1、3.与立体几何有关的压轴小题 1.(2017 届山西大学附属中学模 块诊 断 )如图为某几何体的三视图，则其体积为 ( ) A. 4 B. C. 4 D. 23 2 43 3 43答案 D 解析 由三 视图 可知， 该 几何体是一个半 圆 柱 (所在 圆 柱 为圆 柱 OO1)与四棱 锥 的 组 合体，其中四棱 锥 的底面 ABCD 为圆 柱的 轴 截面， 顶 点 P 在半 圆 柱所在 圆 柱的底面 圆 上 (如 图 所示 )，且 P 在 AB 上的射影 为 底面的 圆 心 O. 由三 视图 数据可得，半 圆 柱所在 圆 柱的底面半径 r 1，高 h 2， 故其体 积 V1 r2h 122 ；
2、 12 12四棱 锥 的底面 ABCD 为边长为 2 的正方形， PO 底面 ABCD，且 PO r 1. 故其体 积 V2 S 正方形 ABCDPO 221 . 13 13 43故 该 几何体的体 积 V V1 V2 . 432.已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E， F， M 分别是 AB， AD， AA1 的中点，又P， Q 分别在线段 A1B1， A1D1 上，且 A1P A1Q x， 0 x 1，设平面 MEF 平面 MPQl，则下列结论中不成立的是 ( ) A.l 平面 ABCD B.l AC C.平面 MEF 与平面 MPQ 垂直 D.当 x 变化时，
3、l 是定直线 答案 C 解析 连 接 BD，A1D，A1B，AC1，显 然平面 MEF 平面 A1DB， 设 A1B MP H，A1D QM G， 连 接 HG，则 l HG，又 HG 平面 ABCD， 所以 l 平面 ABCD，AC BD. 又 HG l BD，故 AC l，当 P，Q 分 别 与 B1，D1 重合 时 ，平面 MEF 平面 MPQ， 又 0 x 1，故平面 MEF 与平面 MPQ 不垂直 . 无 论 x 怎么 变 化， l 是 过 M 点与 EF 平行的定直 线 . 3.(2017 届重 庆 八中 调 研 )用半径为 R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆
4、柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为( ) A. B. C. D. 338 337 328 327答案 C 解析 设圆 柱的高 为 x，则圆铁 皮内接矩形的一 边长为 x，那么另一 边长为 y 2 ，所R2 (x2)2以 圆 柱的体 积为 V(x) y2x 4 x ( x3 4R2x)(0 x 2R)，则 V (x) ( 3x2R2 (x2)2 4R2)，令 V (x) 0，得 0 x R；令 V (x) 0，得 R x 2R，即 V(x)在 内233 233 (0，233R)单调递 增，在 内 单调递 减，所以当 x R 时 ，此 圆 柱体 积 最大，那么
5、另一 边长为(233R，2R) 233R，故 圆铁 皮的面 积 和其内接矩形的面 积 比 为 ，故 选 C. 263 R2233R263R 3284.(2017 届河北省 沧 州市第一中学月考 )已知四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，其中 ABCD 为正方形， PAD 为等腰直角三角形， PA PD ，则四棱锥 P ABCD 外接2球的表面积为 ( ) A.10 B.4 C.16 D.8 答案 D 解析 因 为 PAD 为 等腰直角三角形， PA PD ，故 AD AB 2， 2则 点 P 到平面 ABCD 的距离 为 1，而底面正方形的中心 O 到 边 AD 的距离也
6、为 1，则顶 点 P到正方形中心 O 的距离 PO ，正方形的外接 圆 的半径 为 ，故正方形 ABCD 的中心是球2 2心，且球的半径 为 ，所以 该 几何体外接球的表面 积 S 4 2 8，故 选 D. 2 ( 2)5.如图，直三棱柱 ABC A1B1C1 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， AB AC，侧面BCC1B1 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1 的面积为 ( ) A.2 B.1 C. D. 222答案 C 解析 球心在面 BCC1B1 的中心 O 上， BC 为 截面 圆 的直径， BAC 90，底面外接 圆圆 心 N 位于 BC 的中点 处 ， A1B1C1
7、外心 M 在 B1C1 中点上， 设 正方形 BCC1B1 的 边长为 x，在 Rt OMC1 中， OM ，MC1 ，OC1 R 1， x2 x2 2 2 1， (x2) (x2)即 x ，则 AB AC 1， 2 1 . 1ABS矩 形 2 26.(2017河北衡水中学四 调 )在棱长为 6 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M 是 BC 的中点，点P 是面 DCC1D1 所在的平面内的动点，且满足 APD MPC，则三棱锥 P BCD 体积的最大值是 ( ) A.36 B.12 C.24 D.18 3 3答案 B 解析 AD 底面 D1DCC1， AD DP， 同理 BC 平面
8、 D1DCC1，则 BC CP， APD MPC， PAD PMC， AD 2MC， PD 2PC，下面研究点 P 在面 ABCD 内的 轨 迹 (立体几何平面化 )，在平面直角坐 标 系内 设D(0，0)，C(6，0)，C1(6，6)， 设 P(x，y)， PD 2PC， 2 ，化 简 得 (x 8)2 y2 16(0 x 6)，该圆 与 CC1 的交点的 纵 坐 标 最x2 y2 x 62 y2大，交点坐 标 (6，2 )，三棱 锥 P BCD 的底面 BCD 的面 积为 18，要使三棱 锥 P BCD 的体3积 最大，只需高最大，当 P 点坐 标为 (6，2 )时 ，CP 2 ，棱 锥
9、的高最大，此 时 三棱 锥 P3 3BCD 的体 积 V 182 12 ，故 选 B. 13 3 37.(2017 届福建厦 门 双十中学期中 )如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 的对角线AC1 上取一点 P，以 A 为球心， AP 为半径作一个球，设 AP x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为 f(x)，则函数 f(x)的图象最有可能的是 ( ) 答案 A 解析 球面与正方体的表面都相交，我 们 考 虑 三种特殊情形： 当 x 1 时 ； 当 x 时 ； 当 x 时 . 12 2 当 x 1 时 ，以 A 为 球心， 1 为 半径作一个球， 该 球面与正方体表面的
10、交 线 弧 长为 31421 ，且 为 函数 f(x)的最大 值 ； 32 当 x 时 ，以 A 为 球心， 为 半径作一个球，根据 图 形的相似， 该 球面与正方体表面的交 线12 12弧 长为 (1)中的一半； 当 x 时 ，以 A 为 球心， 为 半径作一个球， 该 球面与正方体表面的交 线 弧 长为 32 2 162 ，对 照 选项 可得 A 正确 . 2 2 328.已知球的直径 SC 4， A， B 是该球球面上的两点， AB 2， ASC BSC 45，则棱锥S ABC 的体积为 ( ) A. B. 33 233C. D. 433 533答案 C 解析 由条件知直径 SC 所 对
11、 的 圆 周角 SBC SAC 90，由已知 ASC BSC 45， SBC 与 SAC 是全等的等腰三角形， 设 球的球心 为 点 O， BO SC，AO SC，即 SC 平面 AOB，由条件 OA OB 2，则 OAB 为 等 边 三角形， VS ABC S OABSC 4 . 13 13(1222sin 60) 4339.(2017 届 辽 宁省庄河市高 级 中学月考 )已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的外接球 O 的体积为，其中 BB1 2，则三棱锥 O ABC 的体积的最大值为 ( ) 323A.1 B.3 C.2 D.4 答案 A 解析 由 题 意 设 外接球的半径 为 R
12、，则 由 题设 可得 R3 ，由此可得 R 2， 43 323记长 方体的三条棱 长 分 别为 x，y，2， 则 2R ，由此可得 x2 y2 12， x2 y2 4三棱 锥 O ABC 的体 积 V xy1 xy 1，当且 仅 当 x y 时 “ ”成立 .16 16 16 x2 y22 6故 选 A. 10.(2017浙江温州中学模 拟 )已知四边形 ABCD， AB BD DA 2， BC CD .现将2 ABD 沿 BD 折起，当二面角 A BD C 处于 过程中，直线 AB 与 CD 所成角的余弦6，56值取值范围是 ( ) A. B. 528，28 28，528C. D. 0，28
13、 0，528答案 D 解析 如 图 所示，取 BD 的中点 E，连 接 AE，CE， AEC 即 为 二面角 A BD C 的平面角， 而 AC2 AE2 CE2 2AECEcos AEC 4 2 cos AEC， AEC ， 3 6，56 AC 1， ， 7 2 cos ， ( ) AB CD 2 AB CD AB BD BC 2 ABBC 1 ， AB2 BC2 AC22ABBC AC22 52，12设 异面直 线 AB，CD 所成的角 为 ， 0 cos ，故 选 D. 12252 52811.在半径为 2 的球面上有不同的四点 A， B， C， D，若 AB AC AD 2，则平面 B
14、CD 被球所截得图形的面积为 _. 答案 3 解析 过 点 A 向平面 BCD 作垂 线 ，垂足 为 M，则 M 是 BCD 的外心，而外接球球心 O 位于直 线 AM 上， 连 接 BM，设 BCD 所在截面 圆 半径 为 r， OA OB 2 AB， BAO 60， 在 Rt ABM 中， r 2sin 60 ， 3 所求面 积 S r2 3. 12.如图所示，正方体 ABCD A B C D 的棱长为 1， E， F 分别是棱 AA ， CC 的中点，过直线 EF 的平面分别与棱 BB ， DD 分别交于 M， N 两点，设 BM x， x 0， 1，给出以下四个结论： 平面 MENF
15、平面 BDD B ； 直线 AC 平面 MENF 始终成立； 四边形 MENF 周长 L f(x)， x 0， 1是单调函数； 四棱锥 C MENF 的体积 V h(x)为常数 . 以上结论正确的是 _. 答案 解析 因 为 EF BB ，EF BD，BB BD B，所以 EF 平面 BDD B ，所以平面MENF 平面 BDD B 成立； 因 为 AC EF，所以直 线 AC 平面 MENF 始 终 成立； 因 为 MF ， (12 x)2 1f(x) 4 ，所以 f(x)在 0，1上不是 单调 函数； (x12)2 1 VC MENF VF MC E VF C NE ，故 h(x)为 常数
16、 . 1314 1314 1613.在三棱锥 P ABC 中， PA， PB， PC 两两垂直，且 PA 3， PB 2， PC 1，设 M 是底面 ABC 内一点，定义 f(M) (m， n， p)，其中 m， n， p 分别是三棱锥 M PAB，三棱锥 MPBC， 三棱锥 M PCA 的体积，若 f(M) ，且 8，则正实数 a 的最小值为(12，x，y) 1x ay_. 答案 1 解析 依 题 意， x y 321 1， 12 13 12即 x y ， 12 2 (x y) 1x ay (1x ay) 2 2(1 a 2 ) (1 a yx axy) a 2( 1)2， a由 题设 2(
17、 1)2 8，解得 a 1， a故正 实 数 a 的最小 值为 1. 14.(2017江西南阳一中月考 )如图， ACB 90， DA 平面 ABC， AE DB 交 DB 于 E，AF DC 交 DC 于 F，且 AD AB 2，则三棱锥 D AEF 体积的最大值为 _. 答案 26解析 AD 平面 ABC， DA AB，AD BC， AE DB，又 AD AB 2， DE . 2又 BC AC，AC AD A， BC 平面 ACD， 平面 BCD 平面 ACD， AF DC，平面 BCD 平面 ACD CD，AF 平面 ACD， AF 平面 BCD， AF BD，又 AE BD， BD 平面 AEF， 由 AF EF，得 AF2 EF2 AE2 2 2AFEF，即 AFEF 1， S AEF ，当且 仅 当 AF EF 1 时 “ ”成立， 12 三棱 锥 D AEF 体 积 的最大 值为 .13 2 1226
