1、 高考圈-让高考没有难报的志愿高中数学必修 4 之平面向量知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126.xckt126.hp:/w.jygo 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行00单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 相等向量：长度相等且方向相同的向量
2、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j htp:/w.xjkygco126t:/.j2、向量加法：设 ，则 + = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（1 ） ；（ 2）向量加法满足交换律与结合律；0，但这时必须“首尾相连” ABCDPQR3、向量的减法： 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jaa向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终abbbba点的向量（ 、 有共同起点） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4、
3、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：aa（） ； （）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方a00a向相反；当 时， ，方向是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j05、两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaba6、平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且21,e a只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t
4、:/.j21,a21,e二.平面向量的坐标表示1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y)。 axiyja2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1) 若 ，则12,aybxy 12, 高考圈-让高考没有难报的志愿(2) 若 ，则21,yxBA21,Axy(3) 若 =(x,y)，则 =( x, y)aa(4) 若 ，则12,b121/0abx(5) 若 ，则xyxy y若 ，则a02121三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个
5、非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cosabab叫做 与 的数量积（或内积） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j投影的绝对值称为射影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb|aba3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp
6、:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j乘法公式成立： ；22abab22ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量数量积的运算律：交换律成立： ab对实数的结合律成立： abR分配律成立： cc特别注意：（1）结合律不成立： ；c（2）消去律不成立 不能得到abcb（3） =0 不能得到 = 或 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j07 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则
7、 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,) 高考圈-让高考没有难报的志愿8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （ ）叫做向量 与abOAaBb0018a的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbcos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.js,ab212yx当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 =180 0，同时 与其它任何非零向ab量之间不谈夹角这一问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabab10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个非零向量垂直的充要条件 ： O 奎 屯王 新 敞新 疆 平面向量数量积的性质21yx
