1、根轨迹,七、法则7：根轨迹与虚轴的交点,1、存在交点的可能情况：若渐近线与虚轴有交点，或在s右半平面有开环零、极点，则根轨迹必然会与虚轴有交点；,方法一：令劳斯表第1列中包含K*的项为0，即可确定交点对应的K*；利用劳斯表中s2行的系数构建辅助方程，必可解出与虚轴交点jw； 方法二：令闭环特征方程中的s=jw，然后分别令其实部和虚部为0。,例11 ：,2、根轨迹与虚轴交点jw的计算及该点对应的根轨迹增益K*值的计算,八、法则8：根之和（用来判断根轨迹的走向）,当n-m2时，对于任意开环根轨迹增益K* ，闭环极点之和等于开环极点之和，即闭环极点之和为一定值。 所以，若一些根轨迹分支向左移动，则一
2、定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。,总结：根轨迹的绘制步骤,（1）将开环传函整理为零极点标准形式，找出根轨迹增益K* ； （2）确定开环零极点； （3）判断是否有可能存在渐近线，求 （4）判断是否有可能存在分离点，求 d及分离角 （5）判断是否有可能存在与虚轴交点，求jw及对应的K*,注意：,（1）开环根轨迹增益K*与开环增益K的关系；,零极点形式,时间常数形式,（2）利用根轨迹可以直接求出系统闭环极点，避免了解析法求取特征方程的困难。,习题42 ：,4-4 利用根轨迹分析系统性能,系统根轨迹,取出某K*值对应的闭环极点si(i=1,n),构建闭环传递函数,分析动态、稳态性能,来自结构图,
3、来自根轨迹,s1,s2,s4,s3,s5,系统根轨迹,取出某K*值对应的闭环极点si(i=1,n),构建闭环传递函数,分析系统性能,单位阶跃响应曲线,全部闭环极点, 并加入闭环零点,闭环零点,闭环极点,化简原则,闭环零极点对系统性能的影响,化简原则:工程计算中，采用主导极点代替系统全部闭环极点来估算系统性能指标。,1）在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的1个或n个闭环极点做为主导极点； 2）略去不十分接近原点的偶极子； 3）略去比主导极点距虚轴远36倍以上的闭环零、极点；,当一对闭环零、极点相距很近时，它们就构成偶极子。,这样一来，设计中所遇到的绝大多数高阶系统，就可以简化
4、为只有1、2个闭环零点和2、3个闭环极点的系统。,例 已知某系统闭环传递函数试计算 时的 和,解:,该闭环系统有三个极点:,该闭环系统有三个极点:,例 已知某系统闭环传递函数试计算 时的 和,解:,一个零点,偶极子,闭环零极点对系统性能的影响,1）稳定性：若闭环极点全部位于s左半平面，则系统稳定。 2）阶跃响应形式：如果闭环主导极点为复数极点，则时间响应一般是振荡的；如果是实数极点，则时间响应一般是单调的。 3）超调量：主要取决于 ，即闭环复数主导极点的实部与虚部之比。,4）调节时间：取决于最靠近虚轴的闭环主导极点的实部。,本章小结,4-4 利用根轨迹分析控制系统的性能,4-1 根轨迹与根轨迹方程,4-2 常规根轨迹的绘制法则,作业：41，3，4，5，6，7，8,例12 ：已知单位反馈系统的开环传递函数为（1）K从0时，概略绘制系统的闭环根轨迹图； （2）确定保证系统稳定的K值范围； （3）求取系统在单位阶跃输入作用下稳态误差的绝对值。,
