1、 不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。 证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】 目录 1 柯西不等式2 排序不等式3
2、切比雪夫不等式 1。 柯西不等式定理 1 对任意实数组 恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当 时成立。本不等式称为柯西不等式。思路一 证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。证明 1右-左=当且仅当 定值 时，等式成立。思路 2 注意到 时不等式显然成立，当 时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。证明 2当 时等式成立；当 时，注意到=1故 当且仅当 且 （两次放缩等式成立条件要一致）即 同号且 常数，亦即 思路 3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。证明 3 构造函数 。由于 恒非负，故其判别式即有 等式当且仅当 常数时成立。若 柯西不
3、等式显然成立。例 1 证明均值不等式链：调和平均数算术平均数均方平均数。证 设 本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证 注意到 欲证,即需证此即由柯西不等式,易知成立,从而真(11)再证 , 欲证,只需证而即要证(注意 )由柯西不等式,知成立.()()中等式成立的条件都是 即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系 ()（其中 ，结合代换 ，即当且仅当 时，等式成立，说明的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是 排序不等式定理设有两组实数， 满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中 是实数组
4、 一个排列，等式当且仅当 或时成立。说明 本不等式称排序不等式，俗称例序积和 乱序积和 须序积和。证法一 逐步调整法首先注意到数组 也是有限个数的集合，从而也只有有限个不同值，故其中必有最大值和最小值（极端性原理）。设 注意下面的两个和注意 ，S （）可见和数中最大的和，只能是对应数组 由小到大的顺序排列，最小的和就对应数组 从大到小的依序排列，不符合如此须序的 只要适当调整，如所示就可越调越大（小），其中，n。证法 设由 的一个 k 阶子集则显见 等式当且仅当式即 ， 时,成立这就证明了乱序积和顺序积和注意列 ，仿上面证明，得这里 含义同上，于是有又证明了例序积和乱序积和综上排序不等式成立.
5、例 2 利用排序不等式证明柯西不等式：其中 等式当且仅当 为常数时成立。证 不失一般性，设 ； ，则由排序不等式可得（例序积和乱序积和)相加即得又算术平均值不大于平方平均值，（）故代入，即得平方后，即得柯西不等式说明“算术平均平方平均”可用数学归纳法直接证明如下：证 （i）设 n=2，则 显然成立（ii）设 n=k 时，成立，即有欲证 n=k+1 时，有成立，只需证考虑到归纳假设，只需证（）而（）是显然成立的,故 n=k+1 时命题成立,于是对 且 n2 时,命题成立,正是因为存大着不依赖柯西不等式证明“算术平均平方平均”的证明方法，例 2 的证法就不存在循环论证之嫌，否则此证法是不宜的。例
6、3 利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。证 设 ，易见构造数列 ，使则由知 于是由排序不等式,有(乱序积和 )(例序积和)，即 从而 其中等式当且仅当 时成立说明 这里构造了两个数列 和 为应用排序不等式创造了条件，得列一个证明均值不等式的简捷、漂亮解法。3 契比雪夫不等式设 (i=1,2，n)(i)若 则顺序积和的算术平均数不小于这两组数算术平均数之积：；（）若 ，则倒序积和的算术平均数不大于这两组数算术平均数之积：证明（i）由排序原理有，迭加可得两边除以 得等式当且仅当 ；类似可证()成立例 4 设 ，求证证明 不妨令 ，则由切比雪夫不等式，有即从而得证说明 大家较熟悉的美国竞赛题1979 年青海赛题1978 年上海赛题都是本例的特殊情况或变形。本周强化练习： 1设求 的最小值2若 a、b、c 是三角形三边长，s 是半周长。求证：VnN，下式成立解答或提示1不妨令 由切比雪夫不等式当且仅当2设 abc,则 a+ba+cb+c,( )
