1、1静电学一章习题答案习题 71 半径为 R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小 E 与距球心的距离 r 的关系曲线为： 习题 72 半径为 R 的均匀带电球面，总电量为 Q，设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势 U 随离球心的距离 r 变化的分布曲线为： 习题 73 如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于立方体的 A 角上，则通过侧面 abcd 的电场强度通量等于： 解：可以设想再补上与图示立方体完全相同的七个立方体，使得点电荷位于一个边长扩大一倍的新的立方体的中心，这样，根据高斯定理，通过这个新立方体的六个面的总电通量为 ，通过其中任何一个面的电通量为 ，0q )6(
2、0q而因原 abcd 面只是新立方体一个面的四分之一，故通过 abcd 面的电场强度通量为 。 选择答案(C)24(0q习题 74 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 R1、带电量 Q1，外球面半径为 R2、带电量为 Q2。设无穷远处为电势零点，则在内球面里面，距球心为 r 的 P 点处的电势为： (A) 。 (B) 。r021420104RE r R E1/ r2 (A) O E r R O E1/ r2 (B) E O r R E1/ r2 (C) E r O R E1/ r2 E1/ r (D) 习题 71 图 U r O U1/r R (A) U r O R U1/r (B
3、) U r O R U1/r (C) U r O R U1/r 2 (D) U r O R U1/r 2 (E) 习题 72 图 A a bc d q 习题 73 图 R1 R2 r P O Q1 Q2 习题 74图 2(C) 0。 (D) 。104RQ解：根据场强叠加原理，内球面单独在 P 点产生的电势为1014UP外球面单独在 P 点产生的电势为 202RQP因此，P 点最终的电势为 2010214UPP所以选择答案(B) 注：对典型电荷分布的场，应用叠加原理可以非常方便地求得结果。 习题 75 有 N 个电量均为 q 的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无规则的分布，另一种
4、是均匀分布，比较这两种情况下在过圆心 O 并垂直于圆平面的 Z轴上任一点 P 的场强与电势，则有： (A) 场强相等，电势相等。 (B) 场强不等，电势不等。 (C) 场强分量 EZ 相等，电势相等。 (D) 场强分量 EZ 相等，电势不等。解：因为电势是标量，而且仅与点电荷到场点的距离有关，所以各点电荷在 P 点产生的电势都相等，与点电荷在圆周上的位置无关，这样一来，根据电势叠加原理，两种情况下的电势都一样，都是 rNqUNiP0104对于场强，因为它是矢量，即不仅有大小还有方向，各点电荷产生的场强方向与其在圆周上的位置有关，也就是说，P 点的场强应当与各点电荷在圆周上的分布有关，所以两种情
5、况下的场强是不同的。但是，由于 P 点对于圆周上的各点是对称的，各点电荷场强的 Z 分量(标量)大小与其在圆周上的位置无关，因此，两种情况下 P 点的场强分量 EZ 都相同。综上，应该选择答案 (C)。习题 76 如图所示，边长为 a 的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为 q、2q、3q，若将另一点电荷 Q 从无穷远处移到三角形的中心 O 处，外力所作的功为： X Y Z P O 习题 75 图 3(A) (B) (C) (D) aqQ0432aqQ043aqQ0436aqQ0438解：根据电势叠加原理，三角形的中心O 处的电势为aqaqUO00436sin)32(4因为
6、无穷远处电势为零，所以外力的功为QUQAO0)(电外因此，应当选择答案(C)。习题 77 如图所示，在坐标(a，0)处放置一点电荷+q，在坐标(a，0) 处放置另一点电荷q。P 点是 Y 轴的一点，坐标为(0 ，y)，当 ya 时，该点场强的大小为： (A) (B) 20420yq(C) (D) 30yqa304解：由图示，两个点电荷在 P 点产生的场强的 Y 分量相抵消，P 点最终的场强只是两场强 X 分量的叠加，因此，P 点的场强为302320220 )()(42 yqayqaayyqE 所以应该选择答案(C)。习题 78 设有一“无限大”均匀带正电荷的平面，取 X 轴垂直带电平面，坐标原
7、点在带电平面上，则其周围空间各点的电场强度 随距离平面的位置坐标 x 的变化E的关系曲线为(规定场强方向沿 X 轴正方向为正，反之为负)： 解：“无限大”均匀带正电荷的平面产生的场强大小是与到平面的距离 x 无关的常量，但是平面两侧的场强方向不同：在 x0区间，场强方向与 X 轴正向相同，应为正；反之在 x2R)。求两球心间的电势差。解：选择两球心连线为积分路径，在该路径上距 O1 为 r 的某点的电场强度大小为 2020)(4rdQE电场强度的方向是从 O1 指向 O2。两个非导体球壳都在表面上均匀带电，它们均可视为均匀带电球面，因此每个球壳各自都是个等势体，故而两球心间的电势差即为两球表面
8、间的电势差，所以有 drQrldEUR 202012 )(4RdRQ11400d002)(2注：此题原来给出的答案可能是错的。 习题 727 电荷 Q 均匀分布在半径为 R 的球体内，设无穷远处为电势零点，试证明离球心 r(rR 区间： qEr021 204r所以场强分布为132042rqRE)(Rr(3) 根据场强与电势的积分关系在 rR 区间： rqdrldEUrr 0204所以电势分布为rqR04034123)(Rr习题 729 图示一厚度为 d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为 。试求板内外的场强分布并画出场强在 X 轴的投影值随坐标 x变化的图线，即 Exx 图线( 设原点在带
9、电平板的中央平面上，OX 轴垂直于平板)。解：以 X 轴为轴线取一闭合圆柱面 S，使其两个端面距带电平板的中央平面等距，即两端面分别在 x 和x 处，同时设端面积为 ，根据高斯定理在平板内有：SxSE210 ( )2dx在平板外有：SdE012X E O d/2 d/2 02 0题解 729 图 X O d 习题 729 图 x x S 14 ( )02dE2dx场强在 X 轴的投影值随坐标 x变化的图线如图所示。静电场一章补充习题及答案习题 1552(2000.1 习题集) 一“无限长”均匀带电半圆柱面，半径为 R，若半圆柱面沿轴线单位长度上的电量为 ，试求轴线上任一点的电场强度。分析：该题
10、求解的关键在如何取“元电荷” ，根据“无限长”的对称性，应当在柱面上、沿轴线方向取 “无限长” 窄条元电荷，这样的“窄条”可以看成是“无限长”均匀带电直线。解：如图所示是该半圆柱面的垂直于轴线的横截面（在 XOY 平面内） ，轴线沿 Z 轴方向。设所取 “窄条”宽度为 ，Rdl其电荷线密度为Rdl其在轴线上某点的元场强的大小为dE020元场的方向如图所标。现把 进行分解EddRx cos2cos0dEy inin02由于对称性， 。因此，轴线上最终的场强为0xd02sindRy02002)(co写成矢量式有O R 窄条面元 题解 1552 图 1 R X Y Ed x y lO 题解 1552
11、 图 2 15jRjEy02习题 1561(2000.1 习题集) 一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为 R1 和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为 ，求顶点 O 的电势。(以无穷远处为电势零点)分析：此题的关键仍是取“元电荷”的问题，根据带电体的形状，应该在圆台面上取与其共轴的窄圆环（球带） ，该球带可视为均匀带电圆环。解：如图，取半径为 r( )、21R母线长为 dl 的球带（环形电荷元） ，其侧面积为 ，带电量为rdlS2，由于 ，dqsindrl因此， ，其在 O 点产sin生的元电势为drrdlqdU000 2sini42故顶点 O 的电势为 )(2120021 RdrR习题
12、 1569(2000.1 习题集) 如图所示，在一个电荷体密度为 的均匀带电球体中，挖出一个以 为球心的球状小空腔，空腔的球O心 相对于带电球体中心 O 的位置矢量用表示，试证明球形空腔内的电场是均匀电b场，其表达式为 bE03分析：均匀带电球体中挖去一个球状空腔，电荷分布及场分布已经不具有对称性，所以不能直接用高斯定理求解，但是可以间接使用高斯定理求解。如图所示，该球体可以看成一个与其等大的、电荷体密度为 的完整无损的均匀带电球体和另一个与球形小空腔等大的、电荷体密度为 的完整无损的均匀带电小球体叠加而成，按叠加原理，空间任一点的场应等于上述两个带电球体各自单独存在时产生的场之叠加。O R1
13、 r R2 dr dl dl 题解 1561 图 题解 1569 图 O br a 习题 1569 图 16解：设空腔内任一点 P 对 O 点的位置矢量为 ，电荷体密度为 的完整无r损的均匀带电球体单独存在时在 P 点产生的场为rRrRqE 0330301 44同理，电荷体密度为 的完整无损的均匀带电小球体单独存在时在 P 点产生的电场为aE023式中 为场点 P 对 点的位置矢量。所以，P 点最终的场为aO br00213)(注：对这样“破缺”型问题，应当考虑采用反号电荷补偿法进行拆分，拆分原则是能方便地应用叠加原理求得结果，类似问题在磁学中还会遇到，不过在那里是采用反向电流补偿法进行拆分处
14、理。 习题 78(李子芳主编的教材，第七章) 半径为 R 的球体内电荷体密度为，)1(0r式中 为常量，r 为球内某点到球心的距离。试求球内、外的场强分布。0分析：电荷在球体内尽管分布不均匀，但因 只是 r 的函数，所以仍为球对称分布，仍然可以用高斯定理；不过计算面内电荷 时需积分，因为这时iq并非常数。解：取同心球形高斯面，半径为 r。在 rR 区间： ViS dqdE001 24rS而 30201)1(RdRdVqi 17 30214RrE (rR)2031r在 区间：Rr0 VS drEd024而 RrRVqri 431)1(020 ( )430rEr习题 1533(2000.1 习题集
15、) 一“无限长”均匀带电直线沿 Z 轴放置，线外某区域的电势表达式为 ，式中 A 为常数，则该区域场强的两个为：)ln(2yxAUEx= ；E y= 。解：由场强与电势的微分关系可得 22)ln(yxyxAxEx 0l2zUy习题 152(2000.1 习题集) 电荷面密度为 和 的两块“无限大”均匀带电的平行平板，放在与平面垂直的 X 轴上的+a 和 -a 的位置上，如图所示。设坐标原点 O 处电势为零，则在-ax+a 区间的电势分布曲线为 解：根据叠加原理，在-ax+a 区间的场强分布为a a 0 X +a a U 0 X (A) +a a U X 0 (B) +a a U X 0(C) +a a 0X U (D) 习题 152图 18002xE该区间的电势分布xdxldU00因此在该区间的电势 U 与 x 成正比。 选择答案(C)注意：对“无限大”带电体的场不能取无限远为电势零点；用场强与电势的关系计算电势时，其积分限是从场点到电势零点。
