1、1/59,2009年3月13日,第5章 对流-扩散方程的离散格式,2/59,5.1 对流项离散格式的重要性 及两种离散方式,一、对流项离散格式的重要性1、数值解的准确性（假扩散）2、数值解的稳定性3、数值解的经济性 二、构造离散格式的两种方式1、Taylor展开法2、控制容积积分法两种定义截差阶数一致，但截差首项系数有所不同。,3/59,5.2 对流项的中心差分与迎风格式,一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解边界条件：,4/59,一、一维对流-扩散问题模型方程的精确解（续）,Peclet数：Pe表示对流与扩散作用 的相对大小。,0,0,5/59,二、对流项的中心差分,对方程 采用控制容积积分
2、法记：F = ru 通过界面的流量。界面上单位面积扩散阻力的倒数(扩导)。,6/59,二、对流项的中心差分（续）,在数值计算过程中，如果连续性方程始终得到满足，则： 在求解过程中，始终保持连续性方程满足非常重要。 常物性条件下均分网格：,7/59,二、对流项的中心差分（续）,例：在一维模型方程离散求解的均分网格中，已知fW =100， fE =200。试对PD =0，1，2及4四种情况按中心差分格式计算fP之值。负系数会导致物理上不真实的解。,8/59,三、对流项的迎风格式,Taylor展开法控制容积积分法e界面w界面,9/59,三、对流项的迎风格式（续）,e界面w界面,10/59,三、对流项
3、的迎风格式（续）,迎风格式离散形式：,11/59,四、中心差分与一阶迎风格式的讨论,1、对流项中心差分在不发生振荡的参数范围内，比一阶迎风格式的误差更小。 2、一阶迎风格式离散方程系数永远大于零，不会引起解的振荡，得到物理上看似合理的解。 3、一阶迎风格式截差阶数低，除非采用相当密的网格，否则计算结果的误差较大。 4、一阶迎风格式的启示：应当在迎风方向取更多的信息构造格式，更好地反映对流过程的物理本质。 5、在调试程序或计算的中间过程仍可以采用一阶迎风格式。,12/59,5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式,一、系数aE与aW 之间的内在联系aE(i)与aW (i+1)共享同一个界面。
4、对流项中心差分：对流项一阶迎风：,13/59,二、混合格式(Spalding,1971),14/59,三、指数格式,利用精确解得到相邻节点间符合精确解的关系式。,15/59,三、指数格式（续）,16/59,四、乘方格式(Patankar,1979),17/59,五、5种3点格式系数汇总,只需给出 定义式,18/59,5.4 对流-扩散方程5种3点格式系数特性的分析,总通量密度J：单位时间内、单位面积上由扩散及对流作用而引起的某一物理量的总转移量。,一、通量密度及其离散表达式,19/59,一、通量密度及其离散表达式（续）,J*的离散表达式：Behind Ahead界面后的项 界面前的项 以坐标轴
5、正方向为依据的“前”、“后”。,20/59,二、系数A、B间的关系,1、和差特性当 时，界面上的扩散通量为零，于是：,21/59,二、系数A、B间的关系（续）,2、对称特性 坐标系I： 坐标系II： 因为： 于是：,22/59,二、系数A、B间的关系（续）,指数格式系数A、B间的关系,23/59,三、系数特性的重要推论,和差特性： 对称特性： 重要推论：对5种3点格式的任何一种，若在PD0时，A(PD)的计算式为已知，则在 的范围内A(PD)、 B(PD)的计算式均可得出。,24/59,三、系数特性的重要推论（续）,证明：,25/59,四、aE、aW的通用表达式,J通量密度守恒方程,26/59
6、,四、aE、aW的通用表达式（续）,不同格式的区别仅在于 的计算式不同。,27/59,五、5种3点格式的,28/59,五、5种3点格式的 （续）,29/59,1、从一维到多维的推广在每一个坐标方向上都按一维问题处理。 2、所得出的系数表达式便于编制通用性程序，由专用模块处理 。 3、利用aE(i)与aW (i+1)间的关系，可以节省计算系数的工作量。,六、关于格式定义与系数特性的说明,30/59,5.5 关于对流项离散格式假扩散特性的讨论,一、假扩散的含义 本来含义：对流-扩散方程中一阶导数项的离散格式的截断误差小于二阶而引起较大数值计算误差。 分析：纯对流方程，显式，FUD,31/59,一、
7、假扩散的含义（续）,假扩散系数,32/59,一、假扩散的含义（续）,拓宽含义：由以下三种原因引起的数值计算误差。1、非稳态项或对流项采用一阶截差的格式2、流动方向与网格线呈倾斜交叉（多维问题）。3、建立差分格式时没有考虑到非常数源项的影响。,33/59,二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散,一维无源项稳态模型方程,34/59,二、由于一阶导数截差阶数低而引起的假扩散（续）,一维非稳态对流问题,流向扩散,35/59,三、流速与网格线倾斜交叉引起的假扩散,物理问题,不考虑扩散作用的结果,交叉扩散,36/59,四、由非常数源项引起的假扩散,带源项的模型方程两点边值问题,37/59,五、低阶格式引
8、起显著数值计算误差的例子,Smith-Hutton问题出口截面结果,乘方格式 QUICK格式,38/59,五、低阶格式引起显著数值计算误差的例子(续),FUD HD PLD QUICK,方腔自然对流 宽高比：33 Grashof数：9500,39/59,5.6 可以克服或减轻假扩散的格式或方法,一、采用高阶格式以有效地克服流向扩散1、二阶迎风格式（SUD）2、三阶迎风格式（TUD）3、QUICK格式4、SGSD格式 二、减轻或克服交叉扩散的方法1、对一阶迎风格式采用有效扩散系数2、采用自适应网格技术3、采用斜中心差分,40/59,1、二阶迎风格式（SUD）,二阶精度，绝对稳定,41/59,2、
9、三阶迎风格式（TUD）,三阶精度，条件稳定,42/59,3、QUICK格式,三阶精度，条件稳定,三阶迎风格式修正系数为1/6,43/59,4、SGSD格式 Stability-Guaranteed Second-order Difference scheme,至少二阶精度，绝对稳定,=0，二阶迎风 =1，中心差分 =3/4，QUICK 对一维模型方程，当=2/3时，离散方程本身具有三阶截差。,44/59,5、采用高阶格式时近边界点的处理,(1)在边界上采用二次插值，设虚拟节点0，满足： (2)采用一阶迎风或混合格式处理。,45/59,6、高阶格式所形成的离散方程的求解方法,(1)交替方向五对角
10、阵算法(PDMA)。 (2)延迟修正方法。,46/59,5.7 对流-扩散方程离散形式的稳定性分析,一、数值计算常见的不稳定性问题1、代数方程迭代求解过程的不稳定性2、初值问题显式格式的不稳定性3、对流项离散格式的不稳定性 二、分析对流项离散格式不稳定性的方法1、正型系数法2、离散方程精确解分析法3、反馈灵敏度分析法4、“符号不变”原则,47/59,三、“符号不变”原则的基本思想,1、稳态非线性问题迭代一个层次相当于线性非稳态问题前进一个时层。 2、稳定性是格式的固有属性。 3、用所研究的格式离散对流项，扩散项采用中心差分，时间坐标采用显式格式。 4、采用离散扰动分析法。,48/59,四、“符
11、号不变”原则的实施,对流项取三阶迎风（设u 0）,对节点i+1，不计扩散项,计入扩散项 满足：,49/59,四、“符号不变”原则的实施（续）,对节点i-1，不计扩散项,计入扩散项 要求：,50/59,五、稳定性分析结果的讨论,1、如果对流项离散格式具有迁移特性，则该格式绝对稳定。 2、如果离散格式的表达式含有下游节点的值，则该格式不具有迁移特性，且是条件稳定的。 3、下游节点的系数越小，则其临界Peclet数越大。一般是系数的倒数。临界Peclet数,一阶迎风 绝对稳定 中心差分 2 二阶迎风 绝对稳定 三阶迎风 3 QUICK 8/3 SGSD 绝对稳定,一维，线性，无源项，两点边值问题，均
12、匀网格,51/59,六、对流项离散格式性能小结,1、截差越高的格式解的精度越高。 2、准确的格式往往条件稳定。 3、基于5个假设得到的稳定性条件较苛刻。 4、选用格式的建议：(1)调试程序可以用FUD、PLD（乘方格式）(2)不太复杂的问题用QUICK、SGSD(3)复杂问题用高阶组合（高分辨率）格式（MUSCL、SMART、SECBC、STOIC等）,52/59,5.8 多维对流-扩散方程的离散 及边界条件的处理,一、二维对流-扩散方程的离散,质量守恒方程 1 0 0 动量守恒 u方程v方程w方程 能量守恒方程,53/59,一、二维对流-扩散方程的离散（续）,54/59,3种二维坐标系中界面
13、流量、扩导的计算式,55/59,纳入高阶格式的方法,56/59,二、三维对流-扩散方程的离散,57/59,三维直角坐标系中界面流量、扩导的计算式,58/59,三、边界条件的处理,进口边界：给定u, v, T的分布 中 心 线：固体壁面：u=v=0, T有3类B.C. 压力边界条件：以后论述！ 出口边界：给出u, v, T 随y的分布?简化处理：局部单向化！,59/59,局部单向化处理出口边界,基本思想：假定出口截面上的节点对第一个内节点无影响，令边界节点对内节点的影响系数为0（aE=0） 基本要求： (1)在出口截面上无回流。 (2)出口截面应离开感兴趣的计算区域比较远。通过改变出口截面的位置并检查主要计算结果是否受到影响。,
