1、 2012 高考数学压轴题 A 原创作者: 末日 2011.07.02对于实数 , 若无穷数列L n满足以下条件:对任意的 n N+,: ; : ; 1-L 01n1+L- 12n1+nn则称数列L n为 数列,其中 .)(2(1)判断数列 , 是否为 数列,并明理由;31an1)(nnb)3(2)请写出一个 数列,并加以证明;)(3)对任意实数 ,且 , 证明: 下列不等式对任意正整数 n 恒成立.1 2)1(n22)1( 22 111 nn nn (4)有兴趣的朋友可试做,看看你能证出几个. 2 4i32 (1) (1)221i1 1 1,: 0iiii ii nniinn n nii i
2、 ii i i 对 证 明解 答:(1) 不是 数列,由题意: 数列的首项 .又 ,不符合题意. 不是n31a)()3(21-3L13a1 n31a)(是 数列. , 显然 , 而 12)(nb)3(21b0nb 12)(11 nnbn , 则 满足条件 011bnn n由条件知,只需证明 : 3- 32n1nb42)3()( 12nnn当 n=1 时,显然成立. 当 时, )42()3(2)4(2)3()2n)(3)2()3( 121121-0 0n1nn nnCn nn 满足条件. 因此 是 数列.nb12(nnb(2) 答案不唯一,如 ; ; ;1)(ann1ann,1a,22n1,n1
3、148,2a,3n(备注:只存在唯一的等比数列是 数列,即 ,原因请读者自行探究.)(1(ann(以下仅提供前两者证明过程,其它 数列请自行证明.)1.证明 是 数列.1)(ann)( .由题意 , , , ,满足条件)(1 20an 1)(1nn 1-a a0n1+下面证明 满足条件 : 即证明:naa- n1+n )1(-)1( 2- n1nn )1(-)1()1(2n nnn )1()1(2nnn,显然成立. 满足条件1nna综上可得, 是 数列.1)(an)(2.证明 是 数列.1an)( .由题意 , , , ,满足条件)(120an 11n1 nn 1-a a0n1+下面证明 满足
4、条件 : 即证明:naa- n1+n )1(-)1( 2-nnn,)()1(21n1 nn()12(1nn 01显然成立. 满足条件a综上可得, 是 数列1n)(3. 证明: I: nnkkn nnn nn 11111 11122222)(22 由题意: , 101kkk23111()1kkkkkk 1111n222 k nnkk即 111n22)1(22 n nnII: 由题意知, 1(i):当 时2显然: , 011n2 0122)1(n 2)(n2 n(ii):当 时, 2)1(n211 n 1212)(nn1n21 12nk2 方法之一 :辅助数列法取任意一个 数列,不妨用 表示,则对
5、任意正整数 k 有:)(n)(;1-)(0k 1k )(-)( 2k1kk)( -2 1kk 0)( 1-2- k1k2kn23kk112111-2 () () () () - - - n1nn1n11 -2 ()- -()()2 ()-2- - - 综上,原不等式得证 .方法之二 :辅助不等式 ,2kn1 , .1112n 当 若 要 使 愿 不 等 式 成 立 只 需 证 明 即 可 当 2n=时 ,易 证 -成 立当 2kk1k+12kk+1k1k2kn()112k+1 当 时 假 设 时 有则 当 =时 1 2n11122n 也可构建辅助不等式: ,方法类同上2n2n111 备注:事实
6、上此问不等式还能进一步扩展为对任意 222 22(1) (1)2 22438624n331 11n nnn nn (1)(1)2n22(1)2 1nnn 2 4i32(1) (1)221i1 1 1 0iiii ii nniinn n nii i ii i i 即 现证明其中的第和第条(其余请读者自几解决) 2k12014kk由 2k2 2211 111 44kkk kkkk 22 22(1) (1)21 11n nnn n 首先 k 0k 0i0111111ki k ki kCC kk2 2201k01kk22 220k1k-1 k0 1211 222kkk kk kk kk kk kk kk CCC 02012 2 22 2 224k32 kkk k kk kkk k kk k kk 122 2 438624n32 2(1) 3(1)2 21 11 nn n nn n
