1、14-3 利用旋转的思想解决其他问题旋转使得几何元素的位置发生变化，往往伴随着边与角的重新组合，其中涉及勾股定理的逆定理、角度加减及线段的最大值最小值问等题。1、关于旋转的思考掌握数学思想方法可从两个方面入手，一是归纳重要的数学思想方法。二是归纳重要题型的解题方法。在旋转这部分，需要掌握两个图形，很多中考题、中考模拟题都是从这两个图形演变过来的。扩展：共顶点的顶角相等的等腰三角形形成旋转全等如图：在ABC 和ADE 中，AB=AC,AD=AE，BAC= DAE，则ABDACE例 1:等边ABC，P 是ABC 形内一点，连结 PA、PB、PC ，以点 A 为旋转中心，将ABP 逆时针旋转 60
2、度，可以得到APD 为等边三角形，可以将 PA、PB 、PC 三边组成一个新三角形PCD,已知 PA、 PB、PC 的长可以求出APB、 APC、BPC当 P 点的位置发生变化时（点 P 在ABC 的外部）当变换背景为等腰直角三角形或正方形时2、旋转与角的加减、勾股定理逆定理问题旋转伴随的几何元素的位置的变化会使得这些元素重新组合，会产生新的角或者新的多边形。例 1(1997 年安徽省初中数学竞赛题)在等腰 的斜边 上取两点 、 ，使RtABCMN，记 ， ， ，则以 、 、 为边长的三角形的形状是45MCNAmMNxnxmn_。A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 、 、 的变化而变
3、化M NCBAMDNCBA例 2(通州区 2009 一模第 25 题)请阅读下列材料：已知：如图 1 在 中， ， ，点 、 分别为线段RtC90BCE上两动点，若 探究线段 、 、 三条线段之间的数量关BC45DED系小明的思路是：把 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连结 ，AAD使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题： 猜想 、 、 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； 当动点 在线段 上，动点 运动在线段 延长线上时，如图 2，其它条EBCDCB件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明图1AB CD E图2AB CD EFED CBAEED CB
4、A课堂练习：(北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示， 是边长为 的AB1正三角形， 是顶角为 的等腰三角形，以 为顶点作一个 的 ，点 、C120 60MDN分别在 、 上，求 的周长_。NAAMNP DCBANMDCBANMEDCBA如图所示， 为正方形 内一点，若 ， ， .PAPAa2B3(0)Pa求： 的度数； 正方形的边长 .三、平移旋转例 1（2009 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E是边 BC 的中点 ，且 EF 交正方形外角 的平分线 CF 于点 F，求证：90EF CGAE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路
5、：取 AB 的中点 M，连接 ME，则AM=EC，易证 ，所以 AMC AEF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除B，C 外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论 “AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点 E 是 BC 的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由A DFC GEB图 1A DFC GEB图 2A
6、DFC GEB图 3关于几何变换的辅助线表述问题：在严格证明的问题中不能只说“平移” 、 “翻折” 、 “旋转” ，要说明作辅助线的具体内容：“过某点作 ”；“延长到点，连接” ；“在上截取= ，连接” ；“作= ，在截取=，连接”.图2图1A PPA ABCBC四、线段最大值最小值、角的度数与旋转22. （本题满分 4 分）阅读下面材料：阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图 1，在ABC（其中 BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以 BC 为边在 BC 的下方作等边PBC，求 AP 的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B 为旋
7、转中心将ABP 逆时针旋转 60得到A BC,连接 A,当点 A 落在 C上时,此题可解（如图 2） 请你回答：AP 的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC边 AB=4,P 为ABC 内部一点， 则 AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）22. 阅读下列材料：问题：如图 1，在正方形 ABCD 内有一点 P，PA= ，PB= ，PC=1，求BPC52的度数小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到了BPA（如图 2） ，然后连结PP请你参考小明同学的思路，
8、解决下列问题：(1) 图 2 中BPC 的度数为 ；(2) 如图 3，若在正六边形 ABCDEF 内有一点 P，且 PA= ，PB=4，PC=2，则132BPC 的度数为 ，正六边形 ABCDEF 的边长为 图3 CBP作业（2007 广州）已知 Rt ABC 中，AB=AC ，在 RtADE 中，AD=DE ，连结 EC，取EC 中点 M，连结 DM 和 BM，（1）若点 D 在边 AC 上，点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合，如图，求证：BM=DM且 BMDM ；（2）如图中的ADE 绕点 A 逆时针转小于 45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成
9、立，请给予证明。（2011 朝阳一模）25已知：ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，点 M 是 CE 的中点，连接 BM.（1）如图，点 D 在 AB 上，连接 DM，并延长 DM 交 BC 于点 N，可探究得出 BD与 BM 的数量关系为 ；（2）如图，点 D 不在 AB 上， （1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由.NMDECABMECBAD（丰台 12）24已知：ABC 和ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结 EC，取 EC 的中点 M，联结 BM 和 DM（1）如图 1，如果点 D、E 分别在边 AC、AB 上，那么 BM、DM 的数量关系与位置关系是 ； （2）将图 1 中的ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 图 图DCBAEM MEA B CD（密云）24已知：正方形 中， ，绕点 顺时针旋转，它的两边分ABCD45MNA别交 CB、 DC（或它们的延长线）于点 M、 N （1）如图 1，当 绕点 旋转到 时，有 当NBDNM绕点 旋转到 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如M果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（2）当 绕点 旋转到如图 3 的位置时，线段 和 之间有怎样的等A，量关系？请写出你的猜想，并证明
