1、1,第65讲 计数原理、排列与组合基本问题,2,1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，会用两原理解决简单实际问题. 2.理解排列、组合的概念，掌握排列数和组合数公式，并能应用解决简单的实际问题.,3,A,解析,易错点,4,C,解析,5,720,解析,易错点,6,解析,8,7,解析,14,8,1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，,做第
2、n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= 种不同的方法.,m1+m2+m3+mn,m1m2mn,9,3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可，只有当所有步骤完成，这件事才完成. 4.排列基础理论 (1)排列的定义. 从n个不同元素中,任取m(mn)个不同元素,按照一定的 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.,顺序,10,(2)排列数的定义. 从n不同元素中,任取m(mn)个不同元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示. (3)
3、排列数计算公式.=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= (其中mn). ()若m=n，排列称为全排列，记 =123(n-1)n=n!(称为n的阶乘)； ()规定0!1.,11,5.组合基础理论 (1)组合的定义. 从n个不同元素中，取出m(mn)个不同元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数的定义. 从n个不同元素中,取出m(mn)个不同元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号 表示.,12,(3)组合数计数公式.= = .= . 规定 =1. (4)组合数的两个性质. () = ; () = + .,13,6.排列与组合的区别
4、排列与组合的共同点是“从n个不同元素中，任取m个不同元素”；而不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“只需组成一组（与顺序无关）”.因此，“有序”与“无序”是排列与组合的重要标志.“ ”为排列问题,“ ”为组合问题.,有序,无序,14,题型一 简单组合应用问题,例1,15,解析,16,17,评析,18,素材1,解析,19,20,题型二 简单排列应用问题,例2,21,解析,22,评析,23,素材2,解析,24,25,26,题型三 计数原理及应用,例3,A.10 B.11 C.12 D.15,27,解析,28,29,评析,30,（1）现要排一份天的值班表，每天有一人值班，共有人，每人
5、可以多天值班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有 种不同排法.,1280,素材3,(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边长为11,则这样的三角形的个数有( ),A.25个 B.26个 C.36个 D.37个,C,31,(1)值班表须依题设一天一天的分步完成.第一天有5人可选，有5种排法，第二天不能用第一天的人，有4种排法，同理，第三天、第四天、第五天也有4种，故由分步计数原理排值班表共有54444=1280种，应填1280.,解析,32,(2)设另两边长为x、y,且1xy11(x、yZ)，构成三角形，则x+y12，当y取11时，x=1,2,3,11,有11个;当y取10时，x
6、=2,3,10,有个;当y取9时，x=3,4,9,共7个;当y取6时，x也只能为6，有1个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故选C.,33,解下列方程： (1) +1=140 ; (2) = + + .,34,则有,(1)根据排列的意义及公式得42x+13x(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2),x(4x-23)(x-3)=0, 解之并检验得x=3.,解析,35,(2)由组合数的性质可得+ + = + += + . 又 = , 所以 = + , 即 + = + , 所以 = ， 所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.,36,37,1.
7、解决有关排列、组合应用题时，应分析：要完成做一件什么事；这件事怎样做才可以做好；需要分类还是分步.运用分类计数原理和分步计数原理，关键在于两方面，认真分析题意，设计合理的求解程序是求解问题的关键.,38,2.如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，即类与类之间是相互独立的，即分类完成，则选用分类计数原理；如果完成一件事要经历几个步骤（即几步），且只有当这些步骤都做完，这件事才能完成，即步与步之间是相互依存、相互连续的，即分步完成，则选用分步计数原理. 3.排列与组合的本质区别在于排列不仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取出一组即可，与顺序无关.,39,4.注意排列数公式、组合数公式有连乘形式与阶乘形式两种，公式 =n(n-1)(n-m+1),= 常用于计算,而公式 = , = 常用于证明恒等式.,40,错解,41,错解分析,正解,
