1、1,正项级数及其审敛法,交错级数及其审敛法,绝对收敛与条件收敛,第二节 常数项级数的审敛法,2,1. 定义,正项级数,2. 充要条件,单调增加数列,这时,部分和数列只可能有两种情形:,一、正项级数及其审敛法,正项级数的部分和数列,3,定理1(基本定理),一般的级数，部分和数列存在极限，才可以保证级数的收敛性.,对于正项级数，只要部分和数列有界，就可以保证级数收敛,正项级数收敛,部分和所成的数列,有界.,上述充要条件，仅仅对正项级数成立！,发散的级数，部分和数列没有极限,发散的正项级数，部分和数列一定趋于无穷大,4,例 判定 的敛散性.,解,由定理1知,故级数的部分和,可与另一个已知敛散性的正项
2、级数比较来确定.,该正项级数收敛.,启示:,判定一个正项级数的敛散性,由于,5,3. 比较审敛法,证,定理2,即部分和数列有界.,则,收敛,收敛,发散,发散,收敛,6,不是有界数列,发散,发散,发散,证,7,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,推论,(发散),收敛,收敛,(发散),均为正项级数，则,因为级数的每一项乘以非零的数，或者去掉有限项不会影响到级数的敛散性，则有：,8,解,(1),(2),用比较审敛法,发散.,例,讨论,的收敛性.,9,收敛.,常用！,10,(1) 几何级数,使用正项级数的比较判定法时,常用的比较级数：,一些级数的敛散性,作为比较的标准.,需要知道,(2) p-级数,(
3、3) 调和级数,发散,11,例 讨论下列正项级数的敛散性.,解 (1),而等比级数 收敛.,原级数收敛.,由比较审敛法,12,解,因为,是发散的p-级数.,原级数,发散.,由比较审敛法,13,4.比较审敛法的极限形式,定理3,14,证,由比较审敛法的推论, 得证.,(2)和(3)的证明作为课下练习,15,问题,如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。,16,解,发散,例 判定下列级数的敛散性,表明两级数,?,敛散性相同，,17,定理6,5. 极限审敛法,证,(1)在上述结论(2)(3)中令,(2)在
4、上述结论(1)中令,极限审敛 法实质是以p级数为比较级数的比较审敛法。在使用比较审敛法时，只要记住比较审敛法比较的通项趋于零的速度。,如果通项趋于零较慢的级数收敛，则较快的也收敛；如果通项趋于零较快的级数发散，则较慢的也发散；如果通项趋于零的速度一样，则级数敛散性相同。,18,解,例 判定敛散性,原级数收敛,19,解,例 判定敛散性,原级数收敛,20,证明请参阅教材。,定理4,6.比值审敛法(达朗贝尔 判定法),收敛,发散,方法失效,21,2. 若用比值判别法判定级数发散,3. 一旦出现=1,要用其它方法判定.,级数的通项un不趋于零.,或 不存在时,1. 适用于,的连乘形式.,如,4. 比值
5、判别法的优点：不用找参考级数。,22,解,例 判定下列级数的敛散性,23,比值审敛法失效,解,改用比较极限审敛法,24,例 证明级数,并估计以级数的部分和sn近似代替和s,解,以级数的部分和sn近似代替和s,是收敛的,所产生的误差.,所产生的误差为:,25,26,定理5,7. 根值审敛法 (柯西判别法),收敛,发散,方法失效,27,2. 时，此判别法失效只能改用其它方法.,级数收敛.,1. 适用于通项以n为指数幂的级数。,28,判定 的敛散性.,解,根据根值审敛法，级数收敛.,因为,例,29,正、负项相间的级数称为,定义,交错级数.,定理6,(莱布尼茨定理),二、交错级数及其审敛法,30,证,
6、由条件(1):,分析,31,满足收敛的两个条件,证毕.,也是一个交错级数.,由条件(2):,32,例,判别级数,的收敛性.,解,此级数为,交错级数，,而且,所以原级数收敛，,且其和,若用其前n项来近似s，误差为,注意,33,解,原级数收敛.,此级数为,例,判别级数,的收敛性.,交错级数.,34,任意项级数,定义,定义,可正,可负,可0.,绝对收敛.,条件收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,明显，,对任意项级数,必为正项级数,比如,绝对收敛.,条件收敛.,35,证,绝对收敛与收敛,因为级数,正,定理8,收敛.,显然,比较审敛法,有以下重要关系,36,注1,证明过程中引进了如下级数,由于,这个级数就是
7、原级数中的全体正项形成的级数，,定理的证明过程表明,是收敛的,同样可以引进以下级数,请分析此级数和原级数的关系！,37,由于,原级数中的全体负项的绝对值形成的级数！,同样由于,是绝对收敛的，且,所以,也是收敛的正项级数,用绝对收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是收敛的（正项）级数.,问题：如果用条件收敛的级数构造如上的级数呢？,38,问题：如果用条件收敛的级数构造如上的级数呢？,条件收敛，即,敛散性如何？,用条件收敛级数的全部正项或者全部的负项的相反数形成的新级数一定是发散的（正项）级数.,39,注2,定理8的逆命题不成立. 一般,或者说,但是，若由比值或者根值审敛法断定
8、,则可以保证,40,证明：,比值或者根值审敛法断定,是因为,明显，如果,必有,所以，必有,41,注3,因为绝对收敛必收敛，所以很多任意项级数的收敛性问题，就转化为正项级数的收敛性问题.,即：对某一个任意项级数，如果对通项取绝对值得到的新级数收敛（正项级数），则原级数必收敛，而且是绝对收敛。,42,解,故原级数,例,判别级数,的敛散性.,任意项级数,收敛,绝对收敛.,43,解,故,根据根值审敛法,所以,所以原级数发散,44,例,解,(1),所以原级数,收敛.,绝对收敛.,是条件收敛还是绝对收敛.,是等比级数,判定下列级数的敛散性,对收敛级数要指明,45,解,因为,又,(2),由正项级数的比值判别
9、法知,从而级数(2),由于使用的是比值判别法而判定的级数(2),因此,级数,发散,不绝对收敛.,不绝对收敛,发散.,级数(2)是,断定,46,通常先考查它,若使用比值法或,根值法判定级数不绝对收敛(这时级数的通项不趋于零),对交错级数,如不是绝,对收敛的,再看它是否条件收敛.,便可断言级数发散.,可用,莱布尼茨定理.,(用正项级数的审敛法),讨论任意项级数的收敛性时,是否绝对收敛,47,例,48,例,49,正项级数敛散性判定,小结,1.,2.,比值、根值法;,3.,4.,充要条件,5.,按基本性质,5.,?,比较审敛法,发散;,50,任意项级数敛散法的判定,3. 交错级数(莱布尼茨定理),1.,?,发散,2. 绝对收敛,4. 按基本性质,5.,51,判断,正确,由比较审敛法知,收敛.,错误,例如,收敛,发散.,(1),(2),
