1、有趣的物理实验滚动的正多边形物体刘建存 （南京师范大学 物理科学与技术学院，江苏 南京 210046）摘 要：生活中的轮子都是圆形的，似乎给我们的印象是只有圆形的物体才能自由自在的滚动。本文通过对一个有趣的物理实验滚动的方体进行观察，思考研究：是不是只有圆形的轮子才能自由的滚动呢？通过对不同形状的轮子的轨道进行理论分析，公式推导，得出正多边形稳定滚动的轨道方程。关键词：有趣的物理实验；滚动；方体；悬链线实验是物理学产生和发展的基础，是检验物理理论的唯一标准，在物理学的发展中有着巨大的意义和推动作用 1。物理实验最重要的一个作用就是激发学生的兴趣和求知欲，而对于课程的拓展的趣味物理实验吸引了不少
2、同学的关注。然而，对于这些趣味物理实验，原理上的解释似乎很少，远远不能满足对于物理爱好的同学的求知欲。在很多的校的实验室，都有滚动的方体的器材（如右图 1）：一个近似半圆的轨道和一个方形的轮子。把轨道稍微倾斜，方体就能很顺利的滚下来。但对于这一现象的理论，没有多少人能够真正的明白，有的人甚至怀疑，方轮小车只能是个传说。其实，对这个物理实验的理论，在大学物理中有很好的解释 2。在此，我不再详述，本文主要讨论一下，是否只有正方形的轮子才可以滚动，对于其它形状的轮子，是否也能在一定形状的轨道上自由滚动。1.正三角形轮子理论分析及其证明1.1 正三角形轨道公式推导首先试探一下，三角形的轮子能否在轨道上
3、滚起来。取正三角形 DEF 的 分析（如图 2） ，即一个直角三角16形 ABE.。假设底座和正方体滚动的一样，仍然是悬链线，在滚动过程中，BE 边始终与悬链线相切，设切点为 T，中心 A 点与 T 的连线与地平面垂直于 P。要使正三角形轮子能自由滚动，中心位置应该不变。1作者简介：刘建存（1986- ） ，女，在职研究生，主要从事高中物理教学研究。设 AB=R，则 AP=AB=R取链座某尖槽处为坐标原点建立 Oxy坐标系。按已知条件，取 A 至切点 T连线并延长至 P。它垂直于 X 轴。因中心 A 总保持同样高度。故AT+TP=R。用 表示角位移。因 ,cos60RT又令 TP=y，有（1）
4、cos60Ry因 ，又 ，故tandyx221tae得所求曲线方程（2）22()()cos60yRydx采用 ， （1）式变成secu，又有 。*Ru 21()dux取 os60yddxx方程（2）变为 2cs1uR应用高数附录中的积分表积分 3，得， .()sin60xuchkRo60karh回到原来变量 y，有， （3）1o*()sinxcR 1cos60karh理论得出的结果仍然是悬链线方程。2.1 正三角形理论证明我利用几何画板中对所求的理论值进行了模拟，并做出实物的模型来证明。模拟工具几何画板是数学和物理等画图的常用工具，本文采用的是几何画板 5.01版本。模拟图像如右图所示，我取
5、R=4 cm，则正3三角形边长为 12cm。做一个边长为12cm 的正三角形，并画出三角形的重心，画出重心在一条直线上。然后把 R=4 cm 带入上面的方程3（3） ，得出此时轨道方程变为， 。143*()26xychk2arch再由几何画板画出这个函数，如图4。模型验证我根据上面的数据，把图按 1:1 打印了出来，然后用硬纸板做了一个实物的模型，如图 5。限于器材的原因，模型做的不是很好，样子不是很好看，但是用起来不错。把轨道放一个很小的斜坡上，正三棱柱能够很轻松平稳的向下滚动。足以验证上面的结论是正确的。2.其它多边形轨道根据上面的理论过程，我们同样可以得出任意正多边形的滚动轨道方程，设正
6、多边形有 n 条边，取正n 边形的 分析，即一个直角三角形 ABE.。这个图与12三角形的很相似，如图 6。在滚动过程中，BE 边始终与底座相切，设切点为 T，中心 A 点与 T 的连线与地平面垂直于 P。要使正多边形轮子能自由滚动，中心位置应该不变，设 AB=R，则 AP=AB=R取链座某尖槽处为坐标原点建立 Oxy 坐标系。按已知条件，取 A 至切点 T 连线并延长至P。它垂直于 X 轴。因中心 A 总保持同样高度。故 AT+TP=R。用 表示角位移。因 ,180cosRnAT又令 TP=y，有 （4）180cosRnyR因 ，又 ，故得所求曲线方程tandyx22tae（5）2 211(
7、)()80cosdyRyxn采用 ， （1）式变成secu，又有 。*o60RuyR 21()dyux取 ，方程（2）变为18csdyxnx201cosudR应用高数附录中的积分表积分，得， .()180sinxuchkR180coskarhn回到原来变量 y，有， （6）1cos*()180sinxhkn 180coskarhn结果显示仍为悬链线方程。对于这一结果，我同样可以用几何画板做出图像，然后做出实物模型进行验证，这里不再一一介绍了。3.结论通过上面的分析，我们可以得出这样的结论：只要给定合适的轨道，正多边形都能自由的滚动，滚动的轨道均为悬链线方程。这一结论不仅可以用以解释实验现象，我们可以制造出更多更有意思的物理实验仪器，甚至可以把它应用到实际生活中去，制造一些特殊的轨道，来运输物体，使物体在轨道上可以自由的滚动，离开轨道后就能静止下来。参考文献： 1阎金铎，郭玉英中学物理新课程教学概论M 北京：北京师范大学出版社， 2008:75-972漆安慎，杜婵英普通物理学教程力学M 北京：高等教育出版社， 2005：214 -2173同济大学应用数学系高等数学（第五版）M 北京：高等教育出版社， 2002：349作者 刘建存 电话 15150509931 邮箱
