1、1,第1章 数学语言与证明方法,2,第1章 数学语言与证明方法,1.1 逻辑符号 1.2 集合及其运算 1.3 证明方法概述,3,1.1 逻辑符号,命题与真值 联结词(, ,) 命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) 重要等值式 重要推理规则 个体,个体域与谓词 全称量词与存在量词,4,联结词,真值:真, 假 或 1, 0 命题:具有确定真值的陈述句, 通常用p,q,r等表示 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.否定联结词 否定式p: 非p (p的否定)p 为真当且仅当p为假,5,联结词(续),合取联结
2、词 合取式pq:p并且q (p与q)pq为真当且仅当p与q同时为真 析取联结词 析取式pq: p或qpq为假当且仅当p与q同时为假 排斥或联结词 排斥或p q: p并且非q, 或者q并且非pp q为真当且仅当p与q中一个为真,另一个为假,6,联结词(续),蕴涵联结词 蕴涵式pq:如果p,则qpq为假当且仅当 p 为真 q 为假等价联结词 等价式pq:p当且仅当qpq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假,7,实例,设p:2是偶数, q:1+1=3, 则,p的真值为,1,q的真值为,p的真值为,q的真值为,pq的真值为,pq的真值为,pq的真值为, pq的真值为,pq的真值为,pq的真值为,p q
3、的真值为,p q的真值为,p q的真值为,p q的真值为,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,0,1,pq的真值为,pq的真值为,0,0,8,实例(续),pq的真值为,pq的真值为,pq的真值为,pq的真值为,0,1,1,1,又设 r:今天是星期一, s:明天是星期二, t:明天是星期三,rs的真值为,rt的真值为,1,不定,9,命题公式,命题变项:取值为0或1的变元, 也用p,q,r等表示. 命题公式:用联结词和圆括号把命题和命题变项按照一定 规则连接起来的符号串, 常用A,B,C等表示. 例如, A=(pq)(rp)公式的赋值:对公式中每一个命题变项给定一个值(0或1). 公式的成
4、真赋值:使公式为真的赋值. 公式的成假赋值:使公式为假的赋值. 例如, p=1,q=1,r=1是A的成真赋值,p=0,q=1,r=0是A的成假赋值.,10,重言式,矛盾式与可满足式,重言式(永真式):无成假赋值的命题公式 矛盾式(永假式):无成真赋值的命题公式 可满足式:不是矛盾式的命题公式 例如, A= (pq)(rp)是可满足式, 但不是重言式,B= (pq)(pq)(pq)(pq)是重言式,C= p(pq)(pq)是矛盾式.AB:蕴涵式AB是重言式的简记. AB:等价式AB是重言式的简记，称A与B等值，AB是等值式.,11,基本等值式,双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律
5、ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB(AB)AB,12,基本等值式(续),吸收律 A(AB)A, A(AB)A 零律 A11, A00 同一律 A0A, A1A 排中律 AA1 矛盾律 AA0 蕴涵等值式 AB AB 等价等值式 AB(AB)(BA) 假言易位等值式 AB B A 等价否定等值式 AB A B 归谬论 (AB)(AB) A,13,重要推理规则(推理定律),附加律 A (AB) 化简律 (AB) A 假言推理 (AB)A B 拒取式 (AB)B A 析取三
6、段论 (AB)B A 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(BC) (AC) 构造性二难 (AB)(CD)(AC) (BD) 破坏性二难 (AB)(CD)( BD) (AC),14,谓词与量词,个体域:被研究对象的全体, 如自然数集, 人类等. 个体词:个体域中的一个元素. 全称量词: 表示任意的, 所有的, 一切的等. 存在量词: 表示存在, 有的, 至少有一个等. 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词例如, 谓词P(x)表示x具有性质Px P(x) 表示个体域中所有的x具有性质Px P(x) 表示个体域中存在x具有性质P,15,1.2 集合及其运算,集合及其表示
7、法 包含(子集)与相等 空集与全集 集合运算(, - , , ) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法,16,集合的概念,朴素集合论(康托, G.Cantor), 罗素(Russell)悖论 集合是数学中最基本的概念,没有严格的定义 理解成某些个体组成的整体, 常用A,B,C等表示 元素:集合中的个体 xA(x属于A): x是A的元素 xA(x不属于A): x不是A的元素 无穷集:元素个数无限的集合 有穷集(有限集):元素个数有限的集合. |A|:A中元素个数 k元集:k个元素的集合, k 0,17,集合的表示法,列举法 如 A= a, b, c, d , N=0,1,2, 描述法 x | P
8、(x) 如N= x | x是自然数 说明: (1) 集合中的元素各不相同. 如, 1,2,3=1,1,2,3 (2) 集合中的元素没有次序. 如, 1,2,3=3,1,2=1,3,1,2,2 (3) 有时两种方法都适用, 可根据需要选用.常用集合自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+, 有理数集Q, 非零有理数集Q*, 实数集R, 非零实数集R*, 复数集C, 区间a,b,(a,b)等,18,包含与相等,包含(子集) A B x (xA xB) 不包含 A B x (xA xB) 相等 A = B A B B A 不相等 A B A B B A 真包含(真子集) A B A B A B 例如,
9、 A=1,2,3, B= x | xR|x|1 , C= x | xRx2=1 , D=-1,1, C B, C B, C A, A B, B A, C = D性质 (1) A A(2) A B B C A C,19,空集与全集,空集: 不含任何元素的集合 例如, x | x20xR= 定理1.1 空集是任何集合的子集 证 用归谬法. 假设不然, 则存在集合A, 使得 A, 即存在x, x且xA, 矛盾. 推论 空集是惟一的. 证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2 全集E:限定所讨论的集合都是E的子集. 相对性,20,幂集,幂集P(A):A的所有子集组成的集合, 即P(A) = x
10、| xA 例如, 设A=a,b,cA的0元子集: A的1元子集: a, b, cA的2元子集:a,b,a,c,b,c A的3元子集: a,b,cP(A) =, a, b, c, a,b. a,c, b,c, a,b,c,定理1.2 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n 证,21,集合运算,并 AB = x | xA xB 交 AB = x | xA xB 相对补 AB = x | xA xB 对称差 AB = (AB)(BA) = (AB)(AB) 绝对补 A = EA= x | xA 例如 设E=0,1, ,9, A=0,1,2,3, B=1,3,5,7,9, 则AB =0,1,
11、2,3,5,7,9, AB =1,3, AB =0,2, AB =0,2,5,7,9, A =4,5,6,7,8,9, B =0,2,4,6,8 说明:1. 只使用圆括号 2. 运算顺序: 优先级别为(1)括号, (2)和幂集, (3)其他. 同级别的按从左到右运算,22,实例,例1 设E= x | x是北京某大学学生, A,B,C,D是E的子集, A= x | x是北京人, B= x | x是走读生, C= x | x是数学系学生, D= x | x是喜欢听音乐的学生. 试描述下列各集合中学生的特征:,(AD) C=, AB=,(A-B) D=, D B=, x | x是北京人或喜欢听音乐,
12、但不是数学系学生, x | x是外地走读生, x | x是北京住校生, 并且喜欢听音乐, x | x是不喜欢听音乐的住校生,23,文氏图表示,24,集合运算(续),并和交运算可以推广到有穷个集合上A1A2An= x | xA1xA2xAn A1A2An= x | xA1xA2xAn 并和交运算还可以推广到可数无穷个集合上A1A2= x | i (i=1,2,) xAi A1A2= x | i (i=1,2,) xAi ,25,实例,例2 设Ai=0, 1/i ), Bi=(0, i ), i=1,2, , 则,0, 1),0, 1),0, 1/n ), 0 ,(0, n),(0, +),(0,
13、 1),(0, 1),26,基本集合恒等式,1. 幂等律 AA=A, AA=A 2. 交换律 AB=BA, AB=BA 3. 结合律 (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 4. 分配律 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC) 5. 德摩根律绝对形式 (BC)=BC, (BC)=BC相对形式 A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC),27,基本集合恒等式(续),6. 吸收律 A(AB)=A, A(AB)=A 7. 零律 AE=E, A= 8. 同一律 A=A, AE=A 9. 排中律 AA=E 10. 矛盾律 AA= 11. 余补律 =E, E= 12
14、. 双重否定律 A=A 13. 补交转换律 A-B= AB,28,基本集合恒等式(续),14. 关于对称差的恒等式(1) 交换律 AB=BA(2) 结合律 (AB)C=A(BC)(3) 对的分配律 A(BC)=(AB)(AC)(4) A=A, AE= A(5) AA=, A A= E,注意: 对没有分配律, 反例如下A=a,b,c, B=b,c,d, C=c,d,eA(BC)= a,b,cb,e= a,b,c,e(AB)(AC)= a,b,c,da,b,c,d,e= e, 两者不等,29,证明集合包含或相等,方法一. 根据定义, 通过逻辑等值演算证明 方法二. 利用已知集合等式或包含式, 通过
15、集合演算证明例3 证明: (1) AB=BA (交换律) 证 x xAB xAxB (并的定义)xBxA (逻辑演算的交换律) xBA (并的定义),30,例3(续),(2) A(BC)=(AB)(AC) (分配律) 证 x xA(BC) xA(xB xC) (并,交的定义)(xAxB)(xAxC) (逻辑演算的分配律) x(AB)(AC) (并,交的定义) (3) AE=E (零律) 证 x xAE xAxE (并的定义) xA1 (全集E的定义)1 (逻辑演算的零律)xE (全集E的定义),31,例3(续),(4) AE=A (同一律) 证 x xAE xAxE (交的定义) xA1 (全
16、集E的定义) xA (逻辑演算的同一律),32,实例,例4 证明 A(AB)=A （吸收律） 证 利用例3证明的4条等式证明A(AB)= (AE)(AB) (同一律)= A(EB) (分配律)= A(BE) (交换律)= AE (零律)= A (同一律) 对其余的基本集合恒等式不再一一证明(请自行证明), 今后把它们作为已知的集合等式使用.,33,实例,例5 证明 (A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证 (A-C)-(B-C)= (A C) (B C) (补交转换律)= (A C) (B C) (德摩根律) = (A C) (B C) (双重否定律)= (A C B) (A C C) (分
17、配律)= (A C B) (A ) (矛盾律)= A C B (零律,同一律)= (A B) C (交换律,结合律) = (A B) C (补交转换律),34,实例,例6 证明 (AB)(AC)= (BC) - A 证 (AB)(AC)=(AB) - (AC)(AC) - (AB)=(AB)AC)(AC)AB)= (BAC)(CAB)=(BC)(CB)A=(B-C)(C-B)A= (BC) - A,35,实例,例7 设A,B为任意集合, 证明: (1) AAB 证 x xA xAxB (附加律) xAB(2) ABA 证 x xAB xAxB xA (化简律),36,实例(续),(3) A-BA 证 x xA-B xAxB xA (化简律)(4) 若AB, 则P(A)P(B) 证 x xP(A) xA xB (已知AB) xP(B),37,实例,例8 证明 AB=AB-AB. 证 AB=(AB)(AB)=(AA)(AB)(BA)(BB)=(AB)(BA)=(AB)(AB)=AB-AB,
