1、1,弹性力学 (第7讲),武汉理工大学工程结构与力学系 翟鹏程 ,2,两类平面问题及其特征,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿板厚不变化。,体力、面力的作用面都平行于xoy平面，且沿 z 向不变化。,z 方向的尺寸远小于板面内的尺寸（等厚度薄平板）,z 方向的尺寸远大于xoy平面内的尺寸（等截面长柱体）,3,平面问题的基本方程,1. 平衡微分方程,2. 几何方程,3. 物理方程,（平面应力问题）,4. 边界条件,4,弹性力学问题的求解方法,（1）按位移求解（位移法、刚度法）,以u、v 为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v 表示，并求出u、v ，再由几何方程、物理方程求出应力
2、与形变分量。,（2）按应力求解（力法，柔度法）,以应力分量 为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量 ，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。,（3）混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,5,一、按位移求解平面问题,6,按位移求解平面问题的基本方程,（1）将平衡方程用位移表示,由应变表示的物理方程,将几何方程代入，有,将式(a)代入平衡方程，化简有,7,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,8,按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程：,（2）边界条件：,位移边界条件：,应力边界条件：
3、,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,9,二、按应力求解平面问题,10,按应力求解平面问题,按应力求解平面问题的未知函数：,平衡微分方程：,2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。,需寻求补充方程，,从形变、形,变与应力的关系建立补充方程。,11,相容方程(变形协调方程),几何方程：, 形变协调方程（或相容方程）,即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。,12,例：,其中：C为常数。,由几何方程得：,积分得：,由几何方程的第三式得：,显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的
4、解。, 形变协调方程（或相容方程）,不满足！,13,变形协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,利用平衡方程将化简：,14,将 上式整理得：,15,（2）平面应变情形,将 上式中的泊松比代为： ， 得,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,16,常体力情况下的简化,常体力下平面问题的相容方程,令：, 拉普拉斯（Laplace）算子,则相容方程可表示为：, 平面应力情形, 平面应变情形,当体力 X、Y 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,或,（2-25）,17,例,下面给出平面应力问题（单连通域）的应变场，试判断它们是否为可能的应变场（不计体力）。,解,将各应变分量代入应变表示的相容方程：
5、,所给应变分量满足相容方程，是可能的应变分量。,18,例,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场，试判断它们是否为可能的应力场（不计体力）。,解,（1）,将式（a）代入平衡方程：, 满足,将式（a）代入相容方程：, 所给应力分量不是一组可能的应力场。,19,按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（2-23）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）对位移边界问题，不易按应力求解。,（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。,（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。,20,例,图示矩形
6、截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,21,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满足边界条件？, 满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,22,三、应力函数 逆解法与半逆解法,（常体力情况）,23,常体力下问题的基本方程：,边界条件、位移单值条件。,(a),(b),
7、式(a)为非齐次方程，其解：,全解 = 齐次方程通解,平衡微分方程解的形式,(1) 特解,常体力下特解形式：,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(2) 通解,式(a) 的齐次方程：,(c),(d),的通解。,24,(2) 通解,式(a) 的齐次方程：,(d),的通解。,将式(d)第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,(e),(f),同理，将式(d)第二式改写为,(g),(h),比较式( f )与(h)，有,由微分方程理论，必存在一函数 j(x,y)，使得,(i),(j),将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解,也必存在一函数 B(x,
8、y)，使得,25,对应于式（a）齐次方程通解。,(3) 全解,取特解为：,则其全解为：,(2-26), 常体力下平衡方程（a）的全解。,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。,(x,y) 平面问题的应力函数, Airy 应力函数,26,相容方程的应力函数表示,将式（2-26）代入常体力下的相容方程：,(2-25),有：,注意到体力 X、 Y 为常量，有,将上式展开，有,(2-27), 应力函数表示的相容方程,给出了应力函数满足的条件。,27,式（2-27）可简记为：,或：,式中：,满足方程(2-27)的函数(x,y) 称为重调和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数应
9、为一重调和函数,28,按应力求解平面问题（X = 常量、Y = 常量）的归结为：,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量：,先由方程（2-27）求出应力函数：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,(2-28),（无体力情形）,29,应力函数 j (x,y)求解方法,（1）,逆解法,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设各种满足相容方程（2-27）的(x,y) 的形式；,（2）, 主要适用于简单边界条件的问题。,然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）；,（3）,再利用应力边界条件
10、式（2-18），来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。,（1）,根据问题的条件,（几何形状、受力特点、边界条件等），,假设部分应力分量 的某种函数形式 ；,（2）,根据 与应力函数(x,y)的关系及 ，求出(x,y) 的形式；,（3）,最后利用式（2-26）计算出 并让其满足边界条件和位移单值条件。, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。,30,四、边界条件,31,平面应力问题,上下面：,自然成立,侧面：,第三式自然成立,32,例1,如图所示，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x = 0 的
11、边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,t,33,q,当边界面为坐标面时，应力边界条件是：该面上各应力分量的边界值等于相应方向的面力分量，同向为正。,t,34,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,x=h：,代入应力边界条件公式,x=-h：,代入应力边界条件公式，有,y=0：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,35,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,y=0：,36,（1）,（2）,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,补充题,1.,习题：,2-1，2-3。,2.,试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,作 业,37,位移单值,单连通体：,空间中包围任意一点的任意封闭曲面均可连续收缩至该点。,位移单值：,在给定的边界条件下，给定弹性体中所有点有且只有一个确定的位移值。,=多值函数,38,
