1、1鸽巢问题1. 在了解简单的“鸽巢问题”的基础上,使学生会用此原理解决简单的实际问题。2. 提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。3. 通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题,激发学生的学习兴趣,使学生感受数学的魅力。重点:引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题” 。难点:找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。铅笔、笔筒、书等。师:同学们,老师给大家表演一个“魔术” 。一副牌,取出大小王,还剩 52 张牌,请 5 个同学上来,每人随意抽一张,我知道至少有 2 人抽到的是同花色的,相信吗?试一试。师生共同玩几次这个“小魔术”,验证一下。师:想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现
2、象了。下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。【设计意图:紧紧扣住学生的好奇心,从学生喜欢的扑克牌“小魔术”开始,激活认知热情。使学生积极投入到对问题的研究中。同时,渗透研究问题的方法和建模的数学思想】1. 讲授例 1。(1)认识“抽屉原理” 。(课件出示例题)把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进 2 支铅笔。学生读一读上面的例题,想一想并说一说这个例题中说了一件怎样的事。教师指出:上面这个问题,同学们不难想出其中的道理,但要完全清楚地说明白,就需给出证明。(2)学生分小组活动进行证明。活动要求:学生先独立思考。把自己的想法和小组内的同学交流。如果需要动手
3、操作,要分工并全面考虑问题。(谁分铅笔、谁当笔筒即“抽屉” 、谁记录等)在全班交流汇报。(3)汇报。师:哪个小组愿意说说你们是怎样证明的? 列举法证明。学生证明后,教师提问:把 4 支铅笔放进 3 个笔筒里,共有几种不同的放法?(共有 4 种不同的放法。在这里 只考虑存在性问题,即把 4 支铅笔不管放进哪个笔筒,都视为同一种情况)根据以上 4 种不同的放法,你能得出什么结论?(总有一个至少放进 2 支铅笔)数的分解法证明。2可以把 4 分解成三个数,共有四种情况:(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一种结果的三个数中,至少有一个数是不小于 2 的。反证法(或假设法
4、)证明。让学生试着说一说,教 师适时指点:假设先在每个笔筒里放 1 支铅笔。那么,3 个笔筒里就放了 3 支铅笔。还剩下 1 支铅笔,放进任意一个笔筒里,那么这个笔筒里就有 2 支铅笔。(4)揭示规律。请同学 们继续思考:把 5 支铅笔放进 4 个笔筒中,那么总有一个笔筒里至少放进几支铅笔,为什么?如果把 6 支铅笔放进 5 个笔筒中,结果是否一样呢?把 7 支铅笔放进 6 个笔筒中呢?把 10 支铅笔放进 9 个笔筒中呢?把 100 支铅笔放进 99 个笔筒中呢?学生回答的同时教师板书:数量(支) 笔筒数(个) 结果5 总有一个笔筒里提问:观察板书,你有什么发现? 小组讨论,引导学生得出一般
5、性结论。(只要放的铅笔数比笔筒的数量多 1,总有一个笔筒里至少放进 2 支铅笔)追问:如果要放的铅笔数比笔筒的数量多 2,多 3,多 4 呢?学生根据具体情况思考并解决此类问题。教师小结。上面我们所证明的数学原理就是最简单的“抽屉原 理”,可以概括为:把 m 个物体任意放到 m-1 个抽屉里,那么总有一个抽屉中至少放进了 2 个物体。2.教学例 2。师:把 7 本书放进 3 个抽屉,不管怎么放,总有一个抽屉里至少放进 3 本书。为什么?自己想一想,再跟小组的同学交流。学生独立思考后,进行小组交流;教师巡视了解情况 。组织全班交流,学生可能会说:我们可以动手操作,选用列举的方法:第一个抽屉 7
6、6 5 4 3 3第二个抽屉 0 1 1 1 1 2第三个抽屉 0 0 1 2 3 2通过操作,我们把 7 本书放进 3 个抽屉,总有一个抽屉至少放进 3 本书。我们可以用数的分解法:把 7 分解成三个数,有(7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2)这样六种情况。在任何一种情况中,总有一个数不小于 3。师:同学们,通过上面两种方法,我们知道了把 7 本书放进 3 个抽屉,不管怎么放,总有 1个抽屉里至少放进 3 本书。但随着书的本书增多,数据 变大 ,如果有 8 本书会怎样呢?10 本呢?甚至更多呢?用列举法、数的分解法会怎样?(繁琐)我们能
7、不能找到一种适用各种数据的一般方法呢?请同学们自己想一想。学生进行独立思考。师:假设把书尽量的“平均分”给各个抽屉,看每个抽屉能分到多少本书,你们能用什么算式表示这一平均分的过程呢?生:73=21师:有余数的除法算式说明了什么问题?生:把 7 本书平均放进 3 个抽屉,每个抽 屉放 2 本书,还剩 1 本;把剩下的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放 3 本书。师:如果有 8 本书会怎样呢?生:83=22,可以知道把 8 本书平均放进 3 个抽屉,每个抽屉放 2 本书,还剩 2 本;把剩下的 2 本中的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放 3 本书。师:10 本书呢?3生:10
8、3=31,可知把 10 本书平均放进 3 个抽屉,每个抽屉放 3 本书,还剩 1 本;把剩下的 1 本不管放到哪个抽屉,总有一个抽屉至少放 4 本书。师:你发现了什么?师生共同小结:要把 a 个物体放进 n 个抽屉,如果 an=bc(c0),那么一定有一个抽屉至少放( b+1)个物体。【设计意图:在渗透研究问题、探索规律时,先从简单的情况开始研究。证明过程中,展示了不同学生的证明方法和思维水平,使学生既互相学习、触类旁通,又建立“建模”思想 ,突出了学习方法】师:通过今天的学习,你有什么收获?生:物体数除以抽屉数,那么总会有一个抽屉里放进比商多 1 的物体个数。师:你能在生活中找 出这样的例子
9、吗?学生举例说明。师:之所以把这个规律称之为“原理”,是因为在我们的生活中存在着许多能用这个原理解决的问题 ,研究出这个规律是非常有价值的。同学们继续努力吧!【设计意图:研究的问题来源于生活,还要还原到生活中去。在教学的最后,请学生总结这节课学会的规律,再让学生举一些能用“鸽巢问题”解释的生活现象,以达到巩固应用的目的】鸽巢问题 1.学生对“至少”理解不够,给“建模”带来了一定的难度。2.培养学生的问题意识,借助直观操作和假设法,将问题转化成“有余数的除法”形式,可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。3.经历将具体问题“数学化”的过程,有利于提高学生的数 学思维能力,让学生在运用新学知识
10、灵活巧妙地解决实际问题的过程中,进一步体验数学的价值,感受数学的魅力,培养学习数学的兴趣A 类1.1001 只鸽子飞进 50 个鸽舍,无论怎么飞,我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里面至少有( )只鸽子。2.从 8 个抽屉中拿出 17 个苹果,无论怎么拿,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了( )个苹果。3.从( )(填最大数)个抽屉中拿出 25 个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了 7 个苹果。(考查知识点:鸽巢问题;能力要求:灵活运用所学知识解决简单的具体问题)B 类你能证明在任意的 37 人中,至少有 4 人的属相相同吗?说明理由。(考查知识点:鸽巢
11、问题;能力要求:灵活运用所学知识解决生活中的实际问题)4课堂作业新设计A 类:1. 21 2. 3 3. 4B 类:把 12 个属相看作 12 个抽屉。3712=31 3 +1=4 即在任意的 37 人中,至少有 4 人属相相同。教材习题第 68 页“做一做”1. 我们可以假设 3 只鸽子分别飞进了三个鸽笼,那么剩余的 2 只鸽子无论飞进哪个鸽笼,都会出现“总有一个 鸽笼至少飞进了 2 只鸽子”这个结果。2. 因为 5 人抽 4 种花色的扑克牌,假设其中的 4 人每人分别抽到其中一种花色,那么剩下的 1 个人无论抽到什么花色,就出现“至少有 2 张牌是同花色”这个结果。第 69 页“做一做”1
12、. 114=2(只)3(只),可知如果每个鸽笼飞进 2 只鸽子,剩下的 3 只鸽子飞进其中任意 3 个鸽笼,那么至少有 3 只鸽子飞进了一个鸽笼。2. 54=1(人)1(人),可知如果每把椅子上坐 1 人,剩下的 1 人再生其中任意的 1把椅子上,那么至少有 1 把椅子上坐了 2 人。1数学广角【教学内容】教材第 68 页例 1、第 69 页例 2【 教材分析】这部分教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“抽屉原理” ，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化” ，会用“抽屉原理”加以解决。【学情分析】“抽屉原理”的理论本身并不复杂，对于学生来说是
13、很容易理解的。例题中的数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间。【教学目标】1理解简单的抽屉原理及抽屉原理的一般形式。2能解决简单的“抽屉原理”问题。【教学重难点】重点：了解简单的抽屉原理，理解“总有”和“至少”的含义。难点：理解“抽屉原理” ，并对一些简单实际问题加以“模型化 ”。【教学准备】多媒体课件、铅笔几支、笔筒几个【情境导入】课 件出示两个游戏画面：A：8 把椅子，8 名学生；B：7 把椅子，8 名学生。师：同学们，如果在班级的联欢会上做“抢椅子”游戏，你们准备选择哪个方案？哪个方案的游戏会更刺激？为什么？学生得出初步知识：B 种方案的游戏更刺激，因为不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐
14、两名同学。师：这其中蕴含着一个怎样的数学原理，这节课我们就一起来探究这个原理吧。(板书课题：数学广角(1)【探究新知】1探讨简单的抽屉原理。(1)教师用课件出示例 1 的题目及情境图。2让同学们拿出自己准备好的铅笔和笔筒，以小组为单位动手操作：把 4 支铅笔放进 3个标有序号的笔筒中，看看能得 出怎样的结论，有什么发现。组织学生分组操作，用铅笔在笔筒里放一放，并在小组中议一议。教师指名小组长汇报。组 1：我们组通过列举法列举了四种放法：(4，0，0)，(3，1，0)，(2，2，0)，(2，1，1)。从这几种放法中我们发现总有一个笔筒里至少放有 2 支铅笔。组 2：我们组运用了假设法来说明问题。
15、如果要让每个笔筒里放的铅笔尽可能少，假设先在每个笔筒里放 1 支铅笔，一共要放 3 支，剩下的 1 支无论放在哪个笔筒里，总有一个笔筒里至少放有 2 支铅笔。组 3：我们组是用算式的方法来说明问题的。因为 4311，所以无论怎样放，总有一个笔筒里放的铅笔支数不少于(11)支。(2)按照我们刚才的探究发现，继续验证。把 5 支铅笔放进 4 个笔筒里，总有一个笔筒里至少放多少支铅笔？(可以结合操作，说一说)师：哪位同学能把你的想法汇报一下。生：(一边演示一边说)把 5 支铅笔放进 4 个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。师：把 8 支铅笔放进 7 个笔筒里呢？生：把 8 支铅笔
16、放进 7 个笔筒里，总有一个笔筒里 至少有 2 支铅笔。师：把 9 支铅笔放进 8 个笔筒里呢？把 10 支铅笔放进 9 个笔筒里呢？师：你发现了什么？生：铅笔的支数比笔筒多 1，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。师：你的发现和他一样吗？(一样)你们太了 不起了！同桌互相说 一遍。2探讨“抽屉原理”的一般形式。(1)课件出示例 2 题目。(2)请同学们小组合作探究。探究时，可利用每组桌上的 7 本书。(3)活动要求：每人先独立思考。把自己的想法和小组同学交流。如果需要动手操作，可以利用桌上的 7 本书。要有分工，并要全面考虑问题。(谁分书，谁当抽屉，谁记录等)(4)在小组内交流汇报
17、。(教师巡视了解各种情况)3(5)师：哪个小组愿意说说你们的方法，把你们的发现与大家一起分享。组 1：假设法：如果每个抽屉放 2 本书，共放了 6 本书，剩下的 1 本还要放进其中一个抽屉，所以至少有 3 本书放进了同一个抽屉。组 2：用算式来表示：7321。所以至少有(21)本书放进同一个抽屉。追问：如果把 7 本书放进 2 个抽屉中；1 4 本书放进 3 个抽屉中；23 本书放进 4 个抽屉中，总有一个抽屉至少有几本书？你能快速作出判断吗？7231 (至少放了 4 本)14342 (至少放了 5 本)23453 (至少放了 6 本)(6)观察，发现规律：学生讨论后，教师指导总 结出一般规律
18、。把 a 个物体放进 n 个抽屉里，如果 anbc(c0)，那么一定有一个抽屉至少放进(b1)个物体。【巩固训练】1完成教材第 68、69 页“做一做” 。(组织学生在小组中交流解答，指名学生汇报解答思路及过程。)2完成教材第 71 页第 13 题。【课堂小结】通过这节课的学习，你有哪些收获？【板书设计】数学广角(1)例 1：(4，0，0) (3，1，0) (2，2，0) (2，1，1)铅笔的支数比笔筒数多 1，不管怎么放， 总有一个笔筒里至少有 2 支铅笔。例 2：7321(至少放了 3 本)把 a 个物体放进 n 个抽屉里，如果 anbc(c0)，那么一定有一个抽屉至少放进(b1)个物体。
19、41五 数学广角鸽巢问题一、教学目标（一）知识与技能通过数学活动让学生了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法。（二）过程与方法结合具体的实际问题，通过实验、观察、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。（三）情感态度和价值观在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。二、教学重难点教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分” ，再调整的方法。教学难点：理解“总有” “至少”的意义，理解“至少数=商数1” 。三、教学准备 多媒体课件。四、教学过程（一）游戏引入出示一副扑克牌。教师：今天老师要给大家表演一个“魔
20、术” 。取出大王和小王，还剩下 52 张牌，下面请 5位同学上来，每人随 意抽一张，不管怎么抽，至少有 2 张牌是同花色的。同学们相信吗？5 位同学上台，抽牌，亮牌，统计。教师：这类问题在数学上称为鸽巢问题（板书） 。因为 52 张扑克牌数量较大，为了方便研究，我们先来研究几个数量较小的同类问题。【设计意图】从学生喜欢的“魔术” 入手，设置悬念，激发学生学习的兴趣和求知欲望，从而提出需要研究的数学问题。（二）探索新知1教学例 1。（1）教师：把 3 支铅笔放到 2 个铅笔盒里，有哪些放法？请同桌二人为一组动手试一试。教师：谁来说一说结果？预设：一个放 3 支，另一个不放；一个放 2 支，另一个
21、放 1 支。 （教师根据学生回答在黑板2上画图表示两种结果）教师：“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有 2 支铅笔” ，这句话说得对吗？教师：这句话里“总有”是什么意思？预设：一定有。教师：这句话里“至少有 2 支”是什么意思？预设：最少有 2 支，不少于 2 支，包括 2 支及 2 支以上。【设计意图】把教材中例 1 的“笔筒”改为“铅笔盒” ，便于学生准备学具。且用画图和数的分解来表示上述问题的结果，更直观。通过对“总有” “至少”的意思的单独说明，让学生更深入地理解“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有 2 支铅笔”这句话。（2）教师：把 4 支铅笔放到 3 个铅笔盒里，有哪些放法？请 4
22、 人为一组动手试一试。教师：谁来说一说结果？学生：可以放（4，0，0） ；（3，1，0） ；（2，2，0） ；（ 2，1，1） 。 （教师根据学生 回答在黑板上画图表示四种结果）引导学生仿照上例得出“不管怎么放，总有一个铅笔盒里至少有 2 支铅笔” 。假设法（反证法）：教师：前面我们是通过动手操作得出这一结论的，想一想，能不能找到一种更为直接的方法得到这个结论呢？小组讨论一下。学生进行组内交流，再汇报，教师进行总结：如果每个盒子里放 1 支铅笔，最多放 3 支，剩下的 1 支不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有 2 支铅笔。首先通过平均分，余下 1 支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总
23、有一个盒子里至少 有 2 支铅笔” 。这就是平均分的方法。【设计意图】从另一方面入手，逐步引入假设法来说理，从实际操作上升为理论水平，进一步加深理解。教师：把 5 支铅笔放到 4 个铅笔盒里呢？引导学生分析“如果每个盒子里放 1 支铅笔，最多放 4 支，剩下的 1 支不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有 2 支铅笔。首先通过平均分，余下 1 支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有 2 支铅笔” 。教师：把 6 支铅笔放 到 5 个铅笔盒里呢？把 7 支铅笔放到 6 个铅笔盒里呢？你发现了什么？引导学生得出“只要铅笔数比铅笔盒数多 1，总有一个盒子里至少有 2 支铅笔”
24、。3教师：上面各个问题，我们都采用了什么方法？引导学生通过观察比较得出“平均分”的方法。【设计意图】让学生自 己通过观察比较得出“平均分”的方法，将解题经验上升为理论水平，进一步强化方法、理清思路。（3）教师：现在我们回过头来揭示本节课开头的魔术的结果，你能来说一说这个魔术的道理吗？引导学生分析“如果 4 人选中了 4 种不同的花色，剩下的 1 人不管选那种花色，总会和其他 4 人里的一人相同。总有一种花色，至少有 2 人选” 。【设计意图】回到课开头提出的问题，揭示悬念，满足学生的好奇心，让学生认识到数 学的应用价值。（4）练习教材第 68 页“做一做”第 1 题（进一步练习“平均分”的方法
25、） 。5 只鸽子飞进了 3 个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了 2 只鸽子。为什么？2教学例 2。（1）课件出示例 2。把 7 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 3 本书。为什么？先小组讨论，再汇报。引导学生得出仿照例 1“平均分”的方法得出“如果每个抽屉放 2 本，剩下 1 本不管放在哪个抽屉里，都会变成 3 本，所以总有一个抽屉里至少放进 3 本书。 ”（2）教师：如果把 8 本书 放进 3 个抽屉，会出现怎样的结论呢？10 本呢？11 本呢？16 本呢？教师根据学生的回答板书：73=21 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 3 本；83=22 不管怎么放，总有一个抽屉
26、里至少放进 3 本；103=31 不管怎么放 ，总有一个抽屉里至少放进 4 本；113=32 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 4 本；163=51 不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进 6 本。教师：观察上述算式和结论，你发现了什么？引导学生得出“物体数抽屉数=商数余数” “至少数=商数+1” 。【设计意图】一步一步引导学生合作交流、自主探索，让学生亲身经历问题解决的全 过程，增强学习的积极性 和主动性。4（三）巩固练习111 只鸽子飞进了 4 个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了 3 只鸽子。为什么？25 个人坐 4 把椅子，总有一把椅子上至少坐 2 人。为什么？（四）课堂小结教师：通过这节课的
27、学习，你有哪些新的收获呢？我们学会了简单的鸽巢问题。可以用画图的方法来帮助我们分析，也可以用除法的意义来解答。1数学广角(2)【教学内容】教材第70页例3【教材分析】在上节课学习了简单的“抽屉原理”，但“抽屉原理”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结果 。【学情分析】“抽屉原理”的应用千变万化，尤其是“抽屉原理” 的逆用，学生对进行逆向思维可能会感到困难，对于“应该把什么看成抽屉，要分放的东西是什么”，学生可能会缺乏思考的方向，难以找到切入点。【教学目标】1进一步理解“抽屉 原理”，运用“抽屉原理”进行逆向思维，解决实际问题。2经历运 用“抽屉原理”
28、解决问题的过程，体验观察猜想，实践操作的学习方法。【教学重难点】重点：引导学生把具体问题转化为“抽屉原理”。难点：找出“抽屉”有几个 ，再应用“抽屉原理”进行反向推理。【教学准备】多媒体课件、红球和蓝球各4个、盒子1个(不透明)【激趣导入】同学们，你们喜欢魔术吗？今天老师给你们表演一个怎么样？看，这是一副扑克牌，去掉两张王牌，还剩下52张，请同学们任意挑出5张。(让5名学生抽牌)好，见证奇迹的时刻到了！你们手里的牌至少有2张是同花色的。神奇吧！你们想不想表演一个呢？现在老师这里还是刚才这副牌，请你抽牌，至少抽多少张牌才能保证至少有2张牌的点数相同呢？在学生抽的基础上揭示课题。教师：这节课我们学
29、习利用“抽屉原理”解决生活中的实际问题。(板书课题：数学广角(2)【探究新知】21教学例3(1)课件出示例3题目：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？(2)出示一个装有4个红球和4个蓝球的不透明盒子。(3)摸球：师：同学们，猜猜老师盒子里放了什么？谁想上前来摸一摸呢？请一名学生上前摸出1个给大家看。师：如果这位同学只摸1个球，可能是什么颜色的？(红色或蓝色)要想这位同学摸出的球一定有2个同色的，最少 要摸出几个球？请各小组的组长拿出老师叫大家准备的不透明的盒子和4个红球、4个蓝球，采取分工合作的方式在下面摸一摸，并把摸的结果记录 在下表中 。课件
30、出示空白表格，里面内容引导学生填写。摸出个数 可能出现的情况2个 1红1蓝，2红，2蓝3个 2红1蓝，2蓝1红，3红 ，3蓝4个 2红2蓝，1红3蓝，1蓝3红 ，4红，4蓝5个 6个 (4)先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想，老师巡视，发现问题及时指导。(5)指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由，看看解决这个问题是否有规律可循。我们知道“ 只要分的物体个数比抽屉数多，就能保证一定有一个抽屉至少有2个物体”，由此推断要保证一个抽屉至少有2个球，分的物体个数只要比抽屉数2多1就可以了，即21 3(个)。师：为什么球的个数一定要比抽屉数多？而且是多1呢？球有两种颜色，就是两个抽屉，从最不利的
31、情况考虑摸2个球都不同色，就必须多摸一个，所以球一定要比抽屉数多1。其实摸4个球、5个球或者更多球，都能保证一定有2个球同色，但问题中要求摸的球数必须“至少”，所以摸3个球就够了。师：说得好！运用学过的知识、逆推的方法说明了“只要摸出的球比球的颜色种数至3少多1，就能保证有2个球同色”。这一结论是正确的。板书：只要摸出的球比球的颜色种数至少多1，就能保证有2个球同色。或者说只要物体数比抽屉数至少多1，就能保证有一个抽屉至少放2个物体。2引导学生把具体问题转化成“抽屉原理”。师：生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验，能不能把这道题与前面讲的“抽屉原理”联系起来思考呢？思考：(1)摸
32、球问题与“抽屉原理”有怎样的联系？(2)应该把什么看成“抽屉”？有几个“抽屉”？要分别放的东西是什么？学生讨论，汇报结果，教师讲评：因为有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“ 同色”就意味着“同一个抽屉”。这样把“摸球问题”转化成“抽屉问题”，即“只要分的物体比抽屉多1，就能保证有一个抽屉至少有2个同色球”。从最特殊的情况想起，假设两种颜色的球各拿了1个，也就是在两个抽屉里各拿了1个球，不管从哪个抽屉里再拿1个球，都有2个球是同色的。假设至少摸a个球，即a21b，当b1时，a就最小。所以一次至少应拿出1213个球，就能保证有2个球同色。结论：要保证摸出的球有两个同色，摸出
33、的球数至少要比抽屉数 多1。【巩固训练】1完成教材第70页“做一做”第1题。(1)学生独立思考。(提示：把什么看作抽屉，有几个抽屉？要分的东西是什么？)(2)同桌讨论，汇报交流，教师点评。2完成教材第70页“做一做”第2题。(1)学生独 立思考。(提示把四种颜色看作四个抽屉。)(2)小组讨论后汇报交流。3完成教材第71页第46题。【课堂小结】这节课你学到了什么知识？谈谈你的收获和体验。【板书设计】数学广角(2)只要摸出的球比球的颜色种数至少多1，就能保证有2个球同色。或者说只要物体数比抽屉数至少多1，就能保证有一个抽屉至少放2个物体。41鸽巢问题（2）【教学内容】 “鸽巢问题”的具体应用（教材
34、第 70 页例 3） 。【教学目标】1.在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问题。2.培养学生有根据、有条理的进行思考和推理的能力。3.通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。【重点难点】引导学生把具体问题转化为“鸽巢问题” ，找出这里的“鸽巢”有几个，再利用“鸽巢问题”进行反向推理。【教学准备】课件，1 个纸盒，红球、蓝球各 4 个。【情景导入】教师讲月黑风高穿袜子的故事。一天晚上，毛毛房间的电灯突然坏了，伸手不见五指，这时他又要出去，于是他就摸床底下的袜子，他有蓝、白、灰色的袜子各一双，由于他平时做事随便，袜子乱丢，在黑暗
35、中不知道哪些袜子颜色是相同的。毛毛想拿最少数目的袜子出去，在外面借街灯配成相同颜色的一双。你们知道最少拿几只袜子出去吗？在学生猜测的基础上揭示课题。教师：这节课我们利用鸽巢问题解决生活中的实际问题。板书：“鸽巢问题”的具体应用。【新课讲授】1.教学例 3。盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4 个，要想摸出的球一定有 2 个同色的，最少要摸出几个球？（出示一个装了 4 个红球和 4 个蓝球的不透明盒子，晃动几下）师：同学们,猜一猜老师在盒子里放了什么?（请一个同学到盒子里摸一摸，并摸出一个给大家看）2师：如果这位同学再摸一个，可能是什么颜色的？要想这位同学摸出的球，一定有 2个同色的，最少要摸出几
36、个球？请学生独立思考后，先在小组内交流自己的想法，验证各自的猜想。指名按猜测的不同情况逐一验证，说明理由。摸 2 个球可能出现的情况：1 红 1 蓝；2 红；2 蓝摸 3 个球可能出现的情况：2 红 1 蓝；2 蓝 1 红；3 红；3 蓝摸 4 个球可能出现的情况：2 红 2 蓝；1 红 3 蓝；1 蓝 3 红；4 红；4 蓝摸 5 个球可能出现的情况：4 红 1 蓝；3 蓝 2 红；3 红 2 蓝；4 蓝 1 红；5 红；5 蓝教师：通过验证，说说你们得出什么结论。小结：盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4 个。想要摸出的球一定有 2 个同色的，最少要摸 3 个球。2.引导学生把具体问题转化为
37、“鸽巢问题” 。教师：生活中像这样的例子很多，我们不能总是猜测或动手试验吧，能不能把这道题与前面所讲的“鸽巢问题”联系起来进行思考呢？思考：a.“摸球问题”与“鸽巢问题”有怎样的联系？b.应该把什么看成“鸽巢”?有几个“鸽巢”?要分放的东西是什么？c.得出什么结论？学生讨论，汇报。教师讲解：因为一共有红、蓝两种颜色的球，可以把两种“颜色”看成两个“鸽巢” ，“同色”就意味着“同一个鸽巢” 。这样，把“摸球问题”转化“鸽巢问题” ，即“只要分的物体个数比鸽巢多，就能保证有一个鸽巢至少有两个球” 。从最特殊的情况想起，假设两种颜色的球各拿了 1 个，也就是在两个鸽巢里各拿了一个球，不管从哪个鸽巢里
38、再拿一个球，都有两个球是同色，假设最少摸 a 个球，即（a）2=1（b）当 b=1 时，a 就最小。所以一次至少应拿出 12+1=3 个球，就能保证有两个球同色。结论：要保证摸出有两个同色的球，摸出的数量至少要比颜色种数多一。【课堂作业】先完成第 70 页“做一做”的第 2 题，再完成第 1 题。（1）学生独立思考。3（提示：把什么看做鸽巢？有几个鸽巢？要分的东西是什么？）（2）同桌讨论。（3）汇报交流。教师讲解：第 2 题：因为一共有红、黄、蓝、白四种颜色的球，可以把四种“颜色”看成四个“鸽巢” ， “同色”就意味着“同一鸽巢” 。把“摸球问题”转化成“鸽巢问题” ，即“只要分的物体个数比鸽
39、巢数多一，就能保证至少有一个鸽巢有两个球，摸出的球的数量至少比颜色的种数多一，所以至少取 5 个球，才能保证有两个同色球。第 1 题：他们说的都对，因为一年中最多有 366 天，所以把 366 天看做 366 个鸽巢，把 370 名学生放进 366 个鸽巢里，人数大于鸽巢数，因此总有一个鸽巢里至少有两个人，即他们的生日是同一天。1 年中有十二个月，如果把 12 个月看作是十二个鸽巢，把 49 名学生放进 12 个鸽巢里，4912=41，因此总有一个鸽巢里至少有 5（即 4+1）个人，也就是至少有 5 个人的生日在同一个月。教师：上课时老师讲的故事你们还记得吗？（课件出示故事）谁能说说在外面借街
40、灯配成同颜色的一双袜子，最少应该拿几只出去？【课堂小结】本节课你有什么收获？【课后作业】完成练习册中本课时的练习。第 2 课时鸽巢问题（2）要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色的种类多一。课前引入时，教师设计有关鸽巢问题在生活中运用的问题，使生活问题数学化、数学教学生活化，让学生在学习数学中得到发展。活动化的数学课堂，使学生在活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造；使学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分发展，从而达到动智与动情的完美结合，全面提高学生的整体素质。在教学例 3 时，教师充分利用学具操作，为学生提供主动参与的机会，把抽象的数学
41、知识同具体的实物结合起来，化难为易，化抽象为具体，让学生体验和感悟数学。充分为学生营造宽松自由的学习氛围和学习空间，能让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更好地理解鸽巢问题。415 数学广角鸽巢问题【教学目标】1.引导学生通过观察、猜测、实验推理等活动，经历探究鸽巢问题的过程，初步了解鸽巢问题，会用鸽巢问题解决简单的生活问题。2.培养学生解决简单实际问题的能力。3.通过鸽巢问题的灵活运用，展现数学的魅力。【重点难点】重点：灵活应用鸽巢问题解决实际问题。难点：理解鸽巢问题。【教学指导】1.让学生初步经历“数学证明”的过程。可以鼓励引导学生借用学具、实物操作或画草图的方法进行说理。通过说理的方式理
42、解鸽巢问题的过程是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后思维严密的数学证明做准备。2.有意识地培养学生的模型思想。当我们面对一个具体问题时，能否将这个具体问题和鸽巢问题联系起来，能否找到该问题的具体情境与鸽巢问题的一般化模型之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西” ，什么是“鸽巢” ，是解决该问题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于鸽巢问题的范畴，再思考如何寻找隐藏在其背后的鸽巢问题的一般模型。这个过程是学生经历将具体问题数学化的过程，从复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生思维和能力的重要方面。3.要适当把握教学要求。鸽巢问题本
43、身或许并不复杂，但其应用广泛且灵活多变。因此，用鸽巢问题解决实际问题时，经常会遇到一些困难，所以有时找到实际问题与鸽巢问题之间的联系并不容易,即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢” 。因此，教学时，不必过分要求学生说理的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就行了，鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。【课时安排】2建议共分 2 课时：数学广角2 课时【知识结构】第 1 课时 鸽巢问题（1）【教学内容】最简单的鸽巢问题（教材第 68 页例 1 和第 69 页例 2） 。【教学目标】1.理解简单的鸽巢问题及鸽巢问题的一般形式，引导学生采用操作的方法进行枚举及假设法探究“鸽巢问题”
44、 。2.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的探究意识。【重点难点】了解简单的鸽巢问题，理解“总有”和“至少”的含义。【教学准备】实物投影，每组 3 个文具盒和 4 枝铅笔。【情景导入】教师：同学们，你们在一些公共场所或旅游景点见过电脑算命吗？“电脑算命”看起来很深奥，只要你报出自己的出生年月日和性别，一按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子。通过今天的学习，我们掌握了“鸽巢问题”之后，你就不难证明这种“电脑算命”是非常可笑和荒唐的，是不可相信的鬼把戏了。(板书课题：鸽巢问题)教师：通过学习，你想解决哪些问题？根据学生回答，教师把学生提出的问题归结为：“鸽巢问题”是怎样的？这里的“鸽
45、巢”是指什么？运用“鸽巢问题”能解决哪些问题？怎样运用“鸽巢问题”解决问题？【新课讲授】1.教师用投影仪展示例 1 的问题。3同学们手中都有铅笔和文具盒，现在分小组形式动手操作：把四支铅笔放进三个标有序号的文具盒中，看看能得出什么样的结论。组织学生分组操作，并在小组中议一议，用铅笔在文具盒里放一放。教师指名汇报。学生汇报时会说出：1 号文具盒放 4 枝铅笔，2 号、3 号文具盒均放 0 枝铅笔。教师：不妨将这种放法记为（4,0,0） 。 板书：（4,0,0） 教师提出：（4，0，0） （0，4，0） （0，0，4,）为一种放法。教师：除了这种放法，还有其他的方法吗？教师再指名汇报。学生会有（4
46、，0，0）（0，1，3） （2,2,0） （2,1,1）四种不同的方法。教师板书。教师：还有不同的放法吗?教师：通过刚才的操作，你能发现什么?（不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。 ）教师:“总有”是什么意思?（一定有）教师:“至少”有 2 枝什么意思?（不少于两只,可能是 2 枝,也可能是多于 2 枝）教师：就是不能少于 2 枝。(通过操作让学生充分体验感受)教师进一步引导学生探究：把 5 枝铅笔放进 4 个文具盒，总有一个文具盒要放进几枝铅笔？指名学生说一说，并且说一说为什么？教师:把 4 枝笔放进 3 个盒子里,和把 5 枝笔放进 4 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有
47、 2 枝铅笔。这是我们通过实际操作发现的这个结论。那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?学生思考组内交流汇报教师:哪一组同学能把你们的想法汇报一下?学生会说:我们发现如果每个盒子里放 1 枝铅笔,最多放 3 枝,剩下的 1 枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。教师:你能结合操作给大家演示一遍吗?(学生操作演示)教师:同学们自己说说看,同桌之间边演示边说一说好吗?教师:这种分法,实际就是先怎么分的?学生：平均分。教师:为什么要先平均分?(组织学生讨论)学生汇报：要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有 2 枝”,先平均分,余下 1 枝,4
48、不管放在哪个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有 2 枝” 。这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?教师:同意吗?那么把 5 枝笔放进 4 个盒子里呢?(可以结合操作,说一说)教师:哪位同学能把你的想法汇报一下？学生:(一边演示一边说)5 枝铅笔放在 4 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2 枝铅笔。师:把 6 枝笔放进 5 个盒子里呢?还用摆吗?生:6 枝铅笔放在 5 个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。师:把 7 枝笔放进 6 个盒子里呢?把 8 枝笔放进 7 个盒子里呢?把 9 枝笔放进 8 个盒子里呢?教师：你发现什么?学生：铅笔的枝数
49、比盒子数多 1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。教师:你们的发现和他一样吗?(一样)你们太了不起了!同桌互相说一遍。把 100 枝铅笔放进 99 个文具盒里会有什么结论？一起说。巩固练习：教材第 68 页“做一做” 。A 组织学生在小组中交流解答。B 指名学生汇报解答思路及过程。2.教学例 2。出示题目:把 7 本书放进 3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?请同学们小组合作探究。探究时，可以利用每组桌上的 7 本书。活动要求：a.每人限独立思考。b.把自己的想法和小组同学交流。c.如果需要动手操作，可以利用每桌上的 7 本书，要有分工，并要全面考虑问题。(谁分铅
50、笔，谁当抽屉，谁记录等)d.在全班交流汇报。(师巡视了解各种情况)学生汇报。哪个小组愿意说说你们的方法？把你们的发现和大家一起分享，学生可能会有以下方法：a.动手操作列举法。学生：通过操作，我们把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉至少放进 3 本书。b.数的分解法。5把 7 分解成三个数，有（7,0） ， （6,1） ， （5,2） ， （4,3）四种情况。在任何一种情况下，总有一个数不小于 3。教师：通过动手摆放及把数分解两种方法，我们知道把 7 本书放进 3 个抽屉，总有一个抽屉至少放进几本书?(3 本)教师质疑引出假设法。教师：同学们通过以上两种方法，知道了把 7 本书放进 3 个
51、抽屉，总有一个抽屉至少放进 3 本书，但随着书的本数越多，数据变大，如：要把 155 本书放进 3 个抽屉呢？用列举法、数的分解法会怎么样？（繁琐）我们能不能找到一种适用各种数据的方法呢？请同学们想想。板书:7 本 3 个 2 本余 1 本(总有一个抽屉里至少有 3 本书)8 本 3 个 2 本余 2 本(总有一个抽屉里至少有 3 本书)10 本 3 个 3 本余 1 本(总有一个抽屉里至少有 4 本书)师:2 本、3 本、4 本是怎么得到的?生：完成除法算式。73=2 本1 本(商加 1)83=2 本2 本(商加 1)103=3 本1 本(商加 1)师:观察板书你能发现什么?学生：“总有一个
52、抽屉里的至少有 3 本” ，只要用“商+1”就可以得到。师:如果把 5 本书放进 3 个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?学生:“总有一个抽屉里至少有 3 本”只要用 53=1 本2 本,用“商+2”就可以了。学生有可能会说：不同意!先把 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,每个抽屉里先放 1 本,还剩 2 本,这 2 本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有 2 本书,不是 3本书。师:到底是“商+1”还是“商+余数”呢?谁的结论对呢?在小组里进行研究、讨论、交流、说理活动。可能有三种说法：a.我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有 2本书,不是
53、 3 本书。b.把 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,每个抽屉里先放 1 本,余下的 2 本可以在 2 个抽屉6里再各放 1 本,结论是“总有一个抽屉里至少有 2 本书” 。c.我们组的结论是 5 本书平均分放到 3 个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有 2 本书”用“商加 1”就可以了,不是“商加 2”。教师:现在大家都明白了吧?那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?学生回答：如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加 1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加 1 本书”了。教师讲解：同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由 19 世纪的
54、德国数学家狄里克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理” 。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。 “抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。提问：尽量把书平均分给各个抽屉，看每个抽屉能分到多少本书，你们能用什么方式表示这一平均的过程呢？学生在练习本上列式：73=21。集体订正后提问：这个有余数的除法算式说明了什么问题？生：把 7 本书平均放进 3 个抽屉，每个抽屉有两本书，还剩一本，把剩下的一本不管放进哪个抽屉，总有一个抽屉至少放三本书。引导学生归纳鸽巢问题的一般规律。a.提问：如果把 10
55、本书放进 3 个抽屉会怎样？13 本呢？b.学生列式回答。c.教师板书算式：103=31（总有一个抽屉至少放 4 本书）133=41（总有一个抽屉至少放 5 本书）观察特点，寻找规律。提问：观察 3 组算式，你能发现什么规律？引导学生总结归纳出：把某一数量（奇数）的书放进三个抽屉，只要用这个数除以3，总有一个抽屉至少放进书的本数比商多一。提问：如果把 8 本书放进 3 个抽屉里会怎样，为什么？83=22学生汇报。可能出现两种情况：一种认为总有一个抽屉至少放 3 本书；一种认为总有一个抽屉至少放 4 本书。7学生讨论。讨论后，学生明白：不是商加余数 2，而是商加 1。因为剩下两本，也可能分别放进
56、两个抽屉里，一个抽屉一本，相当于数的分解（3,3,2） 。所以，总有一个抽屉至少放 3 本书。总结归纳鸽巢问题的一般规律。要把 a 个物体放进 n 个抽屉里，如果 an=bc（c0） ，那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。【课堂作业】教材第 69 页“做一做” 。（1）组织学生在小组中交流解答。（2）指名学生汇报解答思路及过程。答案：（1）114=2（只）3（只） 2+1=3(只)一定有一个鸽笼至少飞进 3 只鸽子。（2）54=1（人）1（人） 1+1=2(人)一定有一把椅子上至少坐 2 人。【课堂小结】通过这节课的学习，你有哪些收获？【课后作业】完成练习册中本课时的练习。第 1 课时鸽
57、巢问题（1）（4，0，0） （0，1，3） （2,2,0） （2,1,1）学生铅笔的枝数比盒子数多 1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有 2 枝铅笔。52=2172=3192=41要把 a 个物体放进 n 个抽屉里，如果 an=bc（c0） ，那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。1.小组活动很容易抓住学生的注意力，让学生觉得这节课要探究的问题既好玩又有意义。82.理解“鸽巢问题”对于学生来说有着一定的难度。3.大部分学生很难判断谁是物体，谁是抽屉。4.学生对“至少”理解不够，给建模带来一定的难度。5.培养学生的问题意识，借助直观操作和假设法，将问题转化为“有余数的除法”的形式。可以使学生更好地理解“抽屉原理”的一般思路。6.经历将具体问题“数学化”的过程，有利于培养学生的数学思维能力，让学生在运用新知识灵活巧妙地解决实际问题的过程中进一步体验数学的价值，感受数学的魅力，激发学习的兴趣。
