 )(x可用一组力学量完全集的共同本征态 )(xn展开：nc)(，写出展开式系数 nc的表达式。24. 一维运动中，哈密顿量 )(xVmpH，求 ?,?,Hp25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标 和动量 x之间的测不准关系。28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。二、计算题：1、利
6、用玻尔索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。已知外磁场 ，玻尔磁子 ，求动能的量子化间隔 ，并与T10B123TJ09.B E及 的热运动能量相比较。K4T2. .证明在定态中，几率流与时间无关。3. 一粒子在一维势场 中运动，axxU， ， 0 )(（1）求粒子的能级和对应的波函数。（2）若已知 时，该粒子状态为： ，求 时刻该粒子的波函数；0t12,0()xxt（3）求 时刻测量到粒子的能量分别为 和 的几率是多少？t 1E2（4）求 时刻粒子的平均能量 和平均位置 。x4.一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 ，L 为角动
7、量，求与此对应的量子体IH2系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：5. 设 t=0 时，粒子的状态为cossin)(21kxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。6. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 ，如果粒子的状态由波函数 a)()(a描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。7. 设氢原子处于状态),()23),()21),( 110 YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（一）.已知厄密算符 BA,，满足 12，且 0AB，求1、在 A 表象中算符
8、 、 的矩阵表示；2、在 B 表象中算符 的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 S。（二）. 设氢原子在 0t时处于状态),()21),(21),(21)0,( 11031 YrRYrRYrRr，求1、 t时氢原子的 E、 L和 z的取值几率和平均值；2、 时体系的波函数，并给出此时体系的 E、 2L和 z的取值几率和平均值。（六） 、当 为一小量时，利用微扰论求矩阵 301的本征值至 的二次项，本征矢至 的一次项。（十） 、在 zS表象中，求自旋算符 S在 cos,csn方向投影算符cosscos zyxn SS 的本征值和相应的本征态。（十四） 、有一带电荷 e质量 m的粒子在平面内运动 ,垂直于平面方向磁场是 B,求粒子能量允许值.（十五） 、试用量子化条件,求谐振子的能量谐振子势能21)(xmV （十八） 、在 z表象中，求 x的本征态
