2011年高考数学二轮复习研讨会专题：《数列》.doc

1、欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网2011 年高考数学二轮复习研讨会专题:数列九江市同文中学 张园和数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题也是高考的热点，常在数列解答

2、题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。一、教学要求本专题的教学要求有以下几点。1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式） ，了解数列是一种特殊函数，理解数列的通项公式的意义。2、理解等差数列的概念；掌握等差数列的通项公式、前 n 项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等差数列与一次函数的关系。3、理解等

3、比数列的概念；掌握等比数列的通项公式、前 n 项和公式，能运用公式解决一些简单问题。能在具体的问题情境中发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。了解等比数列与指数函数的关系。探索等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式。4、数列教学，要注意的问题：(1) 教学中，应使学生了解数列是一种特殊函数。(2) 会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。(3) 教学中，要掌握数列中各量之间的基本关系但训练要控制难度和复杂程度，避免繁琐的计算、人为技巧化的难题。(4) 等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系。这样做，既突出了问题意识，

4、也有助于学生理解数列的本质。二、考纲要求江西省 2009 年高考仍按教育部考试中心颁布的大纲实施，其中有关数列的部分是这样写的：考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式考试要求：(1) 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2) 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。(3) 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题。三、试题特点欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列

5、资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网1、考情统计 2005 年高考各地的 16 套试卷中，每套试卷均有 1 道数列解答题试题，处于压轴位置的有 6道。数列解答题属于中档题或难题。其中，涉及等差数列和等比数列的试题有 11 道，有关递推数列的有 8 道，关于不等式证明的有 6 道。另外，等比求和的错位相减法，广东卷的概率和数列的交汇，湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中展现的亮点。2006 年高考各地的 18 套试卷中,有 18 道数列解答试题。其中与函数综合的有 6 道，涉及数列不等式证明的有 8 道，北京还命制了新颖的“绝对差数列”。值得一提的是，其中有

6、 8 道属于递推数列问题，这在高考中是一个重点。2007 年高考各地的各套试卷中都有数列题，有 7 套试卷是在压轴题的位置，有 9 套是在倒数第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，几乎每道题涉及到递推数列，有 9 道涉及到数列、不等式或函数的综合问题，安徽省还出现了一道数列应用题。2008 年高考各地的各套试卷中都有数列题，也都是几乎每道题涉及到递推数列， 数列、不等式或函数的综合问题。综上可知，数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型，其命题热点是与不等式交汇、呈现递推关系的综合性试题。其中，以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体，有着高等数学背景的数列解答题仍将是未来高

7、考命题的亮点，而以考查学生归纳、猜想、数学试验等能力研究性试题也将成为高考命题的一个新亮点。2、主要特点数列是高中代数的重要内容之一，也是与大学衔接的内容，由于在测试学生逻辑推理能力和理性思维水平，以及考查学生创新意识和创新能力等方面有不可替代的作用，所以在历年高考中占有重要地位，近几年更是有所加强。 数列解答题大多以数列为考查平台，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用递推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，其难度属于中、高档难度。高考对本章的考查比较全面，等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏一般情况下都

8、是一个客观题和一个综合解答题。数列的综合题难度都很大，甚至很多都是试卷的压轴题，它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，还涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法其中的高考热点探索性问题也出现在近年高考的数列解答题中。3、考查知识(1) 考查数列、等差数列、等比数列等基本知识、基本技能。(2) 与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习潜能和数学素养。(3) 以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创造能力提供广阔的空间。四、试题类型下面我以 2008 年高考试题为例，大致概括一

9、下高考数列试题的常见类型。只谈数列本身，不涉及数列与向量、三角或解析几何等知识的交汇。类型一：考查等差、等比数列的基本问题等差、等比数列是两类最基本的数列，它们是数列部分的重点，也是高考考查的热点。等差、等比数列的定义、通项公式、前 n 项的和等基本知识一直是高考考查的重点，这方面考题的解法灵活多样，技巧性强，考查的目的在于测试考生灵活运用知识的能力，这个“灵活”就集中在“转化”的水平上。江西卷 5 在数列 中， ， ，则 ( )na1211ln()nanaA B C D2l()l21ln欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学

10、信息网解：选 。 ， ，A21ln()a321ln()a1ln()na134l()n江西卷 19 数列 为等差数列， 为正整数，其前 项和为 ，数列 为等比数列，nn nSnb且 ，数列 是公比为 64 的等比数列， 。13,aba 264b(1) 求 ；n(2) 求证 。12134nSS解：（1）设 的公差为 ， 的公比为 ，则 为正整数， ，adnbqd3(1)nad，依题意有 1nbq136(1)2426nnaS由 知 为正有理数，故 为 的因子 之一，解得 ，故(6)4dd, ,8dq。132,8nna(2) ,5(2)()S1211345(2)n n 。1( )34 13)24n全国

11、文 19 在数列 中， ， 。na11na(1) 设 ，证明：数列 是等差数列；12nbnb(2) 求数列 的前 项和 。S解：（1） ， ， ，则 为等差数列， ，1nna12na1nbnb1b， 。nb2(2) ,01212()nnnS1 12()nnS两式相减，得 。02n nn 全国文 18 等差数列 中， 且 成等比数列，求数列 前 20 项的a43610a， ， na和 。20解：设数列 的公差为 ，则 ， ，nd34d64210ad。 10461ad由 成等比数列得 ，即 ，整理得30， ， 23106a()10)()，解得 或 。2当 时， ；当 时， ，于是24Sd14317

12、ad欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网。20192Sad071930类型二：考查递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题，通常可对递推式进行变形，从而转化为等差、等比数列问题来解决，这类问题一直是高考久考不衰的题型。天津卷 20 在数列 中， ， ，且 （ ） 第na12a11()nnqa2,0q(2)问：求数列 的通项公式。n解：由（）得 ，是首项为 1，公比为 的等比数列。 ，11()nq 21a，32aq。将以上各式相加，得 所以当21()nn 21()nnaq时，2 .n， ， 上式对 显

13、然成立1n四川卷 20 设数列 的前 项和为 ，已知 。第(2)问：求 的通nanS21nnbaSna项公式。解：当 时，由（）知， ，即 ；当 时，由：2b12()n2b，两边同时除以 得 。1nnann可设 ， 是等比数列，公1()nna1()2nnab 1na比为 ，首项为 。2b2b ，1()nna1()2nb 。nb类型三：考查数列与不等式的综合问题数列与不等式都是高中数学重要内容，一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的体现以两者的交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考中出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位。陕西卷 22 已知数列 的首项

14、 ， ， na13512nna12， ，(1) 求 的通项公式；na(2) 证明：对任意的 ， ， ；0x2()3nnxx ， ，(3) 证明： 。2121a欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网解：（1） ， ， ，又 ，132nna123nna113na23n是以 为首项， 为公比的等比数列 ， na 2nA(2) 由（1）知 ，302na2()nxx211()3nxx()na21()naxA。nnn(3) 由（2）知，对任意的 ，有01 2211()3()3naxxx 21()3nx2n取 ，则211333nn n

15、xn 2212 113n nna 浙江卷 22 已知数列 ， ， , ，记na01a22*1()naN，nnaaS21。求证：)()(1)( 22 nT(1) ；1n(2) ；S(3) 。3解：(1)证明：用数学归纳法证明当 时，因为 是方程 的正根，所以1n2a210x。12a假设当 时， ，因为*()nkN1ka1k，所以221(k2121()()kka即当 时， 也成立。1 n欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网根据和，可知 对任何 都成立。1na*nN(2) 证明：由 ， （ ） ，得221kk1， ， ， 2

16、n231()(nna因为 ，所以 由 及 得 ，所以102nS1na1nana。S(3) 证明：由 ，得 ，221kkka 1(2313)kk ， ， ， ， 所以，于是234(3)(1)()nna 22 2(3)1()naa 故当 时， ，又因为 ，所以 。n 13nnT 13TnT类型四：考查存在性和探索性问题这类题突出了对学生的探究、发现和创造能力的考查，有的试题对此考查全面且达到了一定的深度，体现了研究性学习思想。江苏卷 19 (1) 设 是各项均不为零的等差数列（ ） ，且公差 ，若12,na 4n0d将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序) 是等比数列。 当 n = 4 时，求

17、 的数值；1a求 的所有可能值； n(2) 求证：对于一个给定的正整数 n (n4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项( 按原来顺序) 都不能组成等比数列。12,nb 解：(1) 当 n=4 时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成1234,a等比数列，则推出 d=0。若删去 ，则 ，即 化简得 ，得23211()(3)dad140ad; 若删去 ，则 ，即 化简得 ，得 . 14a214 1a综上，得 或 。1da当 n=5 时, 中同样不可能删去 ，否则出现连续三项。若删去2345, 1245,a，则 ，即 化简得 ，因为 ，所以3a15411()()3)d

18、d20d不能删去；当 n6 时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列 中，1321,nnaa由于不能删去首项或末项，若删去 ，则必有 ，这与 矛盾；同样若删去2a32nn也有 ，这与 矛盾；若删去 中任意一个，则必有1n32nna0,a，这与 矛盾。(或者说：当 n6 时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续21ad的三项).综上所述， 。4(2) 假设对于某个正整数 n，存在一个公差为 d 的 n 项等差数列 ，其中nb,.21欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网( )为任意三项成等比数列，则 ，即11,xyzb01x

19、yzn211yxzb，化简得 （*）21()(dbd 22()()yxzdzd由 知， 与 同时为 0 或同时不为 0。当 与 同时为1222y0 时，有 与题设矛盾。故 与 同时不为 0，所以由（*）得z2，因为 ，且 x、y、z 为整数，所以上式右边为有理数，从而21byxd01xyzn为有理数。于是，对于任意的正整数 ，只要 为无理数，相应的数列就是满足题意)4(1bd要求的数列。例如 n 项数列 1， ， ， 满足要求。2()2n湖北卷 21 已知数列 和 满足： ,nab1a其中 为实数， 为正整数。124,()3),3nnnnaba(2) 试判断数列 是否为等比数列，并证明你的结论

20、；(3) 设 , 为数列 的前 项和.是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，都有0nSnb n?若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由。nS解：(2)解：因为 bn+1=(-1)n+1a n+1-3(n-1)+21=(-1) n+1( an-2n+14)= (-1)n（a n-3n+21）=32bn，又 b1x-(+18),所以当 18 时，b n=0 (nN +)，此时b n不是等比数列；当2318 时，b 1=(+18) 0,由上可知 bn0，所以 (nN +)。123n故当 18 时，数列 bn是以(18)为首项， 为公比的等比数列。(3) 由(2)知，当 18，b n=0，S n=0

21、，不满足题目要求。18，故知 bn= -(+18)()n-1，于是可得 Sn=- 要使 a3a 存在实数 ，使得对任意正整数 n,都有 aSnb,且 的取值范围是(b-18,-3 a-18)。五、复习建议在二轮复习中，如何做到有针对性，高效率，是每个老师都应认真思考的问题。就数列这一部分而言，我个人有以下几点想法或体会。1、基础题要确保，难题要有所为有所不为基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和等内容，对基本的计算技能要求不是很高，建议要强化方程思想在解题中的作用( 基本量) ，知道前 n 项和与通项的关系。对中等及偏下的学生不必介绍过多解题技巧，对基础较好的学生，可

22、适当介绍。例 5.1.1 设数列 是各项均为实数的等比数列， 为其前 项和，若 ，nanS1030,7S则 ( )40SA. 150 B. C. 150 或 D. 400 或20205方法一：当 时，显然不合题意，故 。于是1q1q11021010301()7()37aqq解得： 。所以， ，选 A.102,aq40140()5aSq方法二：设 ，易知 成等比数列，所以40Sxy2302403,S或(1)(7) 17xxyx 20x所以选 C.两种算法得到不同的结果。那么 问题出现在哪里？运用解法二 应注意什么？象这些基础性的，在复习时一定要学生弄清楚，不可一知半解。对试卷中放在最后的压轴数列

23、题，重点应放在前一问，基础较好的应冲刺最后一问，不能刻意求全，能做到分步得分就行。同时不能放弃数列常规题的复习教学，这仍是一个重点，这是一项“根深叶茂”的基础工程，至关重要。2、关于递推数列问题递推数列求通项确实不属于考试大纲的要求，大纲中的规定是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项” 。但是递推公式只是向学生呈现了一种陌生情境，让学生转换化归为已知数列来解决，也就是让学生运用已有的数列知识去解决新的数列问题，即“能力立意” ，递推关系只是能力立意的载体，真正考查的是转换与化归等数学思想方法。从近几年的高考来看，递推之风盛行。不过，江西这边情况稍有不同。最近几年

24、的数列题如下：2005 年江西卷第(21) 题 已知正项数列 中na01,(4),.2nnaN（）求证 ；（）求通项12na.2006 年江西卷第(22) 题 已知数列 满足： ，且n132a欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网。1322nnanN（ ， ）(1) 求数列 的通项公式；(2) 证明：对于一切正整数 ，不等式 。12!na2007 年江西卷第(22) 题 设正整数数列 满足： ，且对于任何 ，有24a*nNnnnaa1212（1）求 ；3,（2）求数列 的通项 。nn2008 年江西卷第(19) 题 数列

25、 为等差数列， 为正整数，其前 项和为 ，数列nanannS为等比数列，且 ，数列 是公比为 64 的等比数列， 。nb1,ab 264b(1) 求 ；,n(2) 求证 。1234nSS前三年均为递推数列，但 08 年风平浪静，09 年还会风起云涌么？我觉得，对于 09 年的高考数列题我们不必去“预测” ，不管形式如何变化，对于递推数列还是要认真复习。但生源好的学校可以适当加强，生源一般的学校无须舍本求末得不偿失。高考以能力立意，这里的能力是指：思维能力，对现实生活的观察分析力，创造性的想像能力，探究性实验动手能力，理解运用实际问题的能力，分析和解决问题的探究创新能力，处理、运用信息的能力，新

26、材料、新情景、新问题应变理解能力。其重点是概念观点形成和规律的认识过程，它往往蕴藏在最简单、最基础的题目之中。如果知识的熟练程度达不到，一味钻研综合题、难题，反而会影响能力的提高。所以无论一轮复习还是二轮复习都应该将重点放在基础知识、基本技能的训练上，对于学生提出的一些基础性的问题要认真对待。例 5.2.1 已知 ，数列 满足 ，证明：1()2fxna112,()nnaf。12na有个同学这样考虑：对于函数 ，则 ，这说明它在() (2)fx/2()0fx区间 上是递增的，但要证明的数列却是单调递减的，不是说数列是定义在正整数集上的函,数么？很是困惑。对于数列的单调性与函数的单调性的关系问题，

27、必 须要提醒学生注意。其一，因为数列在任何一点处都不可导，因此研究其 单调性不能直接对 求导；其二，数列的单调性与对应函数()naf的单调性的关系如何，要看给 出的关系式是通项公式还是 递推式。如果给出的是通项公式 ，则函数 在 上单调递增(减) 数列 单调递()nafx1,na增(减)；如果给出的是递推式: ，则有1函数 单调递 增且 ( ) 数列 单调递增(减)；()fx212an函数 单调递 减且 数列 是一个摆动数列，不具有单调性，但 和n 2na欢迎光临 中学数学信息网 中学数学信息网系列资料 WWW. Z X S X .COM 版权所有 中学数学信息网都是单调数列，且单调 性相反

28、。21na我刚才说到，递推数列的复习不可小视。但如何抓住重点，把握难点？谈点个人看法。由于该内容在考试大纲中没有一个明确的说法，所以具体教学时难以把握教学要求，难以控制难度，造成这项内容极易膨胀。有的教师受一些参考资料的影响，对学生进行递推数列的系统教学，讲解由递推关系求通项的各种类型各种方法，包括一阶的，二阶的，整式的、分式的，甚至特征方程也讲。结果呢？时间和精力花了不少，学生解数列题的能力却不见长进，到头来不仅不会做数列题，而且由于增加了学生不少的负担，也把宝贵的复习时间浪费了。我认为，求通项不应是递推数列教学的全部内容，甚至还不是主要内容。能通过直接求出通项而解决的问题往往不会使我们感到

29、为难，大量的、有难度的问题都不是靠求出通项去解决，而是靠弄清数列“项的特征”后而解决的，因为数列“项”的特征清楚了，许多问题也就解决了。所以可以这样认为：递推数列教学的重点不是求通项，而是通过递推关系式确定数列“项”的特征，其中求通项公式只是确定数列“项”的特征的一种方法，它是解决递推数列基础。为了研究数列“项”的特征，最关键的是要对递推式进行“恰当的变形” 。由于对递推式的变形没有固定的模式，如何变形不仅与条件式的结构有关，还也问题的形式有关，要实现条件与结论的联系需要用到观察、归纳、类比、猜想、推理等思想方法的综合应用，这成了递推数列教学的难点。 由于要突破这个难点所要用到的是学生“观察、

30、归纳、类比、猜想、推理、计算、证明等思想方法的组合运用”，这正是学生综合数学素养的体现，也正是学生迁移能力和学习潜能的反应，要使学生在解这类问题时表现出色，必须在平时教学中对所有教学内容都充分挖掘教材的思想性，充分揭示数学的本质，让学生在掌握“陈述性知识”的同时掌握好数学中的“程序性知识”。把握住了递推数列教学的方向，教学时就不会患得患失、无所适从，就不必在求通项方面大做文章大加拓展，只要讲清了数列中应该挖掘的等量与不等量关系下的“累加法、叠乘法、迭代法、恒等变形法” 等就可以了。这样，我们的教学就回归到了本位挖掘数学思想，揭示数学本质.例 5.2.2 (08 浙江卷 22) 已知数列 ， ， ，na01a。记 ，)(1221 Nnaan nnaaS21。求证：当 时， )()(21T N(1) ；n(2) ；S(3) 。3首先我们不难发现由递推关系式 是很难求出通项公式来的，)(1221 naan为了探寻 an 的特征，我们用数学归纳法先证明（1）当 时， ，即数列a n是递N1n增数列，由此不难得出 an1( )，又由 0， 得N221nn，所以 ，这就是数列 an的“项”的特征，有了它，后面两52n5(2个问题就好解了。其中（3）的证法可以是： 1151(), 2,2nna nN