1、,第二节,二、反函数的求导法则,三、复合函数求导法则,四、初等函数的求导问题,一、四则运算求导法则,下页 返回 结束,函数的求导法则,第二章,思路:,( 构造性定义 ),求导法则,其它基本初等函数求导公式,证明中利用了 两个重要极限,初等函数求导问题,本节内容,上页 下页 返回 结束,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,为 0的点外) 都在点 x 可导,且,上页 下页 返回 结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设, 则,故结论成立.,例如,上页 下页 返回 结束,(2),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),上页 下页 返回 结束,补例
2、.,解:,上页 下页 返回 结束,(3),证: 设,则有,故结论成立.,推论:,( C为常数 ),上页 下页 返回 结束,例4. 求证,证:,类似可证:,上页 下页 返回 结束,二、反函数的求导法则,定理2.,y 的某邻域内单调可导,证:,在 x 处给增量,由反函数的单调性知,且由反函数的连续性知,因此,上页 下页 返回 结束,例3. 求反三角函数及指数函数的导数.,解: 1) 设,则,类似可求得,利用, 则,上页 下页 返回 结束,2) 设,则,小结:,上页 下页 返回 结束,在点 x 可导,三、复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点 x 可导,证:,在点 u 可导,故,
3、（当 时 ),故有,上页 下页 返回 结束,例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,上页 下页 返回 结束,补例. 求下列导数:,解: (1),(2),(3),说明: 类似可得,上页 下页 返回 结束,补例,解,例14,解,上页 下页 返回 结束,例13. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,上页 下页 返回 结束,补例. 设,解:,记,则,(反双曲正弦),其它反双曲函数的导数见 P94例16.,的反函数,上页 下页 返回 结束,补例,解,上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数 (
4、P94),上页 下页 返回 结束,2. 有限次四则运算的求导法则,( C为常数 ),3. 复合函数求导法则,4. 初等函数在定义区间内可导,由定义证 ,说明: 最基本的公式,其它公式,用求导法则推出.,且导数仍为初等函数,上页 下页 返回 结束,补例.,求,解:,补例.,设,解:,求,上页 下页 返回 结束,补例.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,上页 下页 返回 结束,补例. 设,求,解:,上页 下页 返回 结束,解:,补例.设,求,上页 下页 返回 结束,内容小结,求导公式及求导法则 (见 P94),注意: 1),2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .,上页 下页 返回 结束,1. 设,解：,2 . 设,解:,求,上页 下页 返回 结束,思考与练习,上页 下页 返回 结束,正确地选择是（3）,例,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处可导，,3.,4.,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,上页 下页 返回 结束,5. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,上页 下页 返回 结束,作业：,P97. 练习：2 (9); 3(2); 7(10); 10(2);,8 (4), (6), (9); 11.(5)-(10),上页 下页 返回 结束,
