1、1两角和与差的余弦公式的教学设计上海市松江二中 张忠旺 2016001.提出问题前面我们学习了四组诱导公式，给出了 k 的三角函数与 的三角函数间的关系；如果把角k 中的 k 换成 角 的三角函数与 的三角函数间的关系如何呢？一般地将 k 换成任3，意角 ， 的三角函数与 、 的三角函数间的关系如何呢？这节课我们先来探讨 cos(- )与， 的三角函数的关系。2探究结论我们先来探究一下 cos(- )的表达式的结构师：cos(-)=cos-cos 吗？生：因为 cos(90-30)cos90-cos30 ，所以上式不成立。师：你能根据 cos(-)的形式猜测一下其表达式的结构特征吗？生：因为
2、cos(-)= cos(-) ，所以 cos(-) 的表达式中， 、 应是对称的。师：对于 = 时的特例，请你试着给出 cos(- )的表达式。同学们经过讨论得出 cos(- )= cos 2+ sin 2师：类比上式，请你试着猜测一般的 cos(- )的表达式生：cos(-)=coscos+sinsin (1)实验验证让学生能验证一下上述关系的可靠性。(1)取 =，得 cos(-)=-cos(2)取 =0，得 cos(-)=cos(3)取 =90，=30 ，得 cos(90-30)= cos60= ，cos90cos30 +sin90sin30= sin3012= ，cos(90-30)=
3、cos90cos30 +sin90sin30124.探究证明如何证明公式(1)呢？对于任意角的三角函数问题，我们通常在坐标系中研究，为了使问题简化常以单位圆为工具。我们先在直角坐标系 xoy 中，作出角 ， ，它们的终边分别与单位圆交于点 P2、P 3，让学生分别用 、 的三角函数表示出 P2、P 3 的坐标 P2 (cos，sin )、P 3(cos,sin)为了得到公式需要寻找 cos(- )与 cos、cos 、sin 、sin 的等量关系。如果将角 ， 旋转 角（用几何画板演示） ，这时 123， ， ，让学生思考：经旋转变换，图形中的哪些量不变？哪些量发生了变化？同学们观察、讨论、补
4、充得到结论：， 和P 2OP3 的大小不变，P 2、P 3 间的距离不变，即 ；点 P1、P 2、P 323的坐标发生了变化。让学生写出点 的坐标23、2 3(cos),in(),(cos),in(),PP 2利用两点间的距离公式将等式 坐标化并整理得2323P（ ）cos()s()sin()si()cossin师：你能由上式得到 cos(- )的表达式吗？生 1：令 =- 即得 cos( -)=coscos +sin sin(1)生 2：令 =- 也可以。师：(1)式对任意角 、 都成立，这个公式叫做两角差的余弦公式。在(1)中，用- 代换 ，可得两角和的余弦公式cos()cossin(2)
5、我们通常把(1)记作 C- 和 C+5公式的特征教师引导学生总结两个公式的特征1）两个公式中，、 可以为任意角。2）左边是复角 的余弦，右边是关于单角 、 的余弦积与正弦积的差（和） ，公式两边在符号上正好相异。即“扩、扩、塞、塞” ，符号相反。6简单应用（1）求 cos15和 cos75的值(2)化简 1)cos40cos10+sin40sin10；2) cos215sin215；3) coscos(60- )sin sin(60- )7.本设计的构思课本在这部分的编排顺序是先推导出 C+ ，再通过角代换得到 C- 。在导出 C+ 的许多教学设计的指导思想是由特殊到一般的导引模式，如文1、2
6、在引入公式时，通过推证 cos75cos45cos30 -sin45sin30来引出公式。这样的设计存在两个缺陷，一是在教学中耗时太多，不够经济；二是不够自然，让学生感觉牵强。本设计更换了两个公式的推导顺序，从诱导公式这一特例入手，提出问题，并与同学们熟知的平方关系 1=sin2+cos 2 进行类比，更自然合理地给出公式的形式。在公式 C- 的推证中寻找等量关系是教学中的难点。为了突破这一难点，该设计采用了旋转变换，利用不变量导出关系式（ ） ，在（ ）中令 =- 自然得到了公式。本设计指导思想是从学生的“最近发展区”入手，以问题引路，引导学生自主探究。教学过程是否顺畅，关键在于问题的设计是否合理自然。一个好的教学设计不在于教师是讲清问题的解法，而在于教师自然地引导学生获得问题解法。从学生的数学现实出发，设计合理的问题，实现教师指导下的自主探究的学习方式正是我们课堂教学所追求的。
