1、椭圆的参数方程的几点应用贵州省习水县第一中学 袁嗣林椭圆 的参数方程是 （ 是参数，）。特别地，以点（ ）为圆心，半径是 r 的椭圆的参数方程是（ 是参数，r0）。下面就应用做一些归纳。1.参数方程在求最值上的应用例 1 求椭圆 的内接矩形的面积及周长的最大值。分析：此题可以设矩形长为 x,然后代入椭圆方程解出宽。但因为有参数 a,b,所以把式子列出后都很难解答。而考虑椭圆的参数方程可以迎刃而解。解：如图，设椭圆 的内接矩形在第一象限的顶点是 A（ ）（ ），矩形的面积和周长分别是 S、L。，当且仅当 时， ，此时 存在。点评：利用参数方程后，再利用三角函数性质可以简化求解的过程和降低求解的难
2、度。例 2 设点 P（x，y）在椭圆 ，试求点 P 到直线 的距离 d 的最大值和最小值。分析：此题可以设点 P（x，y）,然后代入椭圆方程 （1），然后利用点到直线的距离公式把 d 表示出来。但仍然很难继续解答。而考虑椭圆的参数方程却可以树立解决此问题。解：点 P（x，y）在椭圆 上，设点 P（ ）（ 是参数且），则 。当 时，距离 d 有最小值 0，此时椭圆 与直线相切；当 时，距离 d 有最大值 2。点评：在求解最值问题时，尤其是求与圆锥曲线有关的函数的最值时，我们可以考虑利用参数方程降低难度。2.参数方程在求与离心率有关问题上的应用例 3 椭圆 与 x 轴的正向相交于点 A，O 为坐标原点，若这个椭圆上存在点 P，使得 OPAP 。求该椭圆的离心率 e 的取值范围。分析：如果按常规设 p(x,y),OP2+AP2=OA2,展开，与离心率没有明显的联系，但用参数方程就非常容易。解：设椭圆 上的点 P 的坐标是（ ）（0 且），A（a ，0）。则 。而 OPAP，于是 ，整理得解得 （舍去），或 。因为 ，所以 。可转化为 ，解得 ，于是 。故离心率 e 的取值范围是 。点评：有关离心率入手比较困难的问题时我们可以考虑应用参数方程求解。
