1、考研线性代数综合竞赛试题（第 1 页共 9 页）考研线性代数综合竞赛试题时间：150 分 满分：150 分一、 选择题（每题 1 分，共 20 分）1、 记行列式 为 ，则方程 的根的个数为22334547xxfx0fxAB2C3D42、 设 维行向量 ，矩阵 ，其中 为 阶n1,0, ,2TTAEBEn单位矩阵，则A0BECDT3、设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ，则分块矩, *,A,B2,3AB阵 的伴随矩阵为 （ OB）（A） （B） （C） （D）*32*23OA*32OAB*23OAB4、设 ， ，1214143132223 341244341,aaa01P，其中 可
2、逆，则201PA1BA1212PC12PAD12PA5、设 为 矩阵， 是 阶可逆矩阵，矩阵 的秩为 ，矩阵 的秩为 ，则mnCrBC1r与 的关系依 而定1rB1r11考研线性代数综合竞赛试题（第 2 页共 9 页）6、设矩阵 的秩 ， 为 阶单位矩阵，下述结论中正确的是mnArnmE的任意 个列向量必线性无关的任意一个 阶子式不等于零B通过初等行变换，必可以化为 形式CA,0mE非齐次方程 一定有无穷多组解Dxb7、设 3 阶矩阵 ，若 的伴随矩阵的秩为 1，则必有abA或 或Aa20Bab20或 或CD8、设矩阵 ，已知矩阵 相似于 ，则秩 与秩 之和等于10BA2AEA23C4D59、
3、设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由123,123,2线性表示，则对于任何常数 ，必有123, k， 线性无关 ， 线性相关A,12kB123,12k， 线性无关 ， 线性相关C123D10、设向量组 1234,4,0,07,0,，则该向量组的极大线性无关组是5,0A123B124,C5, D5,考研线性代数综合竞赛试题（第 3 页共 9 页）11、设 是 矩阵， 是 矩阵，则线性方程组AmnBm0ABx当 时仅有零解 当 时必有非零解nm当 时仅有零解 当 时必有非零解CD12、设 阶矩阵 的伴随矩阵 ，若 是非齐次线性方程组 的互不nA*01234,Axb相等的解，则对
4、应的齐次线性方程组 的基础解系Ax不存在 仅含一个非零解向量 B含有两个线性无关的解向量 含有三个线性无关的解向量CD13、设 是 4 阶矩阵， 是 A 的伴随矩阵，若 是方程组),(321A* T)0,1(的一个基础解系，则 的基础解系可为 0x0*xA（ ）31,B21,C321,D432,14、设 是四元非齐次线性方程组 的三个解向量，且 ，2xbrA表示任意常数，则线性方程组 的通解 等13,4,0,TT xbx于A2314CB2134C12345CD132456C15、设 是非奇异矩阵 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于2A123AA43B34CD1416、设 是 阶实对称矩阵，
5、 是 阶可逆矩阵。已知 维列向量 是 的属于特征值nPnn的特征向量，则矩阵 属于特征值 的特征向量是1TAA1PBP1TP17、设 为 阶矩阵，且 与 相似， 为 阶单位矩阵，则,nEn与 有相同的特征值和特征向量EBA考研线性代数综合竞赛试题（第 4 页共 9 页）与 都相似于一个对角矩阵 对任意常数 ， 与 相CABDtEAtB似18、设矩阵 ， ，则 于 （ 1102BAB）（A） 合同，且相似 （B）合同，但不相似（C） 不合同，但相似 （D ）既不合同，也不相似19、设 、 为同阶可逆矩阵，则B存在可逆矩阵 ，使P1AB存在可逆矩阵 ，使 存在可逆矩阵 和 ，使TCABQ20、设
6、为 3 阶实对称矩阵，如果二次曲面方程 在正交变换下的标A1xxyz准方程的图形如图，则 的正特征值个数为【 】A(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 二、填空题（每空 1 分，共 26 分）21、设 ，矩阵 ， 为正整数，则 ；,0TTnnEA22、设行列式 ，则第 4 行各元素余子式之和的值为 ；3402275D23、设 均为 阶矩阵， ，则 ；,ABn,3AB*12AB24、若 4 阶矩阵 与 相似，矩阵 的特征值为 ，则行列式 ,451BE；25、设 3 阶矩阵 满足 ，其中 为 3 阶单位矩阵，若,AB2BE考研线性代数综合竞赛试题（第 5 页共 9 页），则 ；1
7、02AB26、设矩阵 ， ，则 ；1323AE1B27、设矩阵 满足 ，其中 ， 为单位矩阵， 为,AB*8021E*A的伴随矩阵，则 ；28、设 为三阶方阵，且 ， ，且已知存在三阶方阵,1204301Bk，使得 ，则 xABk29、设矩阵 ，且 ，则 ；1k3rAk30、设 3 阶矩阵 ，三维列向量 ，已知 与 线性相关，12304A,1TaA则 ；a31、已知 中的两个基为3R与 ，1231,0,123,4则由基 到基 的过渡矩阵为 ；321,123,32、设有向量组（I）： 和向量组（II）：23,0,1,1,2TTTa，若已知两向量组不等价，123,64Taaa则 ；考研线性代数综合
8、竞赛试题（第 6 页共 9 页）33、设 ， ，123211231nnnaaA 123,1nxBx其中 ，则线性方程组 的解是 ；,1,.ijaijnAb34、设 是实正交矩阵，且 ，则线性方程组 的解3ijA 1,0,TaAxb是 ；35、设方程 有无穷多个解，则 ；123axa36、已知下列非齐次线性方程组（I） ， （II ）：（I） （II ）12436,1.xx1234345,1xmxnt则：（1）方程组（I）的通解为 ；（2）若已知方程组（I）与（ II）同解，则方程组中的参数 所满足的条件是 ,nt；37、设 为 2 阶矩阵， 为线性无关的 2 维列向量， ， 则A12,10A2
9、12的非零特征值为_；38、设矩阵 可逆，向量 是矩阵 的一个特征向量， 是 对应的1a1ab*特征值，其中 是矩阵 的伴随矩阵，则 _； _； _；*A39、设矩阵 与 相似，其中 ， ，则（1） _；B2031x02Byx_；y（2）若存在可逆矩阵 ，使得 ，则矩阵 _；PAP40、设有 元实二次型，n，2222121311,. .nnnfxxaxaxaxa考研线性代数综合竞赛试题（第 7 页共 9 页）其中 为实数。则当 满足条件 时，(1,2.)ian12,.na二次型 为正定二次型。fx41、已知二次型 在正交变换 下的标准型为 ，且 的第123,TfxAxQy21yQ三列为 。则矩
10、阵02T三、计算题（每题 10 分，共 80 分）42、设 为 3 阶方阵， 是 的伴随矩阵， 的行列式 ，求行列式A*A12A的值。1*243、设 ，其中 是 4 阶单位矩阵， 是 4 阶单位矩阵 的转置矩11TECBETA阵，且 ，求矩阵 。320102,1A44、已知向量组 向量组与向量组123,10ab12,30,1具有相同的秩，且 可由 线性表示求 的值. 39673123,ab45、已知线性方程组1234112342,65,0.xxkk问 和 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解的情形1k2下，试求出一般解。考研线性代数综合竞赛试题（第 8 页共 9 页
11、）46、设 其中 是 的转置矩阵，求解方102,8TABT程 。24BAxx47、设矩阵 已知线性方程组 有解但不唯一，11,.2aAx试求：（1） 的值；（2）正交矩阵 ，使 为对角矩阵。aQT48、设 3 阶实对称矩阵 的秩为 2， 是 的二重特征值。若A126A1,0T都是 的属于特征值 6 的特征向量。23,11,TT（1） 求 的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵 。49、设二次型 ，22131313, 0Tfxxaxb其中二次型的矩阵 的特征值之和为 ，特征值之积为 。A（1） 求 的值；,ab（2） 利用正交变换将二次型 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。f50、设矩阵 ，矩阵 ，其中 为实数， 为单位矩阵。求对102A2BkEAkE角矩阵 ，使 与 相似，并求 为何值时， 为正定矩阵。B四、论述题（每题 12 分，共 24 分）51、设 ，1042A1（1）求满足 的所有向量 ，2131,23,（2）对（1）中的任一向量 ，证明： 线性无关。2,1考研线性代数综合竞赛试题（第 9 页共 9 页）52、设三阶实对称矩阵 的特征值分别为 ， 是 的两个不同的A0,121,0aA特征向量，且 12()（1）求参数 的值；a（2）求方程 的通解；2Ax（3）求矩阵
