1、双曲线解答题 580、设双曲线 ( 0, 0)上一点 M(x0,y0),左、右焦点为 F1、F 2,离12byax心率为 e,记 ,求证该双曲线的焦半径公式是：r 1=1,FrM020xrxa81、求证：以双曲线焦半径为直径的圆,必与以双曲线实轴为直径的圆相切.82、求证：等轴双曲线上任一点到中心的距离是这点到两个焦点的距离的比例中项.83、已知双曲线的焦点为 F1、F 2( ),实轴长为 2a,试证明：平面内到c1两焦点 F1、F 2 的距离的平方差的绝对值等于(2a) 2 的点的轨迹是已知双曲线的两条准线.84、等轴双曲线的顶点 A,平行于实轴的弦 MN,求证： AMN 是直角三角形.85
2、、求证：双曲线上任一点到两条渐近线的距离的积等于定值.86、经过双曲线 的右焦点 F 的直线 与一条渐近线 1 垂直于 A，xy2816ll交另一条渐近线 2 于 B，求证：线段 AB 被双曲线的左准线平分。l87、已知双曲线 C： ,F1、F 2 分别是它的左右焦点,抛物线 l 的焦点2byax与 C 的右焦点重合,l 的准线与 C 的左准线重合,P 是 C 和 l 的一个交点.求证： =1.|1221PF88、点 P 在双曲线 =1 上,F 1、F 2 为焦点, PF1F2 的内切圆切 x 轴于 A2byax点,如图,求证：A 为双曲线的顶点.89、已知 AB 是双曲线 过焦点 F1 的任
3、意一条弦, 以 AB 为直径的圆2yx被 F1 相应的准线截得圆弧 MN, 求证：弧 MN 的度数为定值.90、求证：经过双曲线上任一点,作两条直线分别平行于两条渐近线,则围成的平行四边形的面积为定值.91、F 1MF2 的顶点 F1、F 2 是双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 的两个焦点,点 M 在双曲线上,若F 1MF2= ,求证： F 1MF2 的面积 S=b2ctg .92、AB 是双曲线 的一条弦,AB 的中点为 M,双曲线中心为 O,如果2byaxAB、OM 的斜率分别为 k、k 0,求证：kk 0= .2ab93、设一直线交双曲线于点 A、B,交双曲线的渐近线于点 C、D ,
4、求证：BDAC94、已知点 A 是双曲线 上的动点,O 是双曲线中心 ,线段 OA 的中点12byax为 M.试求点 M 的轨迹方程,并证明点 M 的轨迹是与已知双曲线离心率相等的双曲线.95、证明：两条准线把两焦点间的线段分成 1：2：1 的双曲线是等轴双曲线.96、设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率分别为 2a、2b、2c、e ;焦点到相应准线的距离叫焦准距,记为 p;过焦点垂直于实轴的弦叫通径 ,其长度记为 d.求证：(1)p= .2)(2edcb97、设双曲线的焦点在渐近线上的射影为 G,求证： G 是准线与渐近线的交点.98、已知直线 l 和双曲线 (a0,b0)及其渐近线依次交
5、于 A,B,C,D12byax四点(如图 ), 求证： |AB|=|CD|.99、证明：双曲线的一条渐近线和一条准线交于 H 点,则由双曲线中心 O 到 H的线段长等于双曲线的实半轴长.100、双曲线 ( ba0)上有两点 A、B,它们与中心 O 的连线互相12yax垂直,求证 是定值.221OBA101、双曲线 =1 中一条准线和一渐近线的交点为 M，与这条准线相对xayb2应的焦点为 F，求证：MF 与这条渐近线垂直。102、设 A、B 是等轴双曲线 x2y 2=a2 的两个顶点，MN 是该双曲线垂直于 x轴的弦，如图所示，求证：MANMBN=180 0.103、设 F1、F 2 为双曲线
6、 (a0，b0)的左焦点和右焦点，P 是其12yax右支上的一点（非顶点） ，设PF 1F2=，PF 2F1=，e 为双曲线的离心率，求证： .ectgt104、求证：双曲线的渐近线、过焦点与该渐近线垂直的直线以及对应此焦点的准线经过同一点。105、过点 P(2,2)的直线被双曲线 x22y 2=8 截得的弦 MN 的中点恰好为 P, 求|MN|的值.106、已知双曲线以两坐标为对称轴, 点 M(3.2,2.4)是其准线和渐近线的交点, 求此双曲线的方程.107、一个圆的圆心在双曲线 的右焦点 F2 上,该圆过双)0,(12bayx曲线的中心,交双曲线于点 P,直线 PF1(F1 是双曲线的左
7、焦点 )是该圆的切线,求双曲线的离心率 e.108、已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为 。)0,3(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线 l： 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，2kxy且 (其中 O 为原点)，求 k 的取值范围。BA双曲线解答题 5 解答与提示80、 提示：利用双曲线第二定义81、 提示：利用双曲线定义和三角形中位线定理证明两圆圆心距等于半径之和或半径之差的绝对值。82、 利用焦半径公式.83、 设 F1(c，0)、F 2(c，0) ，M(x， y)为轨迹上任意一点，则|(x+c)2+y2 (xc) 2+y2|=4a2 所以 cax
8、84、 提示：证明 MA、NA 的斜率乘积为-185、 提示：用距离公式计算,定值为 2ba86、 ，代入渐近线方程)6()062(1xyllF：，得.设 AB 中点的坐标为(x 0，y 0),则 x0= (xAx B)- .xy28160 1223左准线方程为 x=- AB 被左准线平分。236， 87、 证明：又|PF 1| |PF2|=2a acePF|21 |2| 1221PFcaFP . =1.| 2121PF|12188、 证明： 如图：|PF 1|=|PM|MF 1|=|PM|F 1A| |PF2|=|PN|NF 2|=|PN|F 2A| 又|PF 1|PF 2|=2a |F1A
9、| |F2A|=|F1F2|=2c，|PM|=|PN|得|F 1A|F 2A|=|F1F2|F 2A|F 2A|=2a2|F 2A|=2c2a |F 2A|=caA(a,0)即 A 为双曲线一个顶点,同理可证,点 P 在左支上时,点 A(a,0).89、 先证圆与准线相交, 然后得弧 MN 的弧度数为 2arccos (e 为双曲线离e1心率).90、 定值为 ab,a、b 为双曲线的实半轴长、虚半轴长.2191、 提示：在F 1MF2 中使用余弦定理，并结合 aMF2192、 提示：类比于椭圆。93、提示：设双曲线方程为 b2x2-a2y2=a2b2,则渐近线方程为 b2x2-a2y2=0,
10、再设直线方程,利用韦达定理证明线段 AB 与 CD 的中点重合 .94、 离心率都为 .1)2(2yax 295、 略 96、 略 97、 略98、 证明： 若直线 l 不与 x 轴垂直, 则可设 l 的方程为 y=kx+m, 代入双曲线方程 b2x2a 2y2a 2b2=0,并整理得 (b2a 2k2)x22a 2kmxa 2(m2+b2)=0, 设A(x1,y1),D(x2,y2), 则 . 再将 y=kx+m 代入双曲线渐近线方程, 221kabmx得 b2x2a 2y2=0,并整理得(b 2a 2k2)x22a 2kmxa 2m2=0,设 B(x3,y3),C(x4,y4),则 . x
11、 1+x2=x3+x4.243x这说明线段 AD 的中点和线段 BC 的中点重合, 故|AB|=|CD|.99、 略100、 定值为 .提示：选择中心为极点的极坐标系.21ba101、 解：M： ，M( )，F(c，0)，xcyaabc2,KMF=- ， MF 与渐近线 y= x 垂直。ab102、 略解.记MAX=，MBX=，则 090 0.由对称性MNA= 2， MBN=2，设 M(x1，y 1)(x10，y 1 0)，则 x12y 12=a2.tg=tg MAX= tg=MBN= ，ax1 a1tgtg= = =1.tg=tg=tg(90 0).y1121xy090 090 0，090
12、0.=90 0.由此，可得结论，MANMBN=180 0.103、 提示：应用正弦定理及比例的性质. 104、 略105、 106、 .302 162591622yxyx或107、 解：双曲线 (a0,b0),中心(0,0),c 2=a2+b2,12byax左焦点 F1(-1,0),右焦点 F2(c,0)圆的方程为(x-c) 2+y2=c2 由题意,PF 1 为圆的切线,PF 1PF 2,|PF 1|2+|PF2|2=|F1F2|2.(1)又点 P 在双曲线上,|PF 1|-|PF2|=2又|PF 2|是圆的半径，|PF 2|c,|PF1|=2a+c,|F1F2|=2c,代入(1)式,得(2a
13、+c) 2+c2=(2c)2,4a2+4ac-2c2=0, .0)(ac ，又 e1, e= .3ac31108、解：（1）设双曲线方程为 21xyab).0,(ba由已知得 .,2322ca得再 由故双曲线 C 的方程为 .12yx（2）将 得代 入 32ky .0926)3(2kxk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得222130,(6)(1)6()0.kkk即 设 ，则.2且 ),(,BAyx229,22,1313ABAB ABkxxOyk由 得而 ()()(1)()B AByxkxkx2222967(1) .313kk于是 2279,0,k即 解 此 不 等 式 得 .312k由、得 .13故 k 的取值范围为 3(,)(,).
