1、第三章 直线、圆、椭圆生成算法,图形的扫描转换（光栅化）确定一个像素集合，用于显示一个图形的过程。 步骤如下： 1、确定有关像素 2、用图形的颜色或其它属性，对像素进行写操作。 对一维图形，不考虑线宽，则用一个像素宽的直线来显示图形。二维图形的光栅化，即区域的填充：确定像素集，填色或图案。 任何图形的光栅化，必须显示在一个窗口内，否则不予显示。即确定一个图形的哪些部分在窗口内，哪些在窗口外，即裁剪。,图形显示前需要：扫描转换+裁剪 裁剪-扫描转换：最常用，节约计算时间。 扫描转换-裁剪：算法简单；,本章内容,3.1扫描转换直线段3.1.1 DDA算法3.1.2中点画线法3.1.3Bresenh
2、am画线算法 3.2圆弧、椭圆弧扫描转换3.2.1 中点算法3.2.2内接正多边形迫近法3.2.3等面积正多边形逼近法3.2.4生成圆弧的正负法,3.1直线段的扫描转换算法,直线的扫描转换: 确定最佳逼近于该直线的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些象素进行写操作。 三个常用算法： 数值微分法（DDA） 中点画线法 Bresenham算法。,3.1.1数值微分法（）,假定直线的起点、终点分别为：（x0,y0), (x1,y1)，且都为整数。,(X i+1 ,Yi + k),(X i , Int(Yi +0.5),(X i , Yi),栅格交点表示象素点位置,。,。,。,。,3.1.1数值微分(D
3、DA)法,基本思想 已知过端点P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直线段Ly=kx+b 直线斜率为这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法和一次舍入运算。,计算yi+1= kxi+1+b = kxi+b+kx= yi+kx 当x =1; yi+1 = yi+k 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)； 注意上述分析的算法仅适用于k 1的情形。在这种情况下，x每增加1,y最多增加1。 当 k 1时，必须把x，y地位互换,增量算法：在一个迭代算法中，如果每一步的x、y值是用前一步的值加上一个增量来获得，则称为增量算法。 DDA算法就是一个增量算法。,数值微分(DDA)法,
4、void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x； float dx, dy, y, k; dx, = x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x+) drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k;,数值微分(DDA)法,例：画直线段P0(0,0)-P1(5,2) x int(y+0.5) y+0.5 0 0 0+0.5 1 0 0.4+0.5 2 1 0.8+0.5 3 1 1.2+0.5 4 2 1.6+0.5 5 2 2.0+0.5,
5、0 1 2 3 4 5,3,2,1,Line: P0(0, 0)- P1(5, 2),实现DDA画线程序,步骤： 第一步：建立一个DDALine的工程文件； 第二步：添加ddaline()成员函数 方法：在工作区中选择CLASSVIEW类窗口，右击CDDAlineView类，选择“add member function”，定义如下的成员函数：void ddaline(CDC* pDC,int x0,int y0,int x1,int y1,COLORREF color);,第三步：编写自定义的成员函数ddaline()程序,void CDDALineView:ddaline(CDC* pDC,
6、 int x0, int y0, int x1, int y1, COLORREF color) int length,i;float x,y,dx,dy;length=abs(x1-x0);if (abs(y1-y0)length)length=abs(y1-y0);dx=(float)(x1-x0)/length;dy=(float)(y1-y0)/length;x=x0+0.5;y=y0+0.5;for (i=1;iSetPixel(int)x,(int)y,color);x=x+dx;y=y+dy; ,第四步：编写OnDraw()函数,void CDDALineView:OnDraw(
7、CDC* pDC) CDDALineDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);/ TODO: add draw code for native data hereddaline(pDC,100,100,400,100,RGB(255,0,0);ddaline(pDC,400,100,400,400,RGB(0,255,0);ddaline(pDC,400,400,100,400,RGB(0,0,255);ddaline(pDC,100,400,100,100,RGB(255,255,0);ddaline(pDC,100,100,400,400,R
8、GB(255,0,255);ddaline(pDC,100,400,400,100,RGB(0,255,255); ,数值微分(DDA)法,缺点： 在此算法中，y、k必须是float，且每一步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件实现。,中点画线法,原理：,假定直线斜率0K1，且已确定点亮象素点P（Xp ,Yp ）,则下一个与直线最接近的像素只能是P1点或P2点。设M为中点，Q为交点 现需确定下一个点亮的象素。,P=(,x,p,y,p,),Q,P2,P1,中点画线法,当M在Q的下方- P2离直线更近更近-取P2 。 M在Q的上方- P1离直线更近更近-取P1 M与Q重合， P1、P2任取一点。问题
9、：如何判断M与Q点的关系？,P=(,x,p,y,p,),Q,P2,P1,3.1.2中点画线法,假设直线方程为：ax+by+c=0 其中a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0 由常识知：欲判断中点M点是在Q点上方还是在Q点下方，只需把M代入F(x,y),并检查它的符号。,P=(,x,p,y,p,),Q,P2,P1,构造判别式：d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 当d0，M在直线(Q点)上方，取右方P1； 当d=0，选P1或P2均可，约定取P1； 能否采用增量算法呢？,P=(,x,p,y,p,),Q,P2,P1,若d0 -M在直
10、线上方-取P1; 此时再下一个象素的判别式为d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)+c= a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a =d+a；增量为a,P=(,x,p,y,p,),Q,P2,P1,若dM在直线下方-取P2; 此时再下一个象素的判别式为d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c= a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a +b =d+a+b ； 增量为ab,P=(,x,p,y,p,),Q,P2,P1,画线从(x0, y0)开始，d的初值d0=F(x0+1, y0+0.5)= a(x0 +1)+b
11、(y0 +0.5)+c= F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b 由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算, 可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。,void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int a, b, d1, d2, d, x, y;a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b;d1=2*a, d2=2* (a+b);x=x0, y=y0;drawpixel(x, y, color);while (xx1) if (d0) x+; y+; d+=d2; else x+; d+=d1;d
12、rawpixel (x, y, color); /* while */ /* mid PointLine */,例：用中点画线法P0(0,0) P1(5,2) a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5 d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6 i xi yi d 1 0 0 1 2 1 0 -3 3 2 1 3 4 3 1 -1 5 4 2 5,0 1 2 3 4 5,3,2,1,中点画线算法,MidpointLine(CDC *pDC, int x0, int y0, int x1, int y1, COLORREF color) int a,b,delta1,delta
13、2,d,x,y; /传入的端点坐标x值相等 if(x0=x1) if(y0SetPixel(x0,i,color); else for(int i=y1;iSetPixel(x0,i,color); return; ,/斜率判断，斜率绝对值大于1，则m为false，否则为true bool m=(fabs(y1-y0)x1) d=x0;x0=x1;x1=d; d=y0;y0=y1;y1=d; a=y0-y1; b=x1-x0; x=x0;y=y0; pDC-SetPixel(x,y,color);,/斜率绝对值小于等于1的情况 if(m) /第一种情况，y值递增 if(y0SetPixel(x
14、,y,color); ,/第三种情况，y值递减 else d=2*a-b; delta1=2*a;delta2=2*(a-b); while(xSetPixel(x,y,color); /斜率绝对值大于1 else /第二种情况，y值递增 if(y0SetPixel(x,y,color); ,/第四种情况，y值递减 else d=a-2*b; delta1=-2*b;delta2=2*(a-b); while(yy1) if (dSetPixel(x,y,color); ,Bresenham画线算法,在直线生成的算法中Bresenham算法是最有效的算法之一。令 k=y/x，就0k1的情况来说
15、明Bresenham算法。由DDA算法可知： yi+1=yi+k (1)由于k不一定是整数，由此式求出的yi也不一定是整数，因此要用坐标为（xi,yir）的象素来表示直线上的点，其中yir表示最靠近yi的整数。,Bresenham画线算法,设图中xi列上已用（xi,yir）作为表示直线的点，又设B点是直线上的点，其坐标为（xi+1,yi+1），显然下一个表示直线的点（ xi+1,yi+1,r）只能从图中的C或者D点中去选。设A为CD边的中点。 若B在A点上面则应取D点作为（ xi+1,yi+1,r），否则应取C点。,xi,Xi+1,Yi,r,Yi+1,r,C,D,B,A,(x)的几何意义,为能
16、确定B在A点上面或下面，令 (xi+1)=yi+1-yir-0.5 (2)若B在A的下面，则有(xi+1)0。由图可知yi+1,r=yir+1，若(xi+1)0 (3)yi+1,r=yir， 若(xi+1)0,Bresenham画线算法,由式（2）和式（3）可得到(xi+2)=yi+2 - yi+1,r - 0.5=yi+1 + k - yi+1,r - 0.5 （4）yi+1 - yir -0.5 + k - 1,当(xi+1)0yi+1 - yir -0.5 + k, 当(xi+1)0(xi+2)= (xi+1) + k -1 ,当(xi+1)0(xi+2)= (xi+1) + k , 当
17、(xi+1)0由式（1）和式（2）可得到(x2)= k - 0.5 (5),Bresenham画线算法,BresenhamLine(CDC *pDC, int x1, int y1, int x2, int y2, COLORREF color) int x,y,dx,dy,p;/传入端点坐标x值相等if (x1 = x2)if (y1 SetPixel(x1,i,color);elsefor (int i=y2;iSetPixel(x1,i,color);return;,/斜率判断，斜率绝对值大于，则m为false，否则为trueBOOL m = (fabs(y2-y1) x2)p=x1;x
18、1=x2;x2=p;p=y1;y1=y2;y2=p;x = x1;y = y1;dx = x2 - x1;dy = y2 - y1;,/斜率绝对值小于等于if (m)/第一种情况，y递增if (y1 SetPixel(x,y,color);if (p SetPixel(x,y,color);if (p 0)x+;p=p-(dy1);elsex+;y-;p=p-(dy+dx)1);,/斜率绝对值大于else/第二种情况，y递增if (y1 SetPixel(x,y,color);if (p = y2)pDC-SetPixel(x,y,color);if (p 0)y-;p=p+(dx1);els
19、ex+;y-;p=p+(dx+dy)1); ,3.2.1直接利用圆的方程生成圆 下面先以圆心在原点、半径r为整数的圆为例，讨论圆的生成算法。假设圆的方程为：x2 + y2 = r2,3.2圆的扫描转换算法,x2 + y2 = r2 y = sqrt(r2 - x2) 在一定范围内，每给定一 x值，可得一y值。当x取整数时，y须取整。 缺点：浮点运算，开方， 取整，不均匀。,也可应用圆的参数方程画出分布比较均匀的点x = rcosy = rsin但仍要采用浮点运算、乘法运算、取整运算。,(y,x),(-y,x),(-x,y),(-x,-y),(-y,-x),(y,-x),(x,-y),3.2.2
20、八分法画圆 利用圆的对称性：,结论：只需对一个八分圆进行扫描转换。,当圆心坐标(xc ，yc ) ，半径为整数r时：(x-xc)2+(y-yc)2=r2可以先对圆心坐标(0 ，0 ) ，半径为r的八分圆进行扫描转换，根据圆的对称性，得到八个对称点，再将这八个点进行平移，即可得到原始圆上的对应点。,3.2.3画任意圆的方法,void Circle8Points(int x0,int y0, int x,int y,COLORREF c)pDC-SetPixel(x0+x,y0+y,c);pDC-SetPixel(x0-x,y0+y,c);pDC-SetPixel(x0+x,y0-y,c);pDC
21、-SetPixel(x0-x,y0-y,c);pDC-SetPixel(x0+y,y0+x,c);pDC-SetPixel(x0-y,y0+x,c);pDC-SetPixel(x0+y,y0-x,c);pDC-SetPixel(x0-y,y0-x,c); ,对于圆心在（x0,y0)、半径为r的圆，先对圆心在原点，半径为r的8分圆进行扫描转换，每确定一个象素，可输出原始圆的8个点。,3.2.4中点画圆法,利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分圆P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp +1，Yp -1)。,M,P1,P2,P（Xp ，Yp ）,构造函
22、数：F（X，Y）=X2 + Y2 - R2 ；则F（X，Y）= 0 （X，Y）在圆上；F（X，Y） 0 （X，Y）在圆外。 设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5),M,P1,P2,有如下结论：F（M）M在圆内- 取P1F（M）= 0 -M在圆外- 取P2 为此，可采用如下判别式：,M,P1,P2,d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5)=(xp + 1)2 + (yp - 0.5) 2 - R2 若d0, 则P1 为下一个象素，那么再下一个象素的判别式为：d1 = F(xp + 2, yp - 0.5)= (xp + 2)2 + (yp - 0.5) 2
23、- R2= d + 2xp +3即d 的增量为 2xp +3.,P1,若d=0, 则P2 为下一个象素，那么再下一个象 素的判别式为：d1 = F(xp + 2, yp - 1.5)= (xp + 2)2 + (yp - 1.5) 2 - R2= d + （2xp + 3）+（-2 yp + 2）即d 的增量为 2 (xp - yp) +5.d的初值:d0 = F(1, R-0.5)= 1 + (R-0.5)2 - R2= 1.25 - R,M,P1,P2,算法步骤： 1.输入圆的半径R。 2.计算初始值d=1.25-R、x=0、y=R。 3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。
24、4.判断d的符号。若d0，则先将d更新为d+2x+3，再将(x,y)更新为(x+1,y)；否则先将d更新为d+2(x-y)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。 5.当x=y时，重复步骤3和4。否则结束。,MidpointCircle(int r, int color)int x,y;float d;x=0; y=r; d=1.25-r;drawpixel(x,y,color);while(xy)if(d0) d+ = 2*x+3; x+; elsed+ = 2*(x-y) + 5; x+;y-; drawpixel(x,y,color); ,为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法
25、中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点画圆法。 使用e=d-0.25代替d e0=1-R,算法优化,算法步骤： 1.输入圆的半径R。 2.计算初始值d=1-R、x=0、y=R。 3.绘制点(x,y)及其在八分圆中的另外七个对称点。 4.判断d的符号。若d0，则先将d更新为d+2x+3，再将(x,y)更新为(x+1,y)；否则先将d更新为d+2(x-y)+5，再将(x,y)更新为(x+1,y-1)。 5.当x=y时，重复步骤3和4。否则结束。,中点画圆法程序代码,MidpointCircle(int r, int color)int x,y;float d;x=0; y
26、=r; d=1-r;drawpixel(x,y,color);while(x=y)if(d0) d+ = 2*x+3; x+ elsed+ = 2*(x-y) + 5; x+;y-; drawpixel(x,y,color);,上述算法能否再改进呢？ 注意到d的增量是x,y的线性函数， 每当x递增1，则d的增量递增x=2 每当y递减1，则d的增量递增y=2 x初始值=3；y初始值=-2r+2,x=0; y=r; d=1-r;. if(d0) d+ = 2*x+3; x+ ; else d+ = 2*(x-y) + 5; x+;y-; ,x=0;y=r;d=1-r;d1=3;d2=-2*r+2;
27、. if(d0) d+ = d1; x+;d1+=2 ; else d+ = d1+d2; x+;y-; d1+=2;d2+=2 ,MidpointCircle(int r, int color)int x,y;int d;x=0; y=r; d=1-r;d1=3;d2=-2*r+2;while(xy)drawpixel(x,y,color);if(d0) d+ = d1; x+;d1+=2 elsed+ = d1+d2; x+;y-; d1+=2;d2+=2; ,程序实现步骤：,(1)建立MidPointCircle工程文件； (2)右击CMidPointCircleView类，建立成员函数
28、void MidpointCircle(CDC *pDC,int x0, int y0, int r, COLORREF color)int CirPot(CDC *pDC,int x0, int y0, int x, int y, COLORREF color),(3) 编写成员函数代码，程序如下：,void CMidPointCircleView:MidpointCircle(CDC *pDC,int x0, int y0, int r, COLORREF color) int x,y;float d;x=0;y=r;d=1.25-r;CirPot(pDC,x0,y0,x,y,color)
29、; while (x=y) if(d0)d+=2*x+3; x+;elsed+=2*(x-y)+5;x+; y-; CirPot(pDC,x0,y0,x,y,color); /* while*/ ,int CMidPointCircleView:CirPot(CDC *pDC,int x0, int y0, int x, int y, COLORREF color) pDC-SetPixel(x0+x),(y0+y),color);pDC-SetPixel(x0+y),(y0+x),color);pDC-SetPixel(x0+y),(y0-x),color);pDC-SetPixel(x0+
30、x),(y0-y),color);pDC-SetPixel(x0-x),(y0-y),color);pDC-SetPixel(x0-y),(y0-x),color);pDC-SetPixel(x0-y),(y0+x),color);pDC-SetPixel(x0-x),(y0+y),color); return 0; ,（4）编写OnDraw(CDC* pDC)函数，程序如下： void CMidPointCircleView:OnDraw(CDC* pDC) CMidPointCircleDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);/ TODO:
31、 add draw code for native data hereMidpointCircle(pDC,100, 100, 10, RGB(255,0,0);MidpointCircle(pDC,500, 300, 60, RGB(255,255,0); (5)编译、运行程序，查看结果。,3.2.5 Bresenham画圆算法,现在从A点开始向右下方逐点来寻找弧AB要用的点。如图中点Pi-1是已选中的一个表示圆弧上的点，根据弧AB的走向，下一个点应该从Hi或者Li中选择。显然应选离AB最近的点作为显示弧AB的点。假设圆的半径为R，显然， 当xhi2 + yhi2 -R2 R2 - (xli
32、2 + yli2)时，应该取Li。否则取Hi。 令di = xhi2 + yhi2 + xli2 + yli2 - 2R2 显然，当di 0 时应该取Li。否则，取Hi。,Pi-1,Hi,Li,应取Hi还是取Li,剩下的问题是如何快速的计算di。 设图中Pi-1的坐标为(xi-1,yi-1)，则Hi和Li 的坐标为(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1 )di = xi2 + yi-12 + xi2 + (yi-1-1)2 - 2R2 =2xi2 + 2yi-12 - 2yi-1 - 2R2 di+1 = (xi + 1)2 + yi2 + (xi + 1)2 + (yi - 1)2 - 2
33、R2 =2xi2 + 4xi + 2yi2 - 2yi - 2R2 + 3,Pi-1,Hi,Li,应取Hi还是取Li,Bresenham画圆算法,当di取Hi - yi=yi-1，则di+1 = di + 4xi-1 + 7当di 0时-取Li - yi=yi-1-1，则di+1 = di + 4(xi-1-yi-1) + 11 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1因此 d0=12 + y02 + 12 +(y0 - 1)2 - 2R2 = 3 - 2y0 = 3 - 2R,Pi-1,Hi,Li,应取Hi还是取Li,Bresenham画圆算法代码,void CircleBres(int r
34、adius) int x=0,y=radius,p=3-2*radius;while (xy) Drawpixel(x,y,c) ;x+;if (p0)p+=(4*x+7);elsep+=(4*(x-y)+11);y-;,3.2.6生成圆弧的正负法,原理：,设圆的方程为F(x,y)=X2 + Y2 - R2=0; 假设求得Pi的坐标为(xi,yi)； 则当Pi在圆内时- F(xi,yi) 向右- 向圆外 Pi在圆外时- F(xi,yi)0 - 向下- 向圆内,即求得Pi点后选择下一个象素点Pi+1的规则为： 当F(xi,yi) 0 取xi+1 = xi+1，yi+1 = yi; 当F(xi,y
35、i) 0 取xi+1 = xi， yi+1 = yi - 1; 这样用于表示圆弧的点均在圆弧附近，且使F(xi,yi) 时正时负，故称正负法。快速计算的关键是F(xi,yi) 的计算，能否采用增量算法？,若F(xi,yi) 已知，计算F(xi+1,yi+1) 可分两种情况： 1、F(xi,yi)0- xi+1 = xi+1，yi+1 = yi;- F(xi+1,yi+1)= (xi+1 )2 +(yi+1 )2 -R2- = (xi+1)2+ yi2 -R2 = F(xi,yi) +2xi +1 2、 F(xi,yi)0- xi+1 = xi，yi+1 = yi -1;- F(xi+1,yi+
36、1)= (xi+1 )2 +(yi+1 )2 -R2- = xi2+(yi 1)2-R2 = F(xi,yi) - 2yi +1 3、初始值：圆弧起点(0,R),圆弧终点(R，0),3.2.7生成圆弧的多边形逼近法,圆的内接正多边形迫近法圆的等面积正多边形迫近法,圆的内接正多边形逼近法,思想：当一个正多边形的边数足够多时，该多边形可以和圆无限接近。即因此，在允许的误差范围内，可以用正多边形代替圆。 设内接正n边形的顶点为Pi(xi,yi), Pi的幅角为i ,每一条边对应的圆心角为a，则有 xi =Rcos i yi =Rsin i,圆的内接正多边形逼近法,内接正n边形代替圆 计算多边形各顶点
37、的递推公式Xi+1 Rcos( a+ i) = Yi +1 Rsin (a+ i) Xi+1 cos a - sin a Xi= Yi +1 sin a cosa Yi因为: a是常数， sin a， cosa只在开始时计算一次所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法，外加直线段的中点算法的计算量。,圆的等面积正多边形逼近法,当用内接正多边形逼近圆时，其面积要小于圆的面积；而当用圆的外切正多边形逼近圆时，其面积则要大于圆的面积。为了使近似代替圆的正多边形和圆之间在面积上相等，只有使该正多边形和圆弧相交，称之为圆的等面积正多边形。,圆的等面积正多边形逼近法,步骤： 求多边形径长，从而求所有顶点坐
38、标值 由逼近误差值，确定边所对应的圆心角,3.3 椭圆的扫描转换,3.3.1 椭圆的特征,对于椭圆上的点，有F(x,y)=0； 对于椭圆外的点，F(x,y)0； 对于椭圆内的点，F(x,y)0。 解决问题：,以弧上斜率为1的点作为分界将第一象限椭圆弧分为上下两部分。,在上半部分，法向量y的分量更大，椭圆弧上 各点的切线斜率k满足-1 k 0 在下半部分，法向量x的分量更大，椭圆弧上 各点的切线斜率k满足 k -1,椭圆上点(x,y)处的法向量为：,引理3-1：若在当前中点，法向量的y分量比x分量大，即,而在下一个中点，不等号改变方向，则说明椭圆弧从上部分转入下部分。,F(x,y)= b2x2+
39、a2y2-a2b2=0 弧上一点（x,y) 处的法向量,从而弧上斜率为-1的点满足：2b2x = 2a2y,可求得斜率为-1的点坐标：,3.3.2 椭圆的中点算法,算法原理:从(0,b)到(a,0)顺时针地确定最佳逼近于第一象限椭圆弧的像素序列。 在上半部分， -1 k 0 , 最大位移方向为x; 在下半部分， k -1 , 最大位移方向为y;,先推导上半部分的椭圆绘制公式,判别式,若d10，取Pu(xi+1,yi) 若d10，取Pd(xi+1,yi-1),误差项的递推 d10： 取Pu(xi+1,yi),增量为：b2(2xi+3),d10：取Pd(xi+1,yi-1),增量为：b2(2xi+
40、3)+a2(-2yi+2),判别式的初始值弧起点为 (0, b)，故第一个中点为(1,b-0.5),再来推导椭圆弧下半部分的绘制公式 原理,请思考？,判别式和初始值,若d20，取 (xi+1,yi-1) 若d20，取(xi,yi-1),用上半部分计算的最后点(x，y)来计算下半部分中d的初值：d=b2(x+0.5)2+a2(y-1)2-a2b2,递推式,d0,取正下方元素（xi，yi-1）,递推式,d0,取右下方元素（xi+1，yi-1）,算法描述,(1)输入椭圆的长半轴a和短半轴b。 (2)计算初始值：d=b2+a2(-b+0.25),x=0,y=b. (3)绘制点(x,y)及其在四分象限上
41、的另外3个对称点. (4)判断d的符号。若d=0，则先将d更新为d+b2(2xi+3),再将（xi,yi）更新为（xi+1,yi）;否则先将d更新为d+b2(2xi+3)+a2(-2yi+2),再将（xi,yi）更新为（xi+1,yi-1） (5)当b2(x+1)a2(y-0.5)时，重复步骤(3)和(4)，否则转(6) (6)用上半部分计算的最后点(x，y)来计算下半部分中d的初值：d=b2(x+0.5)2+a2(y-1)2-a2b2 (7)绘制点(x,y)及其在四分象限的另外3个对称点b (8)判断d的符号.若d=0，则先将d更新为d+b2(2xi+2)+a2(-2yi+3),再将(x,y
42、)更新为(x+1,y-1); 否则先将d更新为d+a2(-2yi+3),再将（x，y）更新为(x，y1). (9)当y0时，重复步骤(7)和(8)，否则结束。,程序：MidpointEllipe(a,b, color)int a,b,color; int x,y; float d1,d2;x = 0; y = b;d1 = b*b +a*a*(-b+0.25);putpixel(x,y,color);while( b*b*(x+1) 0) if (d2 0) d2 +=b*b*(2*x+2)+a*a*(-2*y+3);x+; y-；else d2 += a*a*(-2*y+3); y-; putpixel(x,y,color); ,
