1、基于MATLAB的 高等数学实验,主 讲: 张 朝 元 数学与计算机学院 应用数学教研室 2009.3.-4.,第一章 MATLAB基本知识,第二章 MATLAB矩阵和数组计算,第三章 MATLAB符号运算,第四章 MATLAB绘图,第五章 MATLAB语言的程序设计,第六章 MATLAB应用,一、MATLAB简介和特点,二、MATLAB的安装与启动,三、MATLAB 基本知识,四、MATLAB基本操作,上机练习,第一章 MATLAB基本知识,MATLAB 是Matrix Laboratory （矩阵实验室）的缩写，是由美国MathWorks 公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本
2、功能于一体的，功能强大、操作简单的语言。,主要特点： 运算符和库函数极其丰富，语言简洁，编程效率高， 既具有结构化的控制语句,又有面向对象的编程特性。 图形功能强大。 功能强大的工具箱。 易于扩充。,Back,1、MATLAB的运行方式：命令行方式和M文件方式,例1.1、求矩阵 ， 的和。,2、MATLAB的窗口,3、MATLAB的帮助系统,4、“clear”命令和“clc”命令,Back,1、MATLAB的常用操作键,表1.1 命令窗口常用功能键,2、MATLAB的变量和函数,MATLAB的变量命名规则： 变量必须以字母打头，之后可以是任意字母、数字或下划线； 变量名区分字母大小写； 变量名
3、不能超过19个字符。,调用单值函数格式： 变量名=函数名（P1，P2） P为输入参数,表1.2 MATLAB中特殊变量名,表1.3 基本函数表,运算符号：+、-、*、/、,3、数字变量的运算及显示格式,四种显示格式： short 小数点后4位（默认） long 小数点后14位 short e 5位指数形式 long e 15位指数形式,4、数据的输入输出函数,变量名=input（提示信息）,输出函数,从键盘输入数据,disp（输出项）,5、MATLAB的符号表达式,定义方式：变量名=表达式,6、逻辑关系运算,表1.5 逻辑关系运算表,1.计算 的值； 2求 ； 3计算 ； 4求 的值； 5求1
4、5、35的最大公因数； 6. 计算3.14朝零取整； 7用变量名y1表示方程 8熟悉MATLAB的各窗口。,上机练习,第二章 MATLAB矩阵和数组计算,一、矩阵的建立,二、矩阵元素的操作,三、矩阵的基本运算,四、矩阵的线性变换,五、矩阵的分解,六、向量运算,七、多项式运算,一、矩阵的建立,直接输入矩阵的元素,利用函数创建,zeros 零矩阵 ones 常数矩阵 eye 单位矩阵 rand 均匀分布的随机矩阵 randn 正态分布的随机矩阵 linspace 线性等间隔向量 logspace 对数等间隔向量,利用数据文件装入,利用矩阵编辑器（Matrix Editor）创建,二、矩阵元素的操作
5、,1、选取矩阵中某些元素而构成新的矩阵或数组,b=a（m行：n行，r列：s列）表示从a中抽出m到n行、r到s列 b=a（：，r列：s列）表示所有行均选 b=a（m行：n行，：）表示所有列均选 c=a（m，r）表示第m行r列元素被选中,2、小矩阵拼成大矩阵,大矩阵c=a;b把b的元素补进a矩阵中,三、矩阵的基本运算,1、矩阵的四则运算,加（+）、减（-）,乘法（*）、点乘（.*）,除法（左除和右除/）,点除（./）,2、矩阵与标量的四则运算,3、矩阵的幂运算,A.n,p.B,A.B,Ap,4、矩阵的指数运算、对数运算和开方运算,矩阵的指数运算 exam exam1 exam2,矩阵的对数运算 l
6、ogm,矩阵的开方运算 sqrtm,5、矩阵的转置 矩阵的逆矩阵 inv,6、矩阵元素的行列式的值：det矩阵的秩：rank矩阵的迹：trace矩阵的范数：norm矩阵的条件数：cond,7、矩阵a的特征值(n)特征向量(m)：m,n=eig(a),例2.5 求矩阵A=2，2，-1，1；4，3，-1，2；8，5，-3，4；3，3，-2，2 的行列式、迹、范数、条件数、秩和特征值特征向量。,例2.6 解线性方程组,四、矩阵的线性变换,rot90矩阵逆时针旋转90度； fliplr矩阵作左右翻转； fliqud矩阵作上下翻转； diag产生对角矩阵； tril产生下三角矩阵； triu产生上三角矩
7、阵； reshape矩阵重建； size矩阵尺寸； length向量长度。,五、矩阵的分解,Cholesky分解：chol（A）,三角分解：L，U=lu（A）,正交分解：Q，R=qr（A）,六、向量运算,1、向量的产生,2、向量运算,向量名=初值：增量：终值,向量可用中括号以及其中的数字产生,linspace（初值，终值，数据个数）,例2.8、 建立一个10以内的正奇数向量； 建立一个110内的有4个数的向量。,向量与标量的运算,向量间的运算,和x1+x2 差 x1-x2 点积dot(x1,x2) 叉积cross(x1,x2) 混合积 dot(x1,cross(x2,x3),七、多项式运算,多
8、项式一般可表示为：,1、多项式构造,命令：poly2sym,例2.11、构造多项式,2、求多项式的值,3、多项式四则运算,命令：polyval(p,s),加“+” 减“-” 乘conv(a,b)除q,r=deconva,b,第三章 MATLAB的符号计算,一、符号定义,二、代数式的符号运算,三、可视化符号函数计算器,四、函数的极值和零点,五、求极限,六、求导数和偏导数,七、积分运算,八、级数,九、解方程和微分方程,上机练习,1、创建符号变量,符号变量名=sym（表达式）,Syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名3 ,2、符号赋值,符号要用具体数值代替,格式为：R=subs(s,old,
9、new),表达式R的值可用命令：vpa(R),一、符号定义,符号表达式的化简函数,表2.1 符号化简函数表,二、代数式的符号运算,三、可视化符号函数计算器,函数自运算,启动可视化符号函数计算器：funtool,函数与常数的运算,两函数间运算,其它功能,可进行函数的运算操作,四、函数的极值和零点,表2.2 函数的极值和零点的主要函数表,五、求极限,表2.3 符号极限的函数格式,六、求导数和偏导数,1、表达式的导数,diff(s,x,n),2、多元函数的偏导数,diff(函数f(x,y),变量x,n),求出,3、求雅可比矩阵,jacobian（函数f(x,y,z)；函数g(x,y,z)；函数h(x
10、,y,z)，x,y,z）,七、积分运算,表2.3 符号积分的函数格式,八、级数,表3.3 泰勒级数的函数格式,表3.4 级数求和函数格式,九、解方程和微分方程,表2.3 符号方程求解函数格式,九、解方程和微分方程,表2.4 符号微分方程求解的函数格式,第四章 MATLAB绘图,一、二维图形绘制,二、三维图形绘制,上机练习,1、plot函数常用形式, plot(x,y), plot(x), plot(x,y,参数),表5.1 颜色控制符, plot(x1,y1,参数1,x2,y2,参数1),表5.2 线型控制符,表5.3 数据点标记符,2、图形的修饰与控制,坐标轴的调整,axis( ),axis
11、（控制字符串）,表5.4 axis控制符,对图形坐标轴的刻度进行标示：,set(gca，xtick，标示向量)set(gca，ytick，标示向量),文字标示,title(字符串)图形标题 xlabel(字符串)x轴标注 ylabel(字符串)y轴标注text（x，y，字符串)在坐标(x,y)处标注gtext（字符串）用鼠标在指定处标注,图例注解,格式 ：legend（字符串1，字符串2，参数）,表5.6 图例参数的含义,图形保持,hold保持当前图形 hold on保持当前图形及轴系的所有特性 hold off解除hold on,网格控制,grid on添加网格线 grid off去掉网格线
12、,图形窗口分割,subplot(m,n,p),图形的填充,fill(x,y,color),3、特殊坐标二维图形,表5.7 特殊坐标二维图形函数,4、其它二维图形,MATLAB绘制特殊二维图形,表5.8 特殊二维图形函数,Back,1、三维数据生成,生成空间网格：x,y,z=meshgrid(x,y,z),创建双峰函数：x,y,z=peaks(n),2、空间曲线的绘制,plot3(x1,y1,z1,参数1,x2,y2,z, 参数1，),若x,y,z是同样长度的矢量，则绘制出一条在三维空间贯穿的曲线； 若x,y,z是 阶的矩阵，则绘制出m条三维空间曲线。,3、空间曲面的绘制,表5.9 三维曲面图形
13、函数,一、命令文件,二、函数文件,三、程序流程语句,上机练习,第五章 MATLAB语言的程序设计,一、命令文件,1、创建M文件,菜单操作 FileNewM-file 命令操作 edit 命令按扭 用“新建”小图标,打开M文件,菜单操作 Fileopen 命令操作 edit 命令按扭 用“打开”小图标,创建M文件,2、M文件的调试,文本编辑器窗口,文本编辑器窗口的调试功能,例1、编写一个命令文件，将变量a，b的值互换，并运行。,程序设计：a=1 3 5 7 9;b=2 4 6 8 10;c=a; a=b; b=c;ab,Back,二、函数文件,function输出变量名1，2=函数名（输入变量名
14、或符号表达式）,例2、编写一个函数文件，对两个数进行加、减运算。,Back,程序设计：functionhe,ca=hc(a,b)he=a+b;ca=a-b;,三、程序流程语句,程序的三种基本结构,顺序结构 选择结构 循环结构,MATLAB的程序流程语句,if语句 switch语句 try语句,选择结构：,循环结构：,while语句 for语句,均以end为结束标志,1、 if,if 表达式语句组 end,单分支if 语句基本格式为：,双分支if 语句基本格式为：,if 表达式语句组1 else语句组2 end,多分支if 语句基本格式为：,if结构是一种条件分支结构，判断某个条件是否成立，如果
15、成立则执行结构内的语句，否则就跳出if分支结构，执行后面的命令。,if 表达式语句 else if 表达式语句else 表达式语句end end,程序设计：a=100;b=20;if aa)elsefprintf(ab)end,例3、比较两个数a和b的大小,运行结果：ab,2、 switch,基本格式为：,switch 表达式case 表达式1语句组1case 表达式2语句组2case 表达式n语句组notherwise语句组n+1end,switch结构是一种典型的多分支选择结构，根据表达式的结果执行后面与表达式一致的case中的语句。,例4、从键盘输入一个数字，判断它能否被5整除？,程序设
16、计：n=input(请输入一个数字n=)switch mod(n,5)case 0fprintf(n是5的倍数,n)otherwisefprintf(n不是5的倍数,n)end,运行结果：请输入一个数字：n=4444不是5的倍数,3、 while,是条件循环语句 ，格式为：,while 表达式语句体end,4、 for,是记数循环语句，一般格式为：,for与end之间的部分称为循环体，i一般定义为一个循环向量（增量可自定义，缺省值为1）。这样变量i从初值开始，循环体中的语句每执行一遍i就增加一个增量，直到i=终值为止。,for i=初值:增量:终值指令1指令n end,例5、求1+2+100的
17、和?,程序设计： sum=0; 设定初值（必须要有） for i=1:100; for循环，增量为1sum=sum+I; 循环体end 结束循环 sum 运算结果,运行结果： sum=5050,例6、计算1100的奇数的和。,程序设计： x=0;sum=0; 设定初值（必须要有） while x101; while循环，逻辑表达式为x101sum=sum+x; 循环体1x=x+2; 循环体2end 结束循环 sum 运算结果,运行结果： sum=2550,5、 其它流程控制语句,continue语句：用于控制for循环和while循环跳过某些执行语句,break语句：用于终止for循环和whi
18、le循环的执行,return语句：用于终止当前的程序序列，并返回到调用的函数或键盘操作中，也用于终止keyboard方式,try语句：是一种试探性执行语句,Back,上机练习,1、用一M文件接受键盘输入的数据，求其立方值。 2、编写一程序，计算平面直角坐标系内两点间的距离。 3、计算分段函数,4、求,5、编写程序：选取一个正整数（由键盘输入），若为偶数 则除以2，若为奇数则乘3加1，重复该过程至该数变为1。,的值。,第六章 MATLAB应用,一、数据分析,二、数值插值和曲线拟合,三、数值积分与微分方程数值解,上机练习,四、数学建模实例,表6.1 基本统计命令,一、数据分析,表6.2 离差函数和
19、相关函数,1、数值插值,一维插值：Y1=interp1(X,Y,X1,参数),二维插值：Z1=interp2（X,Y,Z,X1,Y1,参数),表6.3 线性插值主要参数,二、数值插值和曲线拟合,2、曲线拟合,P，S=polyfit（X,Y,N）,说明：X，Y是两个等长的向量，X是采样点，Y是采样点函数值，P是长度为N+1的向量，代表N次多项式，即多项式系数矩阵S是采样点的误差向量。,1、辛普生积分 quad(函数文件名，a,b),2、梯形法积分 trapz(x,y),3、欧拉法积分 cumsum(y),4、牛顿柯西法积分 quad8(文件名，a，b),5、微分方程的龙格库塔法X,Y=ode23
20、(f,x0,xn,y0)X,Y=ode45(f,x0,xn,y0),三、数值积分与微分方程数值解,假设：只考虑群体的生与死，不考虑迁移；,设单位时间的出生率为b，单位时间的死亡率为d,在,有,令,则,解上述常微分方程得,Malthus模型,四、数学建模实例,群体生长模型,讨论生物群体（包括微生物、植物、动物、以至于特定地区人口）的变化规律,对模型进行验证,根据美国财政部的估计，1965年1月时全世界的总人口数是33.4亿，而从1960年到1970年间世界人口的平均增长率是2%,用MATLAB画出1900年至2000年间的人口变化曲线,于是,t=1900:10:2000; N=33.4.*exp
21、(0.02.*(t-1965); plot(t,N); title(Malthusb人口曲线),用这个模型去预测更远的未来 ：,输入：N2050=33.4*exp(0.02*(2050-1965),显示：N2050 = 182.8298,输入：N2500=33.4*exp(0.02*(2500-1965),显示：N2500 = 1.4815e+006,这表明Malthus模型虽在短期人口预测上有较好的效果，但不适宜长期预报。,设 r为,则,其中,解这个微分方程：n=dsolve(Dn=n*r*(1-n/k),n(0)=n0,t),得 n = k/(1+exp(-r*t)*(k-n0)/n0),
22、即,Logistic模型,Logistic模型有以下特点：,若 ，则 ， 单调上升，且 即为环境资源能够允许的最大人口数（称为环境容纳量）；,在N=k/2时Logistic曲线有一拐点，这说明群体总数在达到其最大值一半前是加速生长期，超过一半后则是减速生长期，在此期间内生长速度逐渐降低，并趋于0。,某些生态学家估计生命系数的自然值为0.029，这样可估计出世界人口容量约为107.6亿，则Logistic模型即为：,绘制这个函数在1500，2500内的曲线： 输入 t=1500:10:2500;N=107.6./(1+2.2216.*exp(-0.029.*(t-1965);plot(t,N,);title(logistic人口曲线),
