1、-p q0p 的q0 称为Arg 的主值, 记作q0=arg z .,Arg z=arg z +2kp,辐角主值：,例1：求,解,由 x = r cosq, y = r sinq,由欧拉公式 e iq = cosq + i sinq ，指数表示式:,3）三角形式与指数形式,三角表示式,2),因此,例3 将下列复数化为三角表示式与指数表示式.,解,1),重要结论:,判断函数 在 时极限不存在的方法:1.存在一条路径,沿该路径趋于,时极限不存在;,2.存在两条路径,沿这两条路径趋于,时极限不等.,1. 乘积与商,一. 复变函数的导数,(1)导数定义,定义 设函数w=f (z) zD, 且z0、 z
2、0 +zD，如果极限 存在，则称函数f (z)在点z0处可导。称此极限值为f (z)在z0的导数，记作,如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称 f (z)在区域D内可导。,(1) z0是在平面区域上以任意方式趋于零。,(3) z=x+iy,注：,(2)判断函数 在 不可导的方法:,(3)求导法则, 复常数的导数 c=(a+ib)=0. (zn)=nzn-1 (n是自然数)., 设函数f (z),g (z) 均可导，则f (z)g (z) =f (z)g(z)，f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g(z),复合函数的导数 ( f g(z) =f (w)g(z)，其中w=g
3、(z)。, 反函数的导数 ，其中: w=f (z) 与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。,二. 解析函数的概念,1.定义 如果函数w=f (z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f (z)在z0解析；,思考：可导与解析有何关系？,如果f (z)在区域D内每一点都解析，则称f (z)在D内解析，或称f (z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。,定理1 （四则运算法则）设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0时)均是D内的解析函数。,2.解析函数的运算：,定理1 设 f (z) = u
4、(x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义，则 f (z)在点 z=x+iy D处可导的充要条件是u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足Cauchy-Riemann方程,上述条件满足时,有,定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要条件是 u(x, y ) 和 v(x, y)在D内可微，且满足Cauchy-Riemann方程,推论：,函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充分 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在一阶D内具有连续偏导数且满足Cauchy-Riemann方程,例4 判定下列函数在何处可
5、导，在何处解析：,解 (1) u=x, v= -y 则,1. 指数函数2. 对数函数3. 三角函数和双曲函数4. 乘幂与幂函数5. 反三角函数与反双曲函数,2.3 初等函数,一. 指数函数,1.指数函数的定义,2.指数函数的性质,二. 对数函数,定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，,1. 对数函数的定义,分支,2. 对数函数的性质,例,解：,三. 三角函数和双曲函数,定义,1.正余弦函数的定义,2.正弦与余弦函数的性质,例如,四. 乘幂 与幂函数,1. 乘幂ab,定义,解,例4,一般无穷多值,（1）多值性,(2)当b=n(正整数)时，乘幂ab与a 的n次幂意义一致。,(3)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a 的n次根意义一致。,2. 性质,3.幂函数zb,定义,4.性质：,定理一,解析函数的构造:,方法： 偏积分法、不定积分法、曲线积分法、凑全微分法,偏积分法:,例2,解,不定积分法,例2,积分性质,本章要点：,解析函数的积分计算(P79 例，P83例1，P86例， P89例1),定理二,定理三,定义：,定理四,定理五,3. 收敛半径的求法,定理三 (根值法),定理二 (比值法),一些常用函数的泰勒展开式：,
