1、高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 1 页 （ 共 1 1 页 ） 北 京 市 东 城 区 2 0 1 8 - 2 0 1 9 学 年 度 第 二 学 期 高 三 综 合 练 习 （ 一 ） 数 学 （ 文 科 ） 2 0 1 9 . 4 本 试 卷 共 4 页 ， 1 5 0 分 。 考 试 时 长 1 2 0 分 钟 。 考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上 ， 在 试 卷 上 作 答 无 效 。 考 试 结 束 后 ， 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。 第 一 部 分 （ 选 择 题 共 4 0 分 ） 一 、 选 择 题 共 8 小 题 ，
2、每 小 题 5 分 ， 共 4 0 分 。 在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中 ， 选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项 。 （ 1 ） 已 知 集 合 2 2 0 , 2 1 0 A x x x B x x ， 则 A B （ A ） 1 2 x x （ B） 1 2 x x （ C ） 0 x x （ D ） R （ 2 ） 在 复 平 面 内 ， 若 复 数 ( 2 i ) z 对 应 的 点 在 第 二 象 限 ， 则 z 可 以 为 （ A ） 2 （ B） 1 （ C） i （ D ） 2 + i （ 3 ） 已 知 圆 2 2 : 2 0 C x x y + +
3、 = ， 则 圆 心 C 到 直 线 3 x = 的 距 离 等 于 （ A ） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D ） 4 （ 4 ） 设 E 为 A B C 的 边 A C 的 中 点 ， + B E m A B n A C ， 则 , m n 的 值 分 别 为 （ A ） 1 1 , 2 - （ B） 1 , 1 2 - （ C） 1 , 1 2 - （ D ） 1 1 , 2 （ 5 ） 正 方 体 被 一 个 平 面 截 去 一 部 分 后 ， 所 得 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 截 面 图 形 的 形 状 为 （ A ） 等 腰 三 角 形 （ B ）
4、 直 角 三 角 形 （ C） 平 行 四 边 形 （ D ） 梯 形 （ 6 ） 若 , x y 满 足 6 2 0 1 0 x x y y y 则 x y - 的 最 大 值 为 （ A ） 0 （ B） 1 （ C ） 2 （ D ） 4高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 2 页 （ 共 1 1 页 ） （ 7 ） 南 北 朝 时 代 的 伟 大 科 学 家 祖 暅 在 数 学 上 有 突 出 贡 献 ， 他 在 实 践 的 基 础 上 提 出 祖 暅 原 理 ： “ 幂 势 既 同 ， 则 积 不 容 异 ” . 其 含 义 是 ： 夹 在 两 个 平 行 平 面 之 间
5、的 两 个 几 何 体， 被 平 行 于 这 两 个 平 行 平 面 的 任 意 平 面 所 截 ， 如 果 截 得 的 两 个 截 面 的 面 积 总 相 等 ， 那 么 这 两 个 几 何 体 的 体 积 相 等 . 如 图 ， 夹 在 两 个 平 行 平 面 之 间 的 两 个 几 何 体 的 体 积 分 别 为 1 2 , V V ， 被 平 行 于 这 两 个 平 面 的 任 意 平 面 截 得 的 两 个 截 面 面 积 分 别 为 1 2 , S S ， 则 “ 1 2 , V V 相 等 ” 是 “ 1 2 , S S 总 相 等 ” 的 （ A ） 充 分 而 不 必 要 条
6、 件 （ B ） 必 要 而 不 充 分 条 件 （ C） 充 分 必 要 条 件 （ D ） 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 （8） 某 校 开 展 “ 我 身 边 的 榜 样 ” 评 选 活 动 ， 现 对 3 名 候 选 人 甲 、 乙 、 丙 进 行 不 记 名 投 票 ， 投 票 要 求 详 见 选 票 . 这 3 名 候 选 人 的 得 票 数 （ 不 考 虑 是 否 有 效 ） 分 别 为 总 票 数 的 8 8 % , 7 0 % , 4 6 % ， 则 本 次 投 票 的 有 效 率 （ 有 效 票 数 与 总 票 数 的 比 值 ） 最 高 可 能 为 （ A ）
7、6 8 % （ B） 8 8 % （C ） 9 6 % （D ） 9 8 % 第 二 部 分 （ 非 选 择 题 共 1 1 0 分 ） 二 、 填 空 题 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 3 0 分 。 （ 9 ） 在 等 差 数 列 n a 中 ， 2 6 2 a a ， 则 4 a . （ 1 0 ） 抛 物 线 C: 2 2 y p x 上 一 点 0 ( 1 , ) y 到 其 焦 点 的 距 离 为 3 ， 则 抛 物 线 C 的 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ . （ 1 1 ） 在 A B C 中 ， 若 c o s s i n 0 b C c B ，
8、则 C = . （ 1 2 ） 已 知 函 数 ( ) 2 s i n ( ) 4 f x x ， 若 对 于 闭 区 间 a b ， 中 的 任 意 两 个 不 同 的 数 1 2 x x ， ， 都 有 1 2 1 2 ( ) ( ) 0 f x f x x x 成 立 ， 写 出 一 个 满 足 条 件 的 闭 区 间 . （ 1 3 ） 设 函 数 2 , , ( ) 1 , . x e x x a f x a x x a 若 1 a = ， 则 ( ) f x 的 最 小 值 为 ； 若 ( ) f x 有 最 小 值 ，高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 3 页 （ 共
9、 1 1 页 ） 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ （ 1 4 ） 设 A B ， 是 R 的 两 个 子 集 ， 对 任 意 x R ， 定 义 ： 0 1 x A m x A ， ， ， ， 0 1 . x B n x B ， ， ， 若 A B ， 则 对 任 意 x R ， ( 1 ) m n _ _ _ _ _ ； 若 对 任 意 x R ， 1 m n ， 则 A B ， 的 关 系 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 三 、 解 答 题 共 6 小 题 ， 共 8 0 分 。 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 演 算 步 骤 或
10、 证 明 过 程 。 （ 1 5 ） （ 本 小 题 1 3 分 ） 已 知 函 数 4 c o s s i n 1 6 f x x x . （ ） 求 2 3 f 的 值 ； （ ） 求 f x 的 最 小 正 周 期 ， 并 画 出 f x 在 区 间 0 , 上 的 图 象 . （ 1 6 ） （ 本 小 题 1 3 分 ） 已 知 等 比 数 列 n a 的 首 项 为 2 ， 等 差 数 列 n b 的 前 n 项 和 为 n S ， 且 1 2 6 a a ， 1 3 4 2 b a b ， 3 2 3 S a . （ ） 求 n a ， n b 的 通 项 公 式 ； （ ） 设
11、 n n a c b ， 求 数 列 n c 的 前 n 项 和 .高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 4 页 （ 共 1 1 页 ） （ 1 7 ） （ 本 小 题 1 3 分 ） 改 革 开 放 4 0 年 来 ， 体 育 产 业 蓬 勃 发 展 反 映 了 “ 健 康 中 国 ” 理 念 的 普 及 下 图 是 我 国 2 0 0 6 年 至 2 0 1 6 年 体 育 产 业 年 增 加 值 及 年 增 速 图 其 中 条 形 图 表 示 体 育 产 业 年 增 加 值 （ 单 位 ： 亿 元 ） ， 折 线 图 为 体 育 产 业 年 增 长 率 （ ） （ ） 从 2
12、0 0 7 年 至 2 0 1 6 年 这 十 年 中 随 机 选 出 一 年 ， 求 该 年 体 育 产 业 年 增 加 值 比 前 一 年 多 5 0 0 亿 元 以 上 的 概 率 ； （ ） 从 2 0 0 7 年 至 2 0 1 1 年 这 五 年 中 随 机 选 出 两 年 ， 求 至 少 有 一 年 体 育 产 业 年 增 长 率 超 过 2 5 % 的 概 率 ； （ ） 由 图 判 断 ， 从 哪 年 开 始 连 续 三 年 的 体 育 产 业 年 增 长 率 方 差 最 大 ？ 从 哪 年 开 始 连 续 三 年 的 体 育 产 业 年 增 加 值 方 差 最 大 ？ （
13、结 论 不 要 求 证 明 ） （ 1 8 ） （ 本 小 题 1 4 分 ） 如 图 ， 在 四 棱 锥 P A B C D 中 ， P A 平 面 A B C D ， 3 P A ， / / A B C D ， A B A D ， 1 A D D C ， 2 A B ， E 为 侧 棱 P A 上 一 点 . （ ） 若 1 3 P E P A ， 求 证 ： P C / / 平 面 E B D ； （ ） 求 证 ： 平 面 E B C 平 面 P A C ； （ ） 在 侧 棱 P D 上 是 否 存 在 点 F ， 使 得 A F 平 面 P C D ？ 若 存 在 ， 求 出 线
14、段 P F 的 长 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 5 页 （ 共 1 1 页 ） （ 1 9 ） （ 本 小 题 1 3 分 ） 已 知 3 ( 2 , 0 ) , ( 1 , ) 2 A P 为 椭 圆 2 2 2 2 1 ( 0) x y M a b a b ： 上 两 点 ， 过 点 P 且 斜 率 为 , ( 0 ) k k k 的 两 条 直 线 与 椭 圆 M 的 交 点 分 别 为 , B C . （ ） 求 椭 圆 M 的 方 程 及 离 心 率 ； （ ） 若 四 边 形 P A B C 为 平 行 四 边 形 ，
15、 求 k 的 值 （ 2 0 ） （ 本 小 题 1 4 分 ） 已 知 函 数 2 ( ) ( 2) l n f x ax a x x . （ ） 若 函 数 ( ) f x 在 1 x 时 取 得 极 值 ， 求 实 数 a 的 值 ； （ ） 当 0 1 a 时 ， 求 ( ) f x 零 点 的 个 数 .高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 6 页 （ 共 1 1 页 ） 北 京 市 东 城 区 2 0 1 8 - 2 0 1 9 学 年 度 第 二 学 期 高 三 综 合 练 习 （ 一 ） 数 学 （ 文 科 ） 参 考 答 案 及 评 分 标 准 2 0 1 9 .
16、4 一 、 选 择 题 （ 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 4 0 分 ） （ 1 ） C （ 2 ） B （ 3 ） D （ 4 ） A （ 5 ） A （ 6 ） D （ 7 ） B （ 8 ） C 二 、 填 空 题 （ 共 6 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 3 0 分 ） （ 9 ） 1 （ 1 0 ） 2 8 y x （ 1 1 ） 3 4 （ 1 2 ） 5 4 4 ， （ 答 案 不 唯 一 ） （ 1 3 ） 0 ； 0 , （ 1 4 ） 0 ； A B R 三 、 解 答 题 （ 共 6 小 题 ， 共 8 0 分 ） （ 1 5 ） （ 共 1
17、3 分 ） 解 ： （ I） 2 2 2 4 c o s s i n 1 3 3 3 6 f 2 4 c o s s i n 1 3 2 1 4 1 1 2 1 . . 3 分 （ ） 4 c o s s i n 1 6 f x x x 4 c o s s i n c o s c o s s i n 1 6 6 x x x 3 1 4 c o s s i n c o s 1 2 2 x x x 2 2 3 s i n c o s 2 c o s 1 x x x 3 s i n 2 c o s 2 x x 3 1 2 s i n 2 c o s 2 2 2 x x 2 s i n 2 6 x .
18、 9 分 所 以 ( ) f x 的 最 小 正 周 期 2 2 T . .10 分高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 7 页 （ 共 1 1 页 ） 因 为 0 , x ， 所 以 1 1 2 , 6 6 6 x . 列 表 如 下 ： 2 6 x - 6 - 0 2 3 2 1 1 6 x 0 1 2 3 7 1 2 5 6 ( ) f x 1 - 0 2 0 2 - 1 - 13 分 （ 1 6 ） （ 共 1 3 分 ） 解: （ ） 设 数 列 n a 的 公 比 为 q ， 数 列 n b 的 公 差 为 d. 由 1 2 6 a a ， 得 1 1 6 a a q .
19、 因 为 1 2 a ， 所 以 2 q . 所 以 1 1 1 2 2 2 n n n n a a q . 由 1 3 4 3 2 2 , 3 b a b S a ， 得 1 1 1 2 8 3 , 3 3 1 2 b b d b d ， 解 得 1 1 , 3 . b d 所 以 1 ( 1 ) 3 2 n b b n d n . 8 分 （ ） 由 （ ） 知 2 n n a ， 3 2 n b = n . 所 以 3 2 2 n n n a c b . 从 而 数 列 n c 的 前 n 项 和 1 2 3 3 ( 2 2 2 2 ) 2 n n T n 高 三 数 学 （ 文 ） （
20、 东 城 ） 第 8 页 （ 共 1 1 页 ） 2 ( 1 2 ) 3 2 1 2 n n 6 2 2 6 . n n 13 分 （ 1 7 ） （ 共 1 3 分 ） 解 ： （ ） 设 A 表 示 事 件 “ 从 2 0 0 7 年 至 2 0 1 6 年 这 十 年 中 随 机 选 出 一 年 ， 该 年 体 育 产 业 年 增 加 值 比 前 一 年 多 500 亿 元 以 上 ” 根 据 题 意 ， 4 2 ( ) 1 0 5 P A .3 分 （ ） 从 2 0 0 7 年 至 2 0 1 1 年 这 五 年 中 有 两 年 体 育 产 业 年 增 长 率 超 过 2 5 % ，
21、 设 这 两 年 为 A ， B ， 其 它 三 年 设 为 C ， D ， E ， 从 五 年 中 随 机 选 出 两 年 ， 共 有 1 0 种 情 况 ： A B ， A C ， A D ， A E ， B C ， B D ， B E ， C D ， C E ， D E ， 其 中 至 少 有 一 年 体 育 产 业 年 增 长 率 超 过 2 5 % 有 种 情 况 ， 所 以 所 求 概 率 为 7 1 0 . .9 分 （ ） 从 2 0 0 8 年 或 2 0 0 9 年 开 始 连 续 三 年 的 体 育 产 业 年 增 长 率 方 差 最 大 从 2 0 1 4 年 开 始
22、连 续 三 年 的 体 育 产 业 年 增 加 值 方 差 最 大 .13 分 （ 1 8 ） （ 共 1 4 分 ） 解 ： （ ） 设 A C B D G ， 连 结 E G . 由 已 知 / / A B C D ， 1 D C ， 2 A B , 得 2 A G A B G C D C . 由 1 3 P E P A , 得 2 A E E P . 在 P A C 中 ， 由 A E A G E P G C ， 得 / / E G P C . 因 为 E G 平 面 E B D ， P C 平 面 E B D ， 所 以 P C / / 平 面 E B D . .5 分 （ ） 因 为
23、 P A 平 面 A B C D ， B C 平 面 A B C D ，高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 9 页 （ 共 1 1 页 ） 所 以 B C P A . 由 已 知 得 2 A C ， 2 B C ， 2 A B ， 所 以 2 2 2 A C B C A B . 所 以 B C A C . 又 P A A C A ， 所 以 B C 平 面 P A C . 因 为 B C 平 面 E B C ， 所 以 平 面 E B C 平 面 P A C . .10 分 （ ） 在 平 面 P A D 内 作 A F P D 于 点 F ， 由 D C P A ， D C A
24、D ， P A A D A ， 得 D C 平 面 P A D . 因 为 A F 平 面 P A D ， 所 以 C D A F . 又 P D C D D ， 所 以 A F 平 面 P C D . 由 3 P A ， 1 A D ， P A A D ， 得 3 2 P F . 14 分 （ 1 9 ） （ 共 1 3 分 ） 解 ： （ I） 由 题 意 得 2 2 2 , 1 9 1 . 4 a a b 解 得 2 , 3 . a b 所 以 椭 圆 M 的 方 程 为 2 2 1 4 3 x y . 又 2 2 1 c a b ， 所 以 离 心 率 1 2 c e a . 5 分
25、（ II） 设 直 线 P B 的 方 程 为 ( 0 ) y k x m k ， 由 2 2 , 1 4 3 y k x m x y 消 去 y ， 整 理 得 2 2 2 ( 3 4 ) 8 ( 4 1 2 ) 0 k x k m x m .高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 1 0 页 （ 共 1 1 页 ） 当 0 时 ， 设 1 1 2 2 ( , ) , ( , ) B x y C x y ， 则 2 1 2 4 1 2 1 3 4 m x k ， 即 2 1 2 4 1 2 3 4 m x k . 将 3 ( 1 , ) 2 P 代 入 y k x m ， 整 理 得
26、 3 2 m k ， 所 以 2 1 2 4 1 2 3 3 4 k k x k . 所 以 2 1 1 2 1 2 1 2 9 2 ( 3 4 ) k k y k x m k . 所 以 2 2 2 2 4 1 2 3 1 2 1 2 9 ( , ) 3 4 2 ( 3 4 ) k k k k B k k . 同 理 2 2 2 2 4 1 2 3 1 2 1 2 9 ( , ) 3 4 2 ( 3 4 ) k k k k C k k . 所 以 直 线 B C 的 斜 率 2 1 2 1 1 2 B C y y k x x . 又 直 线 P A 的 斜 率 3 0 1 2 1 ( 2 )
27、 2 P A B C k k ， 所 以 / / P A B C . 因 为 四 边 形 P A B C 为 平 行 四 边 形 ， 所 以 P A B C . 所 以 2 2 2 2 4 1 2 3 4 1 2 3 1 ( 2 ) 3 4 3 4 k k k k k k ， 解 得 3 2 k 或 1 2 . 1 2 k 时 ， ( 2 , 0 ) B 与 A 重 合 ， 不 符 合 题 意 ， 舍 去 . 所 以 四 边 形 P A B C 为 平 行 四 边 形 时 ， 3 2 k . 1 3 分 （ 2 0 ） （ 共 1 4 分 ） 解 ： （ I） ( ) f x 定 义 域 为
28、( 0 , ) . 2 1 2 ( 2 ) 1 ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) 2 ( 2 ) a x a x x a x f x a x a x x x . 由 已 知 ， 得 ( 1 ) 0 f ， 解 得 1 a = . 当 1 a = 时 ， ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) x x f x x . 所 以 ( ) 0 0 1 , ( ) 0 1 f x x f x x . 所 以 ( ) f x 减 区 间 为 ( 0 , 1 ) ， 增 区 间 为 ( 1 , ) + .高 三 数 学 （ 文 ） （ 东 城 ） 第 1 1 页 （ 共 1 1 页 ） 所 以 函 数 ( )
29、 f x 在 1 x 时 取 得 极 小 值 ， 其 极 小 值 为 ( 1 ) 0 f = ， 符 合 题 意 所 以 1 a . 5 分 （ I I ） 令 ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) 0 x a x f x x ， 由 0 1 a . 所 以 1 1 ( ) 0 0 , ( ) 0 f x x f x x a a . 所 以 ( ) f x 减 区 间 为 1 ( 0 , ) a ， 增 区 间 为 1 ( , ) a + . 所 以 函 数 ( ) f x 在 1 x a 时 取 得 极 小 值 ， 其 极 小 值 为 1 1 ( ) l n 1 f a a a = + - .
30、 因 为 0 1 a + = ， 又 因 为 0 1 a . 所 以 1 ( ) 0 f e . 根 据 零 点 存 在 定 理 ， 函 数 ( ) f x 在 1 ( 0 , ) a 上 有 且 仅 有 一 个 零 点 . 因 为 l n x x ， 2 2 ( ) ( 2 ) l n ( 2 ) ( 3 ) f x a x a x x a x a x x x a x a . 令 3 0 a x a ， 得 3 a x a - . 又 因 为 0 1 a . 所 以 当 3 a x a - 时 ， ( ) 0 f x . 根 据 零 点 存 在 定 理 ， 函 数 ( ) f x 在 1 ( , ) a + 上 有 且 仅 有 一 个 零 点 . 所 以 ， 当 0 1 a 时 ， ( ) f x 有 两 个 零 点 . 1 4 分
