1、二 、函数的极限,一、数列的极限,第二节,极限的概念,第二章,一 、数列的极限,1. 数列极限的定义,(1) 数列：,简记作,称为通项(一般项) .,数列也称为整标函数.,自变量取正整数的函数,例如,设有数列,如果当n无限增大时, xn,无限趋近于某个确定的常数a ,的极限,这时,也称数列 xn ,收敛于a.,否则, 称数列 xn ,发散.,则称a为数列 xn ,记作,(2) 数列极限的定义 定义2.1,例如,趋势不定,收 敛,发 散,“无限增大”，“无限接近”意味着什么?如何用数学语言定量地刻划它？,a接近b的程度用绝对值：,表示.,问题:,“当n变得任意大时，,变得任意小”,“要使,任意小
2、，只要n充分大”,“任意大”与“任意小”并非彼此无关.,由此可见：,“充分大”由“任意小”所确定.,如何定量刻划“任意小”？,用抽象记号 表示“任意小”的正数.,注意：,任何固定的很小的正数都不能表示“任意小”.,如何刻划 n “充分大”？,只要,要使,不一定是正整数，注意到：,从而有,于是,使得当,时，有,定义2.2,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散.,或,则称该数列 xn ,的极限为 a ,3,N 由,所确定，故记,但不唯一.,4,不能与n 有关.,5,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注,一般来说， 越小， N 越大;
3、,3. 几何解释,时，,恒有,注,例1 已知,证明数列,的极限为1.,证,要使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,N是正整数,所以要取整,证,所以,结论: 常数列的极限等于同一常数.,例2,证,(1),(2),要使,即,只要,例3,例4,证,分析,N不唯一,证明时可以适当放大,故得证.,也可由,取,证明：,证,要使,只要,即,则当 n N 时，,有,从而,例5,思考:,对于例5, 下列推导是否正确：,要使,只要,故取,N 不能与 n 有关！,注 将,适当放大的目的，是为了,易于求 N. 放大时，应该注意适当 ！,即要求：,否则，若,则 b(n)就不可能任意小.,其中,小结:,用定义
4、证明数列极限存在时, 关键是任意给定 0, 寻找 N, 但不必求最小的N.,自变量的变化过程有六种形式:,二、函数的极限,1. x 时函数 f (x)的极限,(1) 定义2.3 设函数,当,(M为某一正数）,时有定义 ,如果存在常数 A ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,记作,(2) 几何解释,注,当,时, 有,当,时, 有,1,时函数 f(x) 的极限：,定理,2,或,则称直线 y = A为曲线 y = f (x) 的水平渐近线.,如果,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,再如，,都有水平渐近线,例6 证明,证,取,因此,注,就有,故,欲使,即,2. x x0时
5、函数 f (x)的极限,(1),时函数极限的定义,定义2.4 设函数,在点,的某去心邻域,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,当,时, 总有,内有定义. 如果存在常数 A,记作,几何解释:,注,x,O,1,例7 证明,证,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例9 证明,证,故取,当,时 , 必有,因此,证,只要,例10,注,为了确保,有意义，即,只须,即,左极限 :,有,极限存在的充要条件:,(2) 单侧极限,右,例11 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解,因为,所以,不存在.,内容小结,1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用,2. 函数极限的,或,定义及应用,思考与练习,1. 若
6、极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,3. 左、右极限定义及左、右极限相等的等价条件,故,时,例4-1已知,证明,证,要使,只要,即,取,则当,N不唯一,证明时可以适当放大,有,例5-1,证,注意到,为了使,于是,a =,因此,则当n N 时,有,只要使,证,例5-2,证,例6-1,例6-2,证,例8,证,分析,例9-1 证明,证,要使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,例10-1,证,由不等式,可得,已知,即,于是证明了,左右极限存在，但不相等,证,例11-1,例11-2,解,的左极限及右极限，,并说明函数在 点x = 1 处的极限存在与否.,故函数在 点x = 1 处的极限存在，且,
