1、锐 角 三 角 形 一、知识归纳 1、锐角三角函数定义。 2、互余角的三角函数间的关系。 sin(90 0-)=cos, cos(900-)=sin, tan(90 0-)=cot, cot(900-)=tan. 3、同角三角函数间的关系： 平方关系：sin 2+cos2=1 倒数关系：cot= (或 tancot=1) 商的关系：tan= , cot= . （这三个关系的证明均可由定义得出） 4、三角函数值 （1）特殊角三角函数值 （2）0 090 0 的任意角的三角函数值，查三角函数表。 （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在 0090 0 间变化时
2、， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在 00900 间变化时， 0sin1, 1cos0, 当角度在 000, cot0. 二、例题分析 1、已知在ABC 中，C=90 0，sinA= ，求 cosA+tanB. 解法 1：在ABC 中，C=90 0， sinA= ， 设 BC=3k, AB=5k, 由勾股定理可得 AC=4k, cosA= , tanB= , cosA+tanB= + = . 解法 2：在ABC 中，C
3、=90 0，A+B=90 0， sin 2A+cos2A=1, sinA= , cosA= = = , cotA= = = , tanB=cotA= , cosA+tanB= + = . 说明：已知一个角的三角函数值，求其他的三角函数值时，常用的方法有两个：利用定义或三角函数之间关系。 2、如图ABC 中，BAC=120 0，AB=10，AC=5 ，求 sinBsinC 的值。 分析：由所求得知，需将B，C 分别置于直角三角形之中，另外已知A 的邻补角是600，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以考虑分别过点 B，C 向CA，BA 的延长线作垂线段，即可顺利求解。 解：过点 B
4、 作 BDCA 的延长线于点 D，过点 C 作 CEBA 的延长线于点 E， BAC=120 0， BAD=60 0，ABD=30 0，AB=10， AD=5，由勾股定理得 BD=5 ，AC=5，CD=10， BC=5 ，sinC= = ， 同理可求得，sinB= ， sinBsinC= = 。 3、CD 是直角三角形 ABC 的斜边 AB 上的高，ACD ，BCD ，ABC 的面积分别用P、Q、S 表示，已知 = ，求 sinB 的值。 解：设 a、b、c 是A、 B、C 的对边， ACB=90 0，CD AB， ACDBCDBAC， = ， = ， 已知 = ， = ，a 4=b2c2,
5、a2=bc(1), ACB=90 0, a 2=c2-b2(2), (2)代入(1)得：c 2-b2=bc,两边除以 c2, 将： 1-( )2= , 则( )2+( )-1=0, 设 =x，则 x2+x-1=0, 解之：x= （舍去负值）， x= = , sinB= = . 4、在 RtABC 中，C=90 0，a 、b、c 分别是A、B、C 的对边，D 是斜边的中点，且 CD=17，a+b+c=80 ，求 tanA+tanB 的值。 解 1：ABC 中，C=90 0， CD 是斜边中线且 CD=17， c=34，c 2=a2+b2=342(1), a+b+c=80, a+b=46, (a+
6、b) 2=462, a 2+b2+2ab=462, 2ab=46 2-342, ab=480(2), tanA+tanB= + = (3), 将(1)(2)代入(3) 则，tanA+tanB= . 解 2：ABC 中，C=90 0， CD=17，c=34， a+b+c=80, a+b=46, 再解方程组分别求出 a, b，从而求 tanA, tanB 即可。 说明：此例说明求三角函数可以根据具体条件用整体代换的方法。 5、如图，在ABC 中，C=90 0，AC=BC，BD 为 AC 边上的中线，求 sinABD 和tanABD 的值。 分析：欲求ABD 的正弦值和正切值，就需要在直角三角形中解
7、决问题，就是说ABD需要位于直角三角形中，所以想到过 D 点作 AB 边的垂线，既然要求 sinABD 和 tanABD的值，就应确定一个衡量的标准，以便求出线段 BD、DE 和 BE 之间的数量关系。 解：设 AD=a, 则 CD=a, BC=2a, 在 RtDCB 中，BD= = = a, 过 D 作 AB 的垂线，交 AB 于 E， AC=BC，C=90 0， A=45 0， AED 是等腰直角三角形， AD=a， AD 2=AE2+DE2，即 a2=2DE2, DE= a, 在 RtDEB 中，DE= a， BD= a, BE= = = a， sinABD= = = , tanABD=
8、 = = 。 6、已知：一张矩形的纸片 ABCD，其中宽 AD=6，按图所示折叠，使得 C 点恰好落在 AB边上，且EDC=，求：折痕 DE 的长。 分析：以 DE 为轴折叠，折叠前在EFD 的位置，折叠后在ECD 的位置，即这两个三角形全等，当用 的三角函数表示 DE，须先求 DC，在 RtECD 中无法求，转而考虑在 RtCAD 中，当想到CDA=90 0-2，则 DC 能用已知条件来表示，转而 DE 也能用已知条件来表示。 解：以 ED 为轴折叠， FDE=CDE= ， 在 R tCAD 中， CDA=90 0-2，AD=6， cosCDA= , DC= , 在 RtECD 中，cos=
9、 , DE= = = = 。 说明：此题是用三角函数概念解题，首先要明白题意，然后进行思路分析，会用已知字母表示未知线段。 7、化简 (00cos。 求证：+90 0。 证明：， 均为锐角， cos=sin(90 0-), sincos, sinsin(90 0-), 90 0- 也是锐角。 一个锐角的正弦值在 0090 0 之间时，随着锐角的增大而增大。 90 0-, +90 0. 说明：（1）求 +900 的问题，需要转化为两个角比大小问题，进而转化为三角函数值的增减性问题。（2）为了利用三角函数的增减性，就需要把不同名的三角函数转化为同名的三角函数，转化的依据就是借助“互余角的三角函数的
10、关系”。 9、在ABC 中，求证 tan =cot . 证明：在ABC 中， A+B+C=180 0， A+B=180 0-C， =900- ， tan =tan(900- )=cot 。 说明：等式 tan =cot 成立是有条件的，即“在ABC 中”，如果把这个条件去掉，则等式就不一定成立了，类似地还可以证明。” Sin =cos , cos =sin . 10、已知 为锐角，化简 |1-tan|+| -tan|. 分析：化简此式，即去掉绝对值符号，要去掉绝对值符号则要判断绝对值里面的数是正的，还是负数，此式有两个绝对值，则要看当|1-tan|=0 时，1-tan=0, 即 tan=1, =450, 当| -tan|=0 时， -tan=0，即 tan= ，=60 0，所以 450，60 0 这两个角度把锐角分成了三部分，即 00450, 450600, 600900, 因此要使 在这三部分取值，去掉绝对值符号。 解：当 00450 时， 原式=1-tan+ -tan=1+ -2tan, 当 450600 时， 原式=tan-1+ -tan= -1, 当 600900 时， 原式=tan-1+tan- =2tan-1- 。 说明：在去掉绝对值符号时，还要用到正切值在 0090 0 间的变化情况，即在 0090 0 之间tan 随角 的增大而增大。
