1、1,高等数学,2,微积分研究的主要对象就是函数。,微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科。,英国数学家牛顿,和德国数学家莱布尼兹,同时发明了微积分。,应用极限方法研究诸如曲边梯 形的面积等涉及到微小量无穷积累 的问题，就产生了积分学。,应用极限方法研究各类变化率 问题和几何学中曲线的切线问题， 就产生了微分学。,一、微积分,3,二、微积分学的基本结构,原料：函数,工具：极限,产品一：导数,产品二：积分,4,函数与极限,第一章,5,邻域,记作,6,7,第二节 极限,割圆术,我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法-割圆术，就是极
2、限思想在几何上的应用。,一、数列的极限,8,1、数列的定义,例如,称为无穷数列,简称数列.,9,说明：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,10,2、数列极限的定义,11,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它?,12,13,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,定义,总存在正整数N,不等式,记为,或,14,几何解释:,其中,15,例1,证,用数列极限的定义证明极限.,16,例2,证,17,性质1 极限的唯一性,3、收敛数列的基本性质,性质2 有界性,定理2 收敛的数列必定有界.,注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件.,
3、注2 无界数列必定发散.,有界数列不一定收敛.,18,播放,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,19,20,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”？,21,几何解释:,22,注意：,极限不存在,23,、单侧极限,结论：,24,例2,解,例1,解,25,三、自变量在有限点处的极限,26,4.几何解释:,说明：,27,例1,证,例2,证,28,单侧极限：,左极限：,右极限：,29,左右极限存在但不相等,例3,证,30,四、有极限的函数的基本性质,性质1 函数极限的唯一性,性质2 有极限函数的局部有界性,31,推论1,性质3 有极限函数的局部保号性,推论2,定理,32,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,33,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,34,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,35,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,36,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,37,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,38,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,39,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,40,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,
