1、1,2.1 直接法与三角形方程组求解,2.2 Gauss消去法,第二章 解线性方程组的直接法,2.3 Gauss列主元消去法,2.4 直接三角分解法,2.5 平方根法,2.6 追赶法(Thomas法),2,P64. 2. 3. 4.(2) 6. 9.10. 13.(1) 14. 16.(1),本章作业,3,第二章 解线性方程组的直接法,2.1 直接法与三角形方程组求解,实际问题中的线性方程组分类：,按系数矩阵中 零元素的个数：,稠密线性 方程组,稀疏线性 方程组,按未知量 的个数：,高阶线性 方程组,低阶线性 方程组,按系数矩 阵的形状,对称正定 方程组,三角形 方程组,三对角 方程组,零元素
2、占80%以上,阶数在1000阶以上,4,一、直接法概述,本章介绍的直接法是将原方程组化为一个或两个三角形方程组求解，主要包括Gauss消去法和直接三角分解法。,性线方程组的解法可分二类:,1. 直接解法: 经有限步算术运算, 可求出方程精确解的方法(假设计算过程中没有舍入误差).,2. 迭代方法: 用某种极限过程去逐步逼近性线方程组精确解的方法.,5,对于线性方程组,其中,系数矩阵,未知量向量,常数项,-(1),6,根据Cramer(克莱姆)法则,若,若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:,7,同解,即,以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法,则,都是三角 形方程组,上述方法称
3、为直接三角形分解法,-(2),8,不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法, 最都归结为解三角形方程组,二、三角形线性方程组的解法,若记,下三角形线性方程组,上三角形线性方程组,9,即,10,其解为,11,其解为:,12,2.2 Gauss消去法,一、消元与回代计算,对线性方程组,对其增广矩阵施行行初等变换:,13,定义行乘数,14,且,15,第k步: 定义行乘数,16,17,18,二、Gauss消去法的运算量,计算机作乘除运算所耗时间要远远多于加减运算,且在一个算法中，加减运算和乘除运算次数大体相当,故在衡量一个算法的运算量时只需统计乘除的运算次数,乘法次数：,除法次数：,19,全部回代过
4、程需作乘除法的总次数为,于是Gauss消去法的乘除法运算总的次数为,20,Gauss消去法乘除法约为2700次,而如果用Cramer法则的乘除法运算次数约为,用行列式定义,21,1) 存储方式: 将右端项b并入系数矩阵,形成增广矩阵A.,三、Gauss元消去法的算法设计,22,2) 算法,1. 输入增广矩阵A, 控制精度EPS; 2. 消元过程:for k=1,2,n-1 do2.1 if , then 输出Gauss 消去法失败的信息, 停止计算;2.2 for i=k+1,k+2,n do2.2.1 计算乘数 2.2.2 for j=k+1,k+2,n+1 do ;,2) 算法,23,24
5、,Matlab程序: function x,L,U=gauss(A,b,EPS) % 列GUASS消去法,用增广矩阵处理if nargin3EPS=50*eps;endn=length(b);P=eye(n); %P最终存放排列阵,对A作行交换时,对P也作同% 样的行交换x=zeros(n,1);b=b(:);A=A b;%构成增广矩阵,25,for k=1:n-1if abs(A(k,k)=EPSerror(det(A)=0,方程无唯一解!);endfor i=k+1:n A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); A(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(i,k)*A(k,k
6、+1:n+1);end end %这是消元过程式,%上述循环可改为: A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n+1)=A(k+1:n,k+1:n+1)- A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n+1);,26,if abs(A(n,n)=EPSerror(det(A)=0,方程无唯一解!);endx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n)/A(i,i);end %这一循环为回代过程A=A(:,1:n); L=eye(n)+tril(A,-1);U=triu(A);,
