1、3-10 等价关系与等价类,要求：掌握等价关系的定义会证明等价关系 难点：等价类,一、等价关系 定义3-10.1：设R为集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的和传递的，则称R为等价关系。 aRb，称为a等价于b。由于R是对称的，a等价b即b等价a，反之亦然，a与b彼此等价。 例如，平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系。 鉴于空集合中的二元关系是等价关系，是一种平凡情形，因此，一般讨论非空集合上的等价关系。,例题1：设集合T=1，2，3，4，R=，。验证R是T上的等价关系。,模m等价是I（整数集合）或其子集上的等价关系，并且是一类重要的等价关系。定义：设m为一正整数而a，bI。若存在
2、m，使a-b=km，则称a与b是模m等价，记为ab(mod m)。如1与4是模3等价， 1与7是模3等价， 4与7是模3等价， 4与1是模3等价， 7与1是模3等价， 1与1是模3等价，定理：模m等价是任何集合AI上的等价关系。,例题2：设I是整数集，R=(a，b)|ab(modk)，a，bI，证明R是等价关系。 证明：设任意a，b，cI (1)因为a-a=k0，所以R，R是自反的。 (2)若R，ab(modk)，a-b=kt(t为整数)，则b-a=-kt，所以ba(modk)，R，R是对称的。 (3)若R，R，ab(modk)，bb(modk)，则a-b=kt，b-c=ks(t，s为整数)，
3、a-c=k(t+s)，所以ac(modk)，R，R是传递的。 因此R是等价关系。,二、等价类 1、定义3-10.2：设R为集合A上的等价关系，对任何aA，集合aR=x|xA，aRx称为元素a形成的R等价类。 显然，等价类aR非空，因为aaR。 例题3：设I是整数集，R是模3关系， 即R=(x，y)|xy(mod3)，x，yI，确定由I的元素所产生的等价类。 解：由I的元素所产生的等价类是 0R=，-6，-3，0，3，6， 1R=，-5，-2，1，4，7， 2R=，-4，-1，2，5，8，,例：A=52张扑克牌， R1=a与b同花，a，b是扑克， R2=a与b同点，a，b是扑克， 即R1是同花关
4、系， R2是同点关系，R1和R2都是等价关系。 R1把A分为四类同花类， R2把A分为13类同点类。例：A=0，1，2，3，4，5， R=，R把A分成了三个等价类： 0，1，2，3，4，5。,2、定理3-10.1：设给定集合A上的等价关系R，对于a，bA有aRb iff aR=bR。 证明：假定aR=bR，因为aaR，故abR，即aRb。 反之，若aRb，设caRaRcbRccbR 即aRbR 同理，若aRb，设cbRbRcaRccaR 即bRaR 由此证得若aRb，则aR=bR。,三、商集 1、定义3-10.3：集合A上的等价关系R，其等价类的集合aR|aA称为A关于R的商集，记作A/R。
5、如例题1中商集T/R=1R，2R，例题3中商集I/R=0R，1R，2R等价关系R把A的元素分为若干类，各类之间没有公共元素。确定的R是对集合A进行的一个划分。,2、定理3-10.2：集合A上的等价关系R，决定了A的一个划分，该划分就是商集A/R。,证明：设集合上有一个等价关系R， 把与的固定元有等价关系的元素放在一起作成一个子集aR，则所有这样的子集做成商集A/R。 在A/R=aR|aA中， 对于的每一个元素，由于是自反的，故必有aRa成立，即aaR，故A的每一个元素属于一个分块。 A的每一个元素只能属于一个分块。 反证 若abR, acR, bRcR，则bRa, cRa成立，由对称性知 aR
6、c成立，再由传递性得bRc，根据定理必有bR=cR，这与题设矛盾，故A/R是A上对应于R的一个划分。,3、定理3-10.3：集合A的一个划分，确定A的元素间的一个等价关系。 证明：若A已进行了划分S1, S2, , Sn，则构造二元关系R:R 当且仅当a 和b 在一个块中。a与a在同一分块中，故必有aRa，即R是自反的； 若a与b在同一分块，b与a也必在同一分块中，即aRb bRa，故R是对称的； 若a与b在同一分块中，b与c在同一分块中，因为SiSj= (ij)即b属于且仅属于一个分块中，故a与c在同一分块中，故有(aRb)(bRc) (aRc)即R是传递的。R满足上述三个条件，故R是等价关系，由R的定义可知，S就是A/R,例题4：设A=a，b，c，d，e，有一个划分S=a，b，c，d，e，试由划分S确定A上的一个等价关系R。 解：R1=a，ba，b=， R2=cc= R3=d，ed，e=， R=R1R2R3=，,4、定理3-10.4：设R1和R2为非空集合A上的等价关系，则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。,练习题,1.设R是集合A上的一个自反关系，证明：R是等价关系当且仅当若RR时，则R 。 2.设R是集合A上的一个传递和自反关系；T是A上的一个关系，使得T iff RR，证明T是一个等价关系。,作业,P134 （2）（5）（8）（9）,
