1、函 数 对 称 性 的 探 究函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。一、 函数自身的对称性探究定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2ax) = 2b证明：（必要性）设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点，点 P( x
2、,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P（ 2ax，2by）也在 y = f (x)图像上， 2by = f (2a x)即 y + f (2ax)=2b 故 f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。（充分性）设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x 0) + f (2ax 0) =2b，即 2by 0 = f (2ax 0) 。 故点 P（2ax 0，2by 0）也在 y = f (x) 图像上，而点 P 与点 P关于点 A (a ,b)对称，充分性得征。推论：函数 y = f (x)
3、的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)定理 3. 若函数 y = f (x) 图像同时关于点 A (a ,c)和点 B (b ,c)成中心对称（ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab|是其一个周期。若函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称
4、（ab） ，则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab|是其一个周期。若函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称又关于直线 x =b成轴对称（a b） ，则 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。的证明留给读者，以下给出的证明：函数 y = f (x)图像既关于点 A (a ,c) 成中心对称，f (x) + f (2ax) =2c，用 2bx 代 x 得：f (2bx) + f 2a(2bx) =2c （*）又函数 y = f (x)图像直线 x =b 成轴对称， f (2bx) = f (x) 代入（*）得：f (x) = 2cf 2(
5、ab) + x（*） ，用 2（ab）x 代 x 得f 2 (ab)+ x = 2cf 4(ab) + x代入（*）得：f (x) = f 4(ab) + x,故 y = f (x)是周期函数，且 4| ab|是其一个周期。二、 不同函数对称性的探究定理 4. 函数 y = f (x)与 y = 2bf (2a x)的图像关于点 A (a ,b)成中心对称。定理 5. 函数 y = f (x)与 y = f (2ax)的图像关于直线 x = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 ax = f (ay)的图像关于直线 x +y = a 成轴对称。函数 y = f (x)与 xa = f (y
6、 + a)的图像关于直线 xy = a 成轴对称。定理 4 与定理 5 中的证明留给读者，现证定理 5 中的设点 P(x0 ,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0)。记点 P( x ,y)关于直线 xy = a 的轴对称点为 P（x 1， y1） ，则 x1 = a + y0 , y1 = x0a ，x 0 = a + y1 , y0= x1a 代入 y0 = f (x0)之中得 x1a = f (a + y1) 点P（x 1， y1）在函数 x a = f (y + a)的图像上。同理可证：函数 xa = f (y + a)的图像上任一点关于直线 xy = a
7、的轴对称点也在函数 y = f (x)的图像上。故定理 5 中的 成立。推论：函数 y = f (x)的图像与 x = f (y)的图像关于直线 x = y 成轴对称。三、 三角函数图像的对称性列表函 数 对称中心坐标 对称轴方程y = sin x ( k, 0 ) x = k+/2y = cos x ( k+ /2 ,0 ) x = ky = tan x (k/2 ,0 ) 无注：上表中 kZ四、 函数对称性应用举例例 1：定义在 R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数
8、，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数， x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因此 f (x)还是一个偶函数。故选(A)例 2：设定义域为 R 的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且 f(x1)和 g-1(x2)函数的图像关于直线 y = x 对称，若 g(5) = 1999，那么 f(4)=（ ）。 （A） 1999； （
9、B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和 y = g-1(x2)函数的图像关于直线 y = x 对称，y = g -1(x2) 反函数是 y = f(x1)，而 y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有 f(51) = 2 + g(5)=2001故 f(4) = 2001,应选（C）例 3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1+x)= f(1x),当1x0 时，f (x) = x，则 f (8.6 ) = _ （第八届希望杯高二 第一试题）21解：f(x)是定义在 R 上的偶函数x =
10、0 是 y = f(x)对称轴；又f(1+x)= f(1x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例 4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是（ ）(92 全国高25考理) (A) x = (B) x = (C) x = (D) x =4845解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是 2x + = k +2x = ,显然取 k = 1 时的对称轴方程是 x = 故选(A)2k例 5. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x+2)= f(x),当 0x1 时，f (x) = x，则 f (7.5 ) = （ ）(A) 0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5解：y = f (x)是定义在 R 上的奇函数， 点（0，0）是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即 f (1+ x) = f (1x) ， 直线 x = 1 是 y = f (x) 对称轴，故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f ( 0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选 (B)
