1、要点梳理 1.二元一次不等式(组)表示平面区域作二元一次不等式Ax+By+C0(或Ax+By+C0)表示的平面区域的方法步骤：(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0.(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C0时,常把_作为此特殊点.,7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,原点,基础知识 自主学习,(3)若Ax0+By0+C0,则包含点P的半平面为不等式 _所表示的平面区域,不包含点P的半平面为不等式_所表示的平面区域 . 2.线性规划的有关概念(1)线性约束条件由条件列出一次不等式(或方程)组.(2)线性目标函数由条件列出一次函数表达式.(3)线性规划问
2、题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.(4)可行解:满足 _的解(x,y).(5)可行域:所有_的集合.,Ax+By+C0,Ax+By+C0,线性约束条件,可行解,（6）最优解:使_取得最大值或最小值的可 行解. 3.利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)作出目标函数的等值线.(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定_.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.,目标函数,最优解,4.线性规划实质上是“_”数学思想方法在一个方面的体现，将最值问题借助图形直观、简便地寻找出来，是一种较快地求最值的
3、方法. 5.在求解应用问题时要特别注意题意中的_，不可将范围盲目扩大.,数形结合,变量的取值,范围,基础自测 1.下列各点中,不在x+y-10表示的平面区域的 是 （ ）A.（0，0） B.（-1，1）C.（-1，3） D.（2，-3）解析 将选项A、B、C、D中的坐标代入x+y-1验证可得C符合题意.,C,2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m 的取值范围是 （ ）A.m10 B.m=-5或m=10C.-5m10 D.-5m10解析 由题意可得(21+3+m)2(-4)-2+m0，即(m+5)(m-10)0,-5m10.,C,3.设A=（x，y）|x，y，1-x
4、-y是三角形的三边长，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是（ ）,解析 由已知得 答案 A,4.（2009安徽文，3）不等式组 所表 示的平面区域的面积等于 （ ）A. B. C. D. 解析 不等式组表示的平面区域如图所示，,由 得交点A的坐标为（1，1）.又B、C两点的坐标为（0，4），答案 C,5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木 工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元,设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是_.解析 由题意可得,题型一 二元一次不等式（组）表示的平面区域【例1】画出不等式组 表示的平面区域,并回答下列问题:(1
5、)指出x,y的取值范围;(2)平面区域内有多少个整点?,题型分类 深度剖析,思维启迪 (1)不等式组表示的平面区域是各个不等 式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表 示的平面区域的公共部分,但要注意是否包含边界. (2)整点是指横、纵坐标均为整数的点. 解 (1)不等式x-y+50表示直 线x-y+5=0上及右下方的点的集 合.x+y0表示直线x+y=0上及右 上方的点的集合,x3表示直线 x=3上及左方的点的集合.,所以,不等式组 表示的平面区域如图所示. 结合图中可行域得 (2)由图形及不等式组知 当x=3时,-3y8,有12个整点; 当x=2时,-2y7,有10个整点; 当x=1
6、时,-1y6,有8个整点; 当x=0时，0y5，有6个整点； 当x=-1时,1y4,有4个整点;,当x=-2时,2y3,有2个整点; 平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42个.本题主要考查不等式表示的平面区域、 数列求和及不等式的应用等基础知识，考查了数形结 合的方法和逻辑推理能力. (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域点集的交集,因而是各个不等式所表示的平 面区域的公共部分. (2)在封闭区域内找整点数目时,若数目较小时,可画网 格逐一数出;若数目较大,则可分x=m逐条分段统计.,探究提高,知能迁移1 如图ABC中,A(0,1),B(-2,2),C(2,
7、6),写出ABC区域所表示的二元一次不等式组.解 由已知得直线AB、BC、CA的方程分别为：直线AB：x+2y-2=0，直线BC：x-y+4=0，直线CA：5x-2y+2=0.原点(0，0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为,题型二 求目标函数的最值问题 【例2】（2009海南，宁夏，6）设x,y满足则z=x+y （ ）A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值先作出可行域，然后作出与直线x+y=0平行的直线，通过平移，在可行域内找到最优解，从而求出最大、最小值.,思维启迪,解析 如下图作出不等式组
8、表示的可行域，由于 z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点(2, 0)时，z有最小值，但z没有最大值.答案 B,探究提高 (1)首先把二元一次不等式所表示的平面 区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不 等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界. 求目标函数的最大值或最小值,必须先求出准确的可 行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得 最优解的点，从而求出最值.一般直线的交点是最值 点，特殊的当表示线性目标函数的直线与可行域的某 边平行时，其最优解可能有无数多个.,(2)目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线 的截距有关. 若目标函数为形如 可考虑(a
9、，b)与(x，y) 两点连线的斜率. 若目标函数为形如z=(x-a)2+(y-b)2，可考虑(x,y)与 (a,b)两点距离的平方.,知能迁移2 （2009浙江理,13）若实数x,y满足不 等式组 则z=2x+3y的最小值是_.解析 作出不等式表示的可行域如图所示，由于2x+3y=z的斜率 故z=2x+3y在点(2,0)处取得最小值4.,4,题型三 线性规划的简单应用 【例3】某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物 8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费
10、分别为3元、4元、5元.问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？由于题目中量比较多，所以最好通过列出表格以便清晰地展现题目中的条件.设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商店的货物吨数，列出可行域，即可求解.,思维启迪,解 将已知数据列成下表： 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨， 则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y）吨,从而仓库 B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8-y) 吨、5-(12-x-y)=(x+y-7)吨,于是总运费为 z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7) =x-2y+12
11、6.,商店,仓库,每吨运费,线性约束条件为目标函数为z=x-2y+126. 作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中 阴影部分所示.,作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移 动到过点(0,8)时,在可行域内，z=x-2y+126取得最小 值zmin=0-28+126=110,即x=0,y=8时总运费最少. 安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货 物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店 的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓 库运货物到三个商店的总运费最少.解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分 析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条
12、件和目标函 数:(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.,探究提高,知能迁移3 （2009四川，10）某企业生产甲、乙 两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获得的最大利润是 （ ）A.12万元 B.20万元C.25万元 D.27万元,解析 设生产甲产品x吨、乙产品y吨， 则获得的利润为z=5x+3y.由题意得 可行域如图阴影所示. 由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值， 此时x=3，
13、y=4,z=53+34=27(万元). 答案 D,题型四 线性规划的综合应用 【例4】（12分）实数x,y满足（1）若 求z的最大值和最小值，并求z的取值范围； （2）若z=x2+y2，求z的最大值与最小值,并求z的取值范围.(1) 表示的是区域内的点与原点连线的斜率.故 的最值问题即为直线的斜率的最大值与最小值.（2）z=x2+y2的最值表示的是区域内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.,思维启迪,解 作出可行域如图阴影部分所示.表示可行域内任一点与 坐标原点连线的斜率， 4分 因此 的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率 (OA斜率不存在）.zmax不存在，zmin=2, z的取值
14、范围是2，+）. 7分,(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两 点间距离的平方. 9分 因此x2+y2的范围最小为|OA|2（取不到），最大为 |OB|2. 由 得A(0，1)， |OA|2=02+12=1，|OB|2=12+22=5. zmax=5，z无最小值. 故z的取值范围是（1，5. 12分,探究提高 本例与常规线性规划不同，主要是目标函 数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意 义，常见代数式的几何意义主要有以下几点： (1) 表示点（x,y）与原点（0，0）的距离;表示点（x,y）与（a,b）的距离. (2) 表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率;表示
15、点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. 理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.,知能迁移4 在如图所示的坐标平 面的可行域内（阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个,则 的最大值是 ( ) A. B. C. D.,解析 目标函数z=x+ay可化为 由题意a0且当直线 与lAC重合时符合 题意. 此时kAC=1= a=-1，的几何意义是区域内动点与P(-1,0)连线的斜 率. 显然kPC= 最大. 答案 B,1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平面的对应性.对于A0的直线l：Ax+By+C=0，Ax+By+C0对应直线l右侧的平面；Ax+By+
16、C0对应直线l左侧的平面.由一组直线围成的区域形状常见的有：三角形、四边形、多边形以及扇形域和带状域等.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,2.转化：求二元一次函数z=ax+by (ab0)的最值,将函数z=ax+by转化为直线的斜截式：通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值. 3.实数最优解一定在顶点或边界取得;经过区域内整 数最优解的直线距实数最优解最近. 4.线性规划应用题建模的思路：一般以“资源产品收益”为主线;设元时将产品数量设为x、y,将收益多少设为z，资源数量为常数a、b、c等.这样z与x、y之间的关系就是目标函数;而x、y与a、b、c等之间的关系就是约束条件.,1.二元一次不等
17、式与半平面的对应关系，比如：二元一次不等式Ax+By+C0,当A0时表示直线l:Ax+By+C=0右侧的平面；当A0时，截距 取最大值时，z也取最大值；截距 取最小值时，z也取最小值；当b0时，截距 取最大值时，z取最小值；截距 取最小值时，z取最大值.,失误与防范,一、选择题 1.（2009福建文，9）在平面直角坐标系中,若不等式组 (a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 （ ）A.-5 B.1 C.2 D.3,定时检测,解析 由 得A(1，a+1),由 得B(1，0)，由 得C(0，1). ABC的面积为2，且a-1, SABC= |a+1|=2,a=3. 答案 D,2.(2
18、009安徽理,7)若不等式组 所表示 的平面区域被直线 分为面积相等的两部分，则k的值是 ( ),解析 不等式组表示的平面区域如图所示. 由于直线y=kx+ 过定点 因此只有直线过AB中点时, 直线y=kx+ 能平分平面区域. 因为A(1,1),B(0,4), 所以AB中点 答案 A,3.若实数x,y满足条件 目标函数z=2x-y, 则 （ ） A.zmax= B.zmax=-1C.zmax=2 D.zmin=0 解析 如图所示，当z=2x-y过 时,C,4.已知点P（x,y）满足 点Q(x,y)在 圆(x+2)2+(y+2)2=1上,则|PQ|的最大值与最小值为（ ） A.6,3 B.6,2
19、 C.5,3 D.5,2 解析 可行域如图阴影部分,设|PQ|=d，则由图中圆心C(-2,-2)到直线4x+3y-1=0的距离最小,则到点A距离最大.得A（-2，3）. dmax=|CA|+1=5+1=6，,B,5.（2009湖北理，8）在“家电下乡”活动中，某 厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 （ ）A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 800元,解析 设需甲型货车x辆，乙型货车y辆
20、，由题意知作出其可行域如图所示， 可知目标函数z=400x+300y在点A处取最小值，zmin=4004+3002=2 200(元). 答案 B,6.(2008海南、宁夏文,10)点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且x,y满足-14x-y7,则点P到坐标原点距离的取值范围是 （ ）A.0,5 B.0,10C.5,10 D.5,15解析 如图所示，可知直线4x+3y=0分别与直线x-y=-14,x-y=7的交点为P1(-6,8)，P2(3，-4)，易知|OP1|=10,|OP2|=5.故|OP|的取值范围为0，10.,B,二、填空题 7.（2009陕西文，14）设x,y满足约束条件则z=x+
21、2y的最小值是_,最大值是_.解析 如图所示，由题意得A（3，4）.由图可以看出，直线x+2y=z过点（1，0）时，zmin=1,过点(3,4)时,zmax=3+24=11.,1,11,8.（2009山东文,16）某公司租赁甲、乙两种设备 生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为_元.,解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，目标函数为z=200x+300y. 作出其可行域，易知当x=4
22、,y=5时，z=200x+300y有最 小值2 300元. 答案 2 300,9.已知实数x,y满足不等式组 目标函数 z=y-ax(aR).若取最大值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围是_.解析 如图所示，依题意直线x+y-4=0与x-y+2=0交于A(1,3),此时取最大值，故a1.,(1,+),三、解答题 10.若a0,b0,且当 时，恒有ax+by1, 求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.解 作出线性约束条件对应的可行域如图所示，,在此条件下，要使ax+by1恒成立,只要ax+by的最大 值不超过1即可. 令z=ax+by,则 因为a0,b0,此时对应的
23、可行域如图， 所以以a,b为坐标的点P（a,b）所形成的面积为1.,11.A、B两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨, 而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨，每千吨的运价如下表.怎样确定调运方案,使总的运费为最小？解 设从A到D运x千吨,则从B到D运(8-x)千吨;从A到E运y千吨,则从B到E运(6-y)千吨;从A到F运(12-x-y)千吨,从B到F运(x+y-6)千吨,则线性约束条件为线性目标函数为z=4x+5y+6(12-x-y)+5(8-x)+2(6-y)+ 4(x+y-6)=-3x+y+100, 作出可行域，可观察出目标函数在(8，0)点取到最小 值，即从A到D运8千吨，
24、从B到E运6千吨，从A到F运 4千吨，从B到F运2千吨，可使总的运费最少.,12.在R上可导的函数 当 x(0,1)时取得极大值,当x(1,2)时取得极小值, 求点(a,b)对应的区域的面积以及 的取值范围.解 函数f(x)的导数为f(x)=x2+ax+2b,当x(0,1)时,f(x)取得极大值,当x(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f(x)=x2+ax+2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到,在aOb平面内作出满足约束条件的 点(a,b)对应的区域为ABD(不包 括边界),如图阴影部分,其中点 A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), ABD的面积为(h为点A到a轴的距离). 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,返回,
