1、1.6值域、核与不变子空间,一、定义和若干性质定义 1.2.1 (P.23)线性变换的象空间和零空间设线性映射T：VU，值域 R(T)=： V ，=T()U核空间 N（T）=： V，T ( ) =0 定理1.10 N(T), R(T)分别是V,U的子空间基于以上原因，所以T值域又称为T的象子空间，的核子空间又称为的零子空间.,定义1.14 设T是线性空间V上的线性变换，R(T)的维数 称为T的秩，记为rankT；而N(T)的维数称为T的零度或亏度， 记为nullT. T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T） 定理1.11 设T是n维线性空间V上的线性变换，且T在V的一组 基
2、下的矩阵是A，则 （1）T的值域R(T)是 生成的子空间，即（2）T的秩 =r(A).,例1.35 由例1.31知R3上的投影变换f:(a,b,c)(a,b,0)，在自然基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩阵为由定理1.11知的T秩 =2. 事实上，由例1.34知：R3上的投影变换f的值域就是xoy平面.,定理1.12设V,U分别是数域P上的n维和m维线性空间， T:VU的线性映射，则 Dim R(T)+dim N(T)=n,设A,为,阶矩阵，称,为矩阵,A的值域；,为A的核,。,、,称为,的秩和零度。,（2）,推论,（3）,，,n为A的列数。,（1）,（2
3、）,例1.36 设 在R22上的线性变换定义为求T的值域R(T)及核子空间N(T)基与维数，并问R(T)+N(T)是否是直和？,=,定理1.13 设V,U是有限维线性空间,线性变换T:VU则T是单射当且仅当N（T）=0 ;T是满射当且仅当R(T)=U.,定理1.14 设V是n维线性空间,线性变换T：VV则以下条件等价： （1） T是单射； （2） T是满射； （3） T是双射。,二、R上线性方程组求解理论,设,把A看成RnRm的线性映射,x Rn,xy=Ax Rm,A=(1, 2, n),则有,定理1.15,(1)R(A)=Span,1, 2, n,;,(2) dimR(A)=r(A),其中r
4、(A)是A的秩.,我们利用线性映射中零空间与值域的概念，来讨论,线性方程组的求解问题,定理1.16,设,则,（1）线性方程组,有解当且仅当,（2）线性方程组,有唯一解当且仅当,（3）线性方程组,有无穷多解当且仅当,推论 在上面的定理中，取b=0,则有,（1）线性方程组,必有解；,（2）线性方程组,只有零解当且仅当,（3）线性方程组,有无穷多解当且仅当,关于矩阵秩的有关结论,定理1.17,设ARmn,BRnl,则,（1）r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B),（2）r(AB)=r(A)-dimN(BT)R(AT),证明：我们定义线性映射C ：R(B)R(A),xy=Ax R(A),则N(C
5、)=R(B)N(A),R(C)=R(AB).,事实上，若x R(B)且Ax=0,则x R(B) N(A),从而N(C)R(B)N(A),反之若x R(B) N(A),则 x R(B)且x N(A),所以Ax=0,从而xN(A),故,N(C)R(B)N(A),于是N(C)R(B)N(A)。,又 R(C)=A(R(B)=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB),由维数公式知 dimR(B)= dimR(C)+dimN(C)=dimR(AB)+ dimN(A)R(B),也即r(AB)=r(B)-dimN(A)R(B)。,又由r(BTAT)=r(AB)以及r(B)=r(BT)知,r(AB)=r(A)-
6、dimN(BT)R(AT)成立。,推论 Sylverster不等式：,minr(A),r(B)r(AB)r(A)+r(B)-n,其中，n是矩阵A的列数。,证明：左边显然成立。对于右边，由于dimR(B)N(A) dimN(A),利用上面的定理则有R(AB)=r(B)- dimR(B)N(A)r(B)-dimN(A)=r(B)-n-r(A)=r(B)+r(A)-n.,定理1.18 设ARnn,则下列条件等价,1） N(A)=N(A2);,2） dimN(A)=dimN(A2);,3） r(A)=r(A2);,4） R(A)=R(A2);,5） N(A)R(A)=0;,6） Rn=N(AR(A);
7、,7）,其中P是n阶可逆矩阵，D的r阶可逆矩阵，r=r(A).,8） A=QA2.,定理1.19 设A Rnn,则以下条件等价：,1）A2=A;,2）R(A+I)=N(A-I)以及R(AI)=N(AI)；3） r(A+I)+r(A-I)=n;4) Rn=N(A+I)+N(A-I).,例1.37 平面上全体向量，对如下定义的加法和数乘则R2按照上述定义不构成R上的线性空间。,例38设 记求证L(A)为R22的线性子空间，并求dimL(A).,例1.39 设有R3的两个子空间：分别求子空间W1+W2，W1 W2的基与维数.,例1. 40 设W1,W2分别是齐次线性方程组与的解空间，试证明Rn=W1W2.,
