1、2006 年高考数学福建卷理科一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设 则复数 为实数的充要条件是,abcR()abicd（A） （ B） （C） （D）0d00acbd0adbc（2）在等差数列 中，已知 则 等于n123,1,456（A）40 （B）42 （C）43 （D）45（3）已知 则 等于3(,)si,25tan()（A） （B） （C） （D）177177（4）已知全集 且 则 等于,UR2|,|680,AxBx()UCAB（A） （ B） （C） （D）1,4)(2,3)(,31,4（5）已知正方
2、体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于（A） （B） （C） （D）22342343（6）在一个口袋中装有 5 个白球和 3 个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出 3 个球，至少摸到 2 个黑球的概率等于（A） （B） （C） （D）787928（7）对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是m,n（A）若 则 （B）若 则, m ,n n（C）若 则 （D）若 、 与 所成的角相等，则n m（8）函数 的反函数是2log(1)xy（A） （B）0x 2(0)1xy（C） （D）21()xy()x（9）已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于()sin(0)fx,342（A
3、） （B） （C）2 （D）323（10）已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支21(0,)xyab 60o有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A） （B） （C） （D）(1,2(,2)2,)(2,)（11）已知 点 C 在 。 设 ，则,3.0,OAOBA30o(,)OCmAnBR等于mn（A） （B）3 （C） （D） 133（12）对于直角坐标平面内的任意两点 ，定义它们之间的一种“距离”：12(,)(,)AxyB给出下列三个命题：2121.xy若点 C 在线段 AB 上，则 ;C在 中，若 则AB90,o222;ABA在 中， .B其中真
4、命题的个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3二填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在答题卡的相应位置。（13） 展开式中 的系数是（用数字作答） 。5()xx（14）已知直线 与抛物线 相切，则10y2yax_.（15）一个均匀小正方体的 6 个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数 1，一个面上标以数 2。将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是。（16）如图，连结 的各边中点得到一个新的 又连ABC1,ABC结 的各边中点得到 ，如此无限继续下1 2去，得到一系列三角形： ， ， ， ，12.这一系列三角形趋向于一个点 M。已知 (0,)
5、3,AB则点 M 的坐标是。(2,)C三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）已知函数 2 2()sin3sicos,.fxxxR xyA CB 1 A1C1 B2A2 C2 BO（I）求函数 的最小正周期和单调增区间；()fx（II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到？sin2()yxR（18） （本小题满分 12 分）如图，四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的 中点，2,2.CABDABD（I）求证： 平面 BCD；（II）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；（III ）求点
6、E 到平面 ACD 的距离。（19） （本小题满分 12 分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为：yx已知甲、乙两地相距 100 千米。318(012).280x（I）当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？（20） （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左焦点为 F，O 为坐标原点。21xy（I）求过点 O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程；l（II）设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，线段
7、 AB 的垂直平分线与 轴交于点 G，求点 G 横坐标的取值范围。x（21） （本小题满分 12 分）已知函数 2()8,()6ln.fgxm（I）求 在区间 上的最大值x1t();ht（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求,myfx()ygx出 的取值范围；若不存在，说明理由。m（22） （本小题满分 14 分）已知数列 满足na*11,2().naN（I）求数列 的通项公式；（II）若数列b n滿足 证明：数列b n是等差数列；121*4(),nnbbba（）证明： *231. .2naNCADBOExyl GABF O2006 年高考(福建卷)数学
8、理试题答案一选择题：本大题考查基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。（1）D （2）B （3）A （4）C （5）D （6）A（7）C （8）A （9）B （10）C （11）B （12）B二填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分满分 16 分。（13）10 （14） （15） （16）1492(,)3三解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分 12 分。解：（I） 1cos23()in(1cos2)xfxxxsi
9、s3n(2).6x的最小正周期()fx.T由题意得 22,6kxkZ即 ,.3的单调增区间为()fx,.36kk（II）方法一：先把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，再把所得图象上sin2y12sin(2)6yx所有的点向上平移 个单位长度，就得到 的图象。33sin()6yx方法二：把 图象上所有的点按向量 平移，就得到 的图象。sin2yx(,)12a 3sin(2)6yx（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。满分 12 分。方法一：（I）证明：连结 OC,.BODAOBDC在 中，
10、由已知可得AOC1,3.AOC而 2,2,即90oAOC.OC,BD平面（II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、ME、OE，由 E 为 BC 的中点知 ME AB,O DC直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角在 中，OE121,ABDC是直角 斜边 AC 上的中线，M1,2OMAC2cos,4OE异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2arcos.4（III）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 h,1.3EACDCDEVhSOS在 中， 2,A17().2ACDS而 23, ,4EO1. .72CDEASh点 E 到平面 ACD 的距离为 1.7
11、ABMDEOC方法二：（I）同方法一。（II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1,0)(,0)BD13(0,3),(0,)(,0),(,),3.2CAEBAC.cos, ,4CDB异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2arcos.4（III ）解：设平面 ACD 的法向量为 则(,)nxyz.(,).1,0),3nADxyzC,30.yz令 得 是平面 ACD 的一个法向量。1,(,13)n又 ,0,2EC点 E 到平面 ACD 的距离.31.7nh（19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分 12 分。解：（I）当
12、 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，40x102.54要耗没 （升） 。31(8)2.5728答：当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 17.5 升。（II）当速度为 千米/ 小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升，x 10x()hx依题意得 3 211085()8). (120,280 4hx2 (.6464x令 得()0,h8.x CABODyzE当 时， 是减函数；(0,8)x()0,()hx当 时， 是增函数。12当 时， 取到极小值x()x(8)1.25h因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值。()h0,答：当汽车以 80 千米/小时的速度匀速
13、行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。（20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力。满分 12 分。解：（I） 2,1,(10),:2.abcFlx圆过点 O、F ，圆心 M 在直线 上。x设 则圆半径1(,)2t3.r由 得,OM21(),t解得 .t所求圆的方程为2219()().4xy（II）设直线 AB 的方程为 0,kx代入 整理得21,xy22().k直线 AB 过椭圆的左焦点 F， 方程有两个不等实根。记 中点12(,)(,)AxBA0(,)Nxy则 1224,k的垂直平分线 NG 的方程为AB00
14、1().yxk令 得0,yxyl GABF O2220 21.14,0,GGkkxy kkx点 G 横坐标的取值范围为 (,).2（21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分 12 分。解：（I） 22()8(4)16.fxx当 即 时， 在 上单调递增，14,t3tf,t22()(1)()7;hf t当 即 时，,t4t(416htf当 时， 在 上单调递减，4()fx,28.htt综上， 267,3()1,4,8ttt （II）函数 的图象与 的图象
15、有且只有三个不同的交点，即函数()yfx()ygx的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。()xg2286ln,86(1)3() (0),xmxx当 时， 是增函数；0,1x()0,()当 时， 是减函数；(3)x当 时， 是增函数；,x(),()当 或 时，10.x()()7,()(3)6ln15.xmm最 大 值 最 小 值当 充分接近 0 时， 当 充分大时，,x()0.x要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()x即70,()6ln315,m最 大 值最 小 值 7156ln3.m所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点， 的取值范围为()yfx()
16、gm(7,156ln3).（22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分 14分。（I）解： *12(),naN1(),n是以 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna即 *().N（II）证法一： 1214().nnkkka12(.)4.nnk.,nbb1211()().n nb，得 1,n即 ()0,nb21()2.n，得 ,nb即 210,nnb*(),N是等差数列。n证法二：同证法一，得1()20nb令 得1,n2.b设 下面用数学归纳法证明 2(),dR2(1).nbd（1）当 时，等式成立。,（2）假设当 时， 那么(2)nk(1),kbd1 2(1).1kkb kdk这就是说，当 时，等式也成立。根据（1）和（2） ，可知 对任何 都成立。2(1)nbd*nN是等差数列。,nbd（III ）证明： 1,12,.2()kkkan1231.naa1111.,2,.2()3.23kkkkk na12 231. .)(),n nna*231.().nnN
