1、拿破仑的四等分圆 问题拿破仑虽然是位军事家，但他与当时的许多法国知名数学家，如拉格朗日，拉普拉斯等交往都颇密切，一次拿破仑问拉普拉斯：“我读了您不少的大作，我对您在您的书中竟然一次都不提上帝很不理解，您能解释一下吗？”拉普拉斯不客气地回答：“陛下，我不需要那个假设。 ”对拉普拉斯的傲慢态度，拿破仑却并未发火，仍给了他很多的荣誉与职位，从这一点看，拿破仑倒颇有一点“尊重知识，尊重人材”的大将风度。拿破仑尽管忙于打仗，但仍经常与数学家们讨论数学，有一次，拿破仑就提出这样一个问题：“给出一个圆，只准用圆规，把圆周四等分”。大家知道，几何作图题是规定只准使用圆规与无刻度的直尺来完成的，这两种工具的功能
2、规定为：（1）已知圆心及半径，用圆规作圆。（2）已知两点，用直尺作过这两点的直线。（3）已知两圆，或已知两直线，或已知一圆及一直线，找出它们的交点。另外还限制只准有限次地使用这两种工具，逐步作出所需图形，如果不准使用直尺，只准使用圆规来完成作图，就是“圆规几何学”的内容，或称为“单用圆规的作图问题”。如果补充规定用圆规“画直线”可以理解为：“若已知直线上两点，则可画出直线上任意多个点。”那么，可以证明：能用圆规与直尺完成的图，都可用圆规单独完成。例 1，作一线段等于已知线段的任意整数倍。由于圆规很容易把一个（圆心已知的）已知圆 6 等分，利用这一点即可完成本作图。如图，已知线段为 AB，以 B
3、 为圆心，BAa 为半径作圆，以 A 为一个分点，把圆 B 六等分，与 A 相对的分点为 C，则 AC=2AB。如此下去，就可以把已知线段延长任意整数值。例 2，把已知线段 AB 分成 n 等分（n2 为整数）。以 n3 为例，由上题可知，可以作出点 C，使点 C 在 AB 延长线上且使 AC3AB。以 C为圆心 CA 为半径画圆，再以 A 为圆心，AB 为半径画圆，两圆交点之一为 D，以 D 为圆心，AB 为半径画圆，交 AB 于 M，证明：ACD、ADM 均为等腰三角形，且有一个底角公用，于是ACDADM，于是ACAD=ADAM 但 AC=3AD，于是可得 AD=3AM 即 AM= AB。31下面来看看拿破仑的“单用圆规四等分圆”的问题如何解决？作法：取已知圆 O 上任一点 A，以 A 为一个分点把O 六等分，分点依次为A、B、C、D、E、F（如图）。分别以 A、D 为圆心，AC、BD 为半径作圆交于 G，以 A 为圆心，OG 为半径作圆，交O 于 M、N，则 A、M、D、N 即四等分O 的圆周。
