1、第二章 极 限,数列的极限,无穷小量与无穷大量,函数的极限,极限的运算,极限存在定理,两个重要极限,无穷小量的比较,第三节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量,简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量.,1.无穷小量的定义,定义,2. 函数的极限与无穷小量的关系,反之亦然.,由以上的分析, 你可得出什么结论 ?,定理,同一个极限过程中的有限个无穷小量之和仍是一个无穷小量.,3.无穷小量的运算法则,在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量.,常数与无穷小量之积仍为无穷小量.,在某极限过程中, 无穷小量 与极限不为零的函数之商仍为无 穷小量.,同一
2、个极限过程中的有限个无穷小量之积仍为无穷小量.,证,证,证,证明,(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界.例如, f (x) = x, x(0, 1).,(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的情形,因为它的情形较复杂,将在以后专门讨论.,注意：,解,二. 无穷大量,定义,1.无穷大量的定义,无穷大量是否一定是无界量 ?,在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ?,但该数列是无界的.,当 x 时,函数 sinx、cosx, 是否为无穷大量 ？,因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量.,2. 无穷大量与无穷小量的关系,( 无穷大量的倒数为无穷小量 ),( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 ),则,在某一极限过程中,请自己根据定义自已进行证明.,定理,无穷大量一定是同一 极限过程中的无界量.,反之不真,3.无穷大量的运算性质,在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量.,在某极限过程中, 无穷大量与 有界量之和仍为无穷大量.,不是无穷大量,是无穷大量,两个无穷大量的和是否仍为无穷大量?,考察,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不着急, 看个例题:,有界量与无穷大量的乘积,是否一定为无穷大量？,不一定再是无穷大量.,结论:,在某个极限过程中,
