1、第四章 线性系统的根轨迹法,4-1 根轨迹法的基本概念先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么.,设有二阶代数方程, 由韦达定理, 可求出其二个根,为:, 由于代数方程是二阶的, 求其根很方便,即便如此, 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个 根的所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这 两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两 个根的表达式着手来画.,(1)K=0, 则, 在S平面上的位置如下图所示:,(2) 当0K=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另,一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示:,当K=
2、0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25K+ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化轨迹如下图所示:,由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根,平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是 二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画 图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例 中至少可得到根轨迹图的以下几个特点:(1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨 迹分支;,(2) 若把代数方程,写成如下形式, 即:,并令:,则左式分母,的根为-1和
3、-2, 恰为当K=0时, 代数方程,的两个根,也即两条根轨迹分支的起点.,(3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称.,实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶,代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的
4、方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来.1. 根轨迹定义定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+连续变化 时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.,2. 根轨迹方程,闭环控制系统的一般结构图如下所示:,其开环传递函数, 开环传递函数是各,个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环 节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S 多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得. 因此, 闭环系统的开环传递函数可表为:,式(1)中:,阶数.,是G0(S)的零点, i=1,2,.m,是G
5、0(S)的非零极点, j=1,2,.r,表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的,K叫开环系统的增益, K叫开环系统的根轨迹增益,K与K的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即:,闭环系统的特征方程为:,即:,将式(1)代入,式(3)中:,式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程:,是,的模;,是,的模;,是,的幅角;,是,的幅角;,式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应
6、的K的值可由幅 值条件求出.,是,的幅角;,如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方,便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.,4-2 根轨迹绘制的基本法则,本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明.需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K为参变量.例: 某闭环系统的开环传递函数为:,上例中:,将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯
7、上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图:,法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于,K=0,终止于开环零点,对应于K= +.注意: 当n m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当nm时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点.法则2 根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数n中的大者相等. 它们是连续的并与 实轴成镜像对称.法则3 实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段,若其右边开环 实数零点个数和
8、实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分.,法则3的应用见下图:,法则4 根轨迹的渐近线:当开环有限极点个数n大于开环有,限零点个数m时,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点为,与实,轴正方向的夹角为,的一组渐近线趋向无穷远处的零点,且:,上式中,为开环极点值之和,为开环零点值之和.,上例中, n-m=7-4=3, 有三条渐近线,它们的,计算如下:,和,渐近线见下图:,对于法则4, 当mn时, 有m-n条根轨迹从无穷远处的极点沿,一组渐近线进入有限零点, 这一组渐近线的,由下式计算:,和,法则5 根轨迹的分离点:两条或两条以上的根轨迹分支在S,平面上相遇又
9、分开的点称为分离点. 一般常见的分离点多位于实 轴上, 但有时也产生于共軛复数对中(即在复平面上).分离点必为 重根点, 分离点d的值可由下式计算:,由上式算得的分离点d值必须使K0, 或者讲必须在根轨迹上. 当开环传递函数没有一个零点时, 分离点d的值由下式计算:,现计算例子中的分离点d值, 由于:,对上式整理得:,用手工解十次代数方程相当麻烦. 但在实轴上的分离点有以下两 个特点:(1) 实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如 是根轨迹, 则其上必有一个分离点. 这两个相邻的极点或两个相 邻的零点中有一个可以是无限极点或零点.(2) 实轴上某区段是根轨迹的话, 如这区段的两个端点
10、一个是 极点, 而另一个是零点, 则此区段上要么没有分离点, 如有, 则不 止一个.利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点, 然后用试探法求近似的分离点值, 求出一个后, 对整理后的方程 可降一阶.,法则6 起始角与终止角:根轨迹离开开环复数极点处的切线,与正实轴的夹角,叫起始角,以,标识; 根轨迹进入开环复数零,点处的切线与正实轴的夹角,叫终止角,以,标识, 且:,上两式中,表示下标序号为i的开环复数极点,的起始角.,表示以下标序号为j的开环零点,为始点指向,的矢量与正实轴方向的夹角.,表示以下标序号为j的开环极点,表示下标序号为i的开环复数零点,为始点指向,的矢量,与正实轴方向
11、的夹角.,的终止角.,表示以下标序号为j的开环零点,为始点指向,的矢量与,正实轴方向的夹角.,表示以下标序号为j的开环极点,为始点指向,的矢量,与正实轴方向的夹角.,现以所举例子中序号为4即i=4的开环复数极点为例, 说明它 的起始角的计算过程. 由计算起始角的公式可得:,上式中:,(弧度),同理可得:,(弧度),从而:,由于根轨迹的对称性, 则:,其它开环复数极点的起始角和开环复数零点的终止角同理 计算.法则7 根轨迹与虚轴的交点:若根轨迹与虚轴有交点, 则 交点处的临界根轨迹放大倍数KC值和值可令s=j代入闭环特 征方程 1+G0(s)=0, 再令其实部和虚部分别等于零而求得; 也可由 劳
12、斯判据求得.下面举例说明绘制概略根轨迹七条法则的应用.例: 设负反馈系统的开环传递函数为:,要求画概略根轨迹图.,解: (1),有五条根轨迹分支.,(2) 实轴上的根轨迹: 见下图,(3) 渐近线:,渐近线见下图:,(4)出射角:,出射角相当于92.7266度, 由于对称性,(5) 分离点:,上式手工求解较为麻烦, 采用试探法. 由于实轴上0与-1之间必有 分离点, 若使d=-0.4, 则上式左边约为-0.027, 接近0.(6) 根轨迹与虚轴交点: 由G0(s)可得闭环特征方程为:,则:,令上式实部和虚部分别为零, 得:,解上面联立方程:,后两组舍去.,现用劳斯判据求根轨迹与虚轴交点, 由闭
13、环特征方程列出,劳斯行列表表头并计算各行各列的值, 得如下劳斯行列表:,由令,行第一列为零得:, 解得:,(舍去), 将,代入,行得辅助方程:, 解此辅助方程得:,完整的概略根轨迹如下图:,课外习题: P.166 第4-3题,第4-4题(1) (3),第4-5题(1)第4-6题(2),第4-10题(2) (3),4-3 广义根轨迹,1. 参数根轨迹绘制根轨迹常以系统开环增益K或开环根迹增益K作为参变 量. 但当K或K固定, 而系统其它某一个参数变化时,也可利用绘 制根轨迹的法则, 以非K或非K为参变量绘制概略根轨迹, 这时 绘制的根轨迹叫以非K或非K为参变量的根轨迹, 简称参数根轨 迹. 设闭
14、环系统的开环传递函数为:,则闭环系统的特征方程为:,令:, D(s)叫特征多项式, D(s)=0叫特征方程,可,见闭环系统的特征方程等于开环传递函数的分母加分子.,例: 设系统的开环传递函数为:, K固定, a,可在0和+ 间连续变化, 则有上面的叙述,由上式经整理, 将含有参变量a的项归并在一起, 即:,称作等效开环传递函数, 由,将上面特征方程两边同时除以不含a的s多项式, 得:, 即可用绘制根轨迹的法,则, 绘制以a为参变数的概略根轨迹.课外习题: P.168第4-13题(2),第4-14题(2),2. 附加开环零极点的作用,若闭环系统的控制性能不理想, 可通过附加开环零极点改 变闭环系
15、统的控制性能, 其实质是改变了根轨迹的形状.(1) 增加开环极点设闭环系统的原开环传递函数为,其根轨迹见下图:,由图可分析得: 无论K多大, 闭环始终稳定, 但是个有差系统. 如 给G0(s)附加一个s=0的极点, 即串接一个积分环节, 则:,其根轨迹图如下:,附加一个开环极点后,根轨迹向右弯曲, 当K增至一定值后, 系统 由稳定变为不稳定, 动态性能变坏; 但系统在阶跃信号作用下由 有差系统变为无差系统.,(2) 增加开环零点,设原开环传递函数增加一个s=-3的开环零点, 成为:,则其根轨迹如下图:,由图可见, 开环传递函数增加一个开环零点, 相当于在系统中串接 一个比例加微分环节,从而使原根轨迹向左弯曲, 这对系统的稳定 性有利, 也能改善动态性能, 但改善的程度视比例加微分环节串接 在顺向通道(也叫前向通道或控制通道)还是串接在反馈通道而定.3.增加开环偶极子 所为偶极子是指一对零极点相互靠得很近, 若在s平面原点附近 的负实轴上增加一对开环偶极子, 并使z0=p0, 1(即零点在极点 的左边), 则可基本不改变原根轨迹的形状,而使系统的开环放大倍,数提高到原来的倍, 即:,由此可见, 增加开环偶极子可使系统的稳定性动态性能基本不 变的情况下,使控制精度提高倍.,
