1、1,第八章第部分 弯曲应力,材料力学,2,1 引言 2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 3 梁横截面上的剪应力 4 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面 5 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心 6 考虑材料塑性时的极限弯矩,第五章 弯曲应力, 引言,弯曲应力,1、弯曲构件横截面上的（内力）应力,平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况) 平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况),弯曲应力,2、研究方法,纵向对称面,P1,P2,例如：,某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如AB段。,弯曲应力,P,P,a,a,A,B,Q,M,x,x
2、,纯弯曲(Pure Bending):,P,P,Pa,2 平面弯曲时梁横截面上的正应力,1.梁的纯弯曲实验,横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。,（一）变形几何规律：,一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力,弯曲应力,横截面上只有正应力。,平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。,（可由对称性及无限分割法证明）,3.推论,弯曲应力,2.两个概念,中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。,4. 几何方程：,弯曲应力,（
3、二）物理关系：,假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单项应力状态。,弯曲应力,（三）静力学关系：,弯曲应力,（对称面）, (3),（四）最大正应力：,弯曲应力, (5),例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）11截面上1、2两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。,弯曲应力,解：画M图求截面弯矩,弯曲应力,求应力,求曲率半径,弯曲应力,3 梁横截面上的剪应力,一、 矩形截面梁横截面上的剪应力,1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力 相等。,2、研究方法：分离体平衡。 在
4、梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡,弯曲应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,弯曲应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由剪应力互等,弯曲应力,t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。,二、其它截面梁横截面上的剪应力,1、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为：,其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；,2、几种常见截面的最大弯曲剪应力,弯曲应力,Iz为整个
5、截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。,槽钢：,弯曲应力, 梁的正应力和剪应力强度条件 梁的合理截面,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,弯曲应力,一、梁的正应力和剪应力强度条件,2、正应力和剪应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）,弯曲应力,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,4、需要校核剪应力的几种特殊情况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值
6、时，要校核剪应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,、校核强度：,弯曲应力,解：画内力图求危面内力,例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,弯曲应力,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,应力之比,弯曲应力,解：画弯矩图并求危面内力,例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置
7、更合理？,4,弯曲应力,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,T字头在上面合理。,弯曲应力,A3,二、梁的合理截面,（一）矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 为,弯曲应力,强度：正应力：,剪应力：,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,（二）其它材料与其它截面形状梁的合理截面,弯曲应力,弯曲应力,工字形截面与框形截面类似。,弯曲应力,对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能
8、力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,弯曲应力,2、根据材料特性选择截面形状,弯曲应力,（三）采用变截面梁 ，如下图：,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时, 非对称截面梁的平面弯曲 开口薄壁截面的弯曲中心,几何方程与物理方程不变。,弯曲应力,依此确定正应力计算公式。,剪应力研究方法与公式形式不变。,弯曲应力,弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向力作用点。（如前述坐标原点O）,槽钢：,弯曲应力,非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴，,若是横向力，还必须过弯曲中心。,弯曲中心的确定:,(
9、1)双对称轴截面，弯心与形心重合。,(2)反对称截面，弯心与反对称中心重合。,(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。,(4)求弯心的普遍方法：,弯曲应力, 考虑材料塑性时的极限弯矩,（一）物理关系为：,全面屈服后,平面假设不再成立;仍做纵向纤维互不挤压假设。,弯曲应力,理想弹塑性材料的s-e图,弹性极限分布图,塑性极限分布图,（二）静力学关系：,（一）物理关系为：,弯曲应力,弯曲应力,例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之比。,解：,弯曲应力,41,第八章 练习题 一、推导梁弯曲正应力公式时，采用了哪两个假设？二、矩形截面悬臂梁在自由端作用力偶M。已知梁顶面的纵向正应变为0.0008，试求梁轴线的曲率半径。三、正方形截面简支梁受均布载荷作用，若=6，试求当梁的最大正应力和最大剪应力同时达到许用应力时，比值L/a的大小.,弯曲应力,42,四、图示木梁的许用应力=10MPa.试求在保证梁强度的条件下圆孔的最大直径d(不考虑应力集中).,弯曲应力,43,本章结束,
