1、,一、离散型随机变量的分布律,第二章,三、内容小结,二、常见离散型随机变量的概率分布,第一节 离散型随机变量 及其分布律 (2),一、离散型随机变量的分布律,1.定义,分布律可记为：,或记为,其中,注.,1 分布律中的 pk 必须满足：,2 若X 是离散型随机变量，则其分布函数为：,例1,解,由,得,2. 离散型随机变量分布律与分布函数及 事件概率的关系,(1) 若已知 X 的分布律：,则X的分布函数：,事件 a X b的概率：,(2) 若已知 X的分布函数F(x)，则X的分布律：,或,注 1,离散型随机变量X的分布函数F(x)是阶梯函数，x1, x2,是F(x)的第一类间断点, 而X在xk（
2、k=1,2, ）处的概率就是F(x)在这些间断点处的跃度.,2,例2,一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的，3个新的，从中任取2个，求取得的新球个数X的分布律与分布函数，并计算：,解,X= 取得的新球个数 ，其分布律为,或,X的分布函数为,0.1,0.1 + 0.6,0.1 + 0.6 + 0.3,0.7,1,0.1,0.7,1,方法1.,方法2.,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,2.两点分布,1.退化分布,若随机变量X取常数值C的概率为1,即,则称X服从退化分布.,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量 X 服从 (0-
3、1) 分布.,则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为XB(1,p),实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0-1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明,3.均匀分布,如果随机变量 X 的分布律为,实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,称这样的分布为二项分布.记为,4.二项分布,若X的分布律为:,或为:,例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击
4、中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.,解,因此,例3,泊松资料,5. 泊松分布,泊松分布的背景及应用,二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.,地震,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,火山爆发,特大洪水,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,在生物学、医学、工业统计、保险科学及
5、公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,泊松分布与二项分布的关系,泊松定理,设,Xn B(n ,pn ) (n=1,2,),证,注.,1,很小,有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设 每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少?,故所求概率为,例4,可利用泊松定理计算,在保险公司里有2500名同龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人的死亡的概率为0.002, 每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死
6、亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金. 求：,(1) 保险公司亏本的概率；,(2) 保险公司获利不少于20000元的概率.,解,(1) 以“年”为单位，在1年的1月1日，保险,公司的总收入为：,例5,保险公司在这一年中，应付出：,2000X (元),设 A=保险公司亏本，则,(2) 保险公司获利不少于20000元的概率.,B,即 保险公司获利不少于20000元的概率接近于62%.,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是
7、一个随机变量 , 求X 的分布律.,6. 几何分布,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,7.超几何分布,设X的分布律为,超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.,说明,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,三、内容小结,超几何分布,退化分布,几类常见的离散型分布,退化分布,(单点分布),必然事件,两点分布,(或 01分布),X B(1,p),贝努里概型,(0p1),离散型均匀分布,古典概型,二项分布,X B(n ,p),n重贝努里概型,泊松分布,X P(),(0),(0p1),稀有事件,几何分布,在n重独立试验中，A首次发生的试验次数为X.,超几何分布,设N件产品中有M件次品，从中任取n件，其中的次品数为X.,Jacob Bernoulli,Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France,Simon Poisson,
