第五章 群,众所周知，群、环、域等代数系统是抽象代数或近世代数的基本组成部分，许多密码算法都是以一些特定的代数系统为基础建立的。例如高级加密标准（AES）和椭圆曲线加密算法。群是抽象代数中最基本的一种代数系统，因此群论是读者学习有限域理论必须首先掌握的内容。本章首先给出了与代数系统相关的准备知识；然后介绍了群的定义及相关的性质；在此基础上，讨论了群论，特别是置换群和循环群的有关理论和方法在密码学中的应用。,5.1.1 二元运算的概念,5.1.2 二元运算的性质,定义5.3 设*是S上的二元运算，如果对S中的任意元素x,y，有x*y=y*x，则称*在S上是可交换的。例：实数集上的加法和乘法是可交换的，但减法是不可交换的。,*运算满足交换律、结合律和幂等律， 但不满足消去律，因为4*10=4*40=40。 该运算的单位元为1，无零元，只有1有 逆元，是它本身。,5.1.3 代数系统的定义,5.2 群的定义和性质,群是仅具有一个二元运算的代数系统中最重要的一种，关于群的理论的系统研究早在19世纪初期就已开始，因此群论是代数学中一个比较古老而内容丰富的分支。如今，群论不但是自然科学中许多领域的理论基础，而且在应用科学中也有着广泛的运用。,5.2.1 群的定义,5.2.2 群中元素的阶,5.2.3 子群及子群的判定,
