1、,1.3.2 极大值与极小值,（5）对数函数的导数:,（4）指数函数的导数:,（3）三角函数 ：,（1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)；,（2）幂函数 ： (xn)/ nxn1,1.基本初等函数的导数公式,知 识 回 顾,2.导数的四则运算法则,（1）函数的和或差的导数(uv)/u/v/.,（3）函数的商的导数（ ） / = (v0)。,（2）函数的积的导数(uv)/u/v+v/u.,3. 复合函数的求导法则：,再乘以中间变量对自变量求导,复合函数的导数等于外函数对中间变量求导,（1）一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间如果f(x)0,如果f(x)0,则f(x)为
2、增函数.,则f(x)为减函数.,4.单调性与导数的关系：,如果f (x)=0， 则f(x)为常数函数.,（2）用导数法确定函数的单调区间的步骤：(1) 求函数的定义域 （2）求出函数的导函数 （3）求解不等式f (x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间求解不等式f(x)0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间,注、单调区间不 以“并集”出现.,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?两侧导数值符号有什么规律？,观察图像
3、：,一、(现高中）函数的极值定义,使函数取得极值的点x0称为极值点,（1）如图是函数 的图象,试找出函数的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？,随堂练习,答：,1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。,2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。,注意：,（1）在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y).,注意：,（2）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,极值只是某
4、个点 的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小,并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小.,注意：,（3）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；,（4）极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.,注意：,注意：,（5）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.,极值与导数之间的关系：,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？,f (x)0,x1,在极大值点附近
5、,在极小值点附近,f (x)0,f (x)0,f (x)0,二、判断函数极值的方法,x2,左正右负为极大，左负右正为极小,探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?,可导函数导数为0的点一定是函数的极值点吗?,f(x)=3x2 当f(x)=0时，x =0，而x =0不是该函数的极值点.,f(x0) =0 x0 是可导函数f(x)的极值点,注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件,探究,温馨提示,注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
6、,例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 。 可导函数必有极值； 函数在极值点必有定义； 函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）； 函数的极小值（或极大值）不会多于一个。,题型一、对函数极值的理解,练习1： 下列结论中正确的是（ ）。A、导数为零的点一定是极值点。B、如果在x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极大值。、极大值一定大于极小值。,B,2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减
7、,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值,D,求可到函数极值的步骤：,题型二、求函数的极值,下面分两种情况讨论:（1）当 ，即x2,或x-2时;,（2）当 ，即-2 x2时.,例2：求函数 的极值.,解:,当x变化时， 的变化情况如下表：,令,解得x=2,或x=-2.,例2：求函数 的极值.,当x=-2时, f(x)的极大值为,当x=2时, f(x)的极小值为,求可导函数f(x)极值的 步骤：,如果左负右正（- +），那么f(x)在这个根处取得极小值；,(1) 确定函数的定义域；,(最好通过列表法),(2)求导数 ；,(3)求方程 的根；,检查 在方程 根左右的符号来
8、判断f(x)在这个根处取极值的情况 如果左正右负（+ -），那么f(x)在这个根处取得极大值；,(4)把定义域按方程 的根依次划分为若干个区间，并列成表格,巩固练习：,求函数 的极值,当 时, 有极大值，并且极大值为,当 时, 有极小值，并且极小值为,解: 令 ，得 ，或下面分两种情况讨论： （1）当 ，即 时； （2）当 ，即 ，或 时。 当 变化时， 的变化情况如下表：,例3 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。,解：定义域为R， y=6x(x2-1)2。,由y=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1,当x变化时，y , y的变化情况如下表：,因此，当x=0时， y极小值=0,点评：
9、一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。,题型三、由函数的极值求参数的范围,例4：已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析式（2）求函数 的单调区间,解：（1） 在 取得极值,即 解得（2） ， 由 得 的单调增区间为由 得的单调减区间为,函数 在 时有极值10，则a，b的值为（ ） A、 或 B、 或 C、 D、 以上都不对,C,，,注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件,注意代入检验,随堂练习,例3,例3,A,注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别,随堂练习,.,略解：,(1)由图像可知：,(2),注意：数形结合以及函数与方程思想的应用,随堂练习,1、 求函数
10、 的极值,解 因为,令,得,列表讨论,所以，函数有极大值 ，有极小值 。,一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。,作业,a=2.,分析：f(x)在 处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知， 可求出a的值.,解：, ，,4:函数 在 处具有极值，求a的值,5:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处 有极值，求a、b的值,解：,因为在x=1和x=2处,导数为0,暂停,课堂小结,(1)确定函数的定义域(2)求导数f(x)(3)求方程f(x) =0的全部解(4)检查f(x)在f(x) =0的根左.右两边值的符号,如果左正右负(或左负右正),那么f(x)在这个根取得极大值或极小值,3、利用导数求函数的极值的方法,
